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在平衡问题中，我常会遇到共点力平衡求极值一类的问题，众多参考资料中介绍的方法大多为应用三角函数求极值的方法，对数学能力要求较高，若引入摩擦角的概念，可以很好地将多力平衡简化为三力汇交动态平衡问题的分析，简化极值的求解过程，避开了繁琐的数学三角函数公式，降低了对数学能力的要求，此处运用摩擦角的物理方法优于三角公式的应用.笔者在给学生介绍这种方法是这样引入的：
摩擦角指的是：物体在受到摩擦力情况下，物体的滑动摩擦力（或最大静摩擦力）Ff=μFN，支持面的支持力FN的方向固定不变，我们将支持力与摩擦力合成为接触面对物体的作用力F（也叫全反力）（以下讲到的斜面对物体的作用力或轨道对物体的作用力都为此力），则支持面的作用力F与支持力FN的方向成tan-1μ角（如图1所示），而这个角就称之为摩擦角.由摩擦公式：Ff=μFN，得μ=FfFN=tan，摩擦角=tan-1μ.
摩擦力与支持面的支持力是成对出现的，引入摩擦角后，可以将这对力合成一个力，在物体的平衡态受力分析中很大程度上起到问题简化的效果.尤其是在物体在四个力作用下保持动态平衡的问题中，引入摩擦角后就可以简化成我们熟悉的三力平衡问题（如：三个力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确定，这个力的大小和第三个力的大小、方向变化情况待定）.
例1一物体质量为m，置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值.
解析本题有两种解法，一种是根据平衡条件利用数学建模得到F=F（θ）后再求极值，另一种是引入全反力（摩擦角）化四力平衡为三力平衡根据矢量三角形直观快速地求解.
方法一设当拉力F与斜面有成一定角度α时，拉力F最小.建立如图2所示的直角坐标系.
x：Fcosα=mgsinθ f
y：mgcosθ=Fsinα N
f=μN
解得F=μcosθ sinθcosα μsinαmg.
若要使F最小，只要使cosα μsinα的值最大即可，
cosα μsinα=1 μ2（11 μ2cosα μ1 μ2sinα）.
令sin=11 μ2，则cos=μ1 μ2，tan=1μ，
cosα μsinα=1 μ2（sincosα cossinα）
=1 μ2sin（ α）.
当 α=π2时（其中=tan-11μ），cosα μsinα取最大值1 μ2.
此时F最小值Fmin=μcosθ sinθ1 μ2mg.
方法二（引入摩擦角）如图3所示，摩擦角=tan-1μ，由平衡条件，作力的矢量三角形，其中：竖直向下有向线段为重力，斜向左上方有向线段为斜面对物体的作用力，虚线有向线段为拉力.显然：当拉力F垂直于斜面对物体的作用力方向时，拉力F最小，即
Fmin=mgcos（θ ）=sinθ μcosθ1 μ2mg.
例2（2013年华约自主招生·3题）明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m=50 kg的物体.一重物放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为μ=33≈0.58.试求该同学向上拉动的重物质量M的最大值？
解析该同学最大拉力由平衡条件得F=mg，（引入摩擦角）摩擦角=tan-1μ=30°，
由平衡条件得作力的矢量三角形
Mg=Fsin（θ ）l，M=502 kg.
例3如图5所示，MN、PQ为水平放置的平行导轨，通电导体棒ab垂直放置在导轨上，已知导体棒质量m=1 kg，长l=2.0 m，通过的电流I=5.0 A，方向如图所示，导体棒与导轨间的动摩擦因数μ=33.若使导体棒水平向右匀速运动，要求轨道内所加与导体棒ab垂直的匀强磁场最小，则磁场的方向与轨道平面的夹角是（g=10 m/s2）
A.30°B.45°C.60°D.90°
解析（引入摩擦角）如图6所示的从b端看过去的平面图中，摩擦角=tan-1μ=30°，当导体棒受到安培力FA与轨道对ab的作用力垂直时最小，而磁场与安培力FA垂直，故磁场与导轨夹角θ=60°，选C.
例4（南京市、盐城市2014届一模·9题）如图7所示，粗糙程度处处相同的圆弧轨道ABC，竖直放置时A与圆心等高，B为最低点.现将一物块从A处无初速度释放，恰好能运动到C静止.下列方案中可能使物块返回到A点的是
A.给物块一个沿轨道切线方向的初速度
B.施加竖直向下的力一段时间后再撤去
C.施加一个水平向左的力使物块缓慢回到A点
D.用始终沿轨道切线方向的力使物块缓慢回到A点
解析此题对于正确答案A、D的判断相对容易，对于B选项可以考虑施加竖直向下的力等效于物体质量变大，也容易排除，而对于C选项的甑别若引入摩擦角，则容易找出力水平向左时物块在轨道上自锁的位置，如图8所示，物块在C点受力如图，摩擦角为θ，物块从A处无初速度释放，恰好能运动到C静止，物块受到全反力（轨道对物体的作用力）与重力等大反向，即OC与竖直方向成θ.则当物块滑到左侧，当全反力（轨道对物体的作用力）水平向右时（即与F共线），物块无法再向上移动，故无法回到A点，选项C错误.
以上几例中，对比两种方法，引入摩擦角显然要简单容易的多.因此，高中有必要掌握摩擦角的应用，尤其高一学生还没有学习三角函数公式时，此类问题已频繁出现，如果引入摩擦角用动态三角形的方法找出极值点，这样比用三角函数求极值的方法对数学能力要求有所降低.
摩擦角指的是：物体在受到摩擦力情况下，物体的滑动摩擦力（或最大静摩擦力）Ff=μFN，支持面的支持力FN的方向固定不变，我们将支持力与摩擦力合成为接触面对物体的作用力F（也叫全反力）（以下讲到的斜面对物体的作用力或轨道对物体的作用力都为此力），则支持面的作用力F与支持力FN的方向成tan-1μ角（如图1所示），而这个角就称之为摩擦角.由摩擦公式：Ff=μFN，得μ=FfFN=tan，摩擦角=tan-1μ.
摩擦力与支持面的支持力是成对出现的，引入摩擦角后，可以将这对力合成一个力，在物体的平衡态受力分析中很大程度上起到问题简化的效果.尤其是在物体在四个力作用下保持动态平衡的问题中，引入摩擦角后就可以简化成我们熟悉的三力平衡问题（如：三个力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确定，这个力的大小和第三个力的大小、方向变化情况待定）.
例1一物体质量为m，置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值.
解析本题有两种解法，一种是根据平衡条件利用数学建模得到F=F（θ）后再求极值，另一种是引入全反力（摩擦角）化四力平衡为三力平衡根据矢量三角形直观快速地求解.
方法一设当拉力F与斜面有成一定角度α时，拉力F最小.建立如图2所示的直角坐标系.
x：Fcosα=mgsinθ f
y：mgcosθ=Fsinα N
f=μN
解得F=μcosθ sinθcosα μsinαmg.
若要使F最小，只要使cosα μsinα的值最大即可，
cosα μsinα=1 μ2（11 μ2cosα μ1 μ2sinα）.
令sin=11 μ2，则cos=μ1 μ2，tan=1μ，
cosα μsinα=1 μ2（sincosα cossinα）
=1 μ2sin（ α）.
当 α=π2时（其中=tan-11μ），cosα μsinα取最大值1 μ2.
此时F最小值Fmin=μcosθ sinθ1 μ2mg.
方法二（引入摩擦角）如图3所示，摩擦角=tan-1μ，由平衡条件，作力的矢量三角形，其中：竖直向下有向线段为重力，斜向左上方有向线段为斜面对物体的作用力，虚线有向线段为拉力.显然：当拉力F垂直于斜面对物体的作用力方向时，拉力F最小，即
Fmin=mgcos（θ ）=sinθ μcosθ1 μ2mg.
例2（2013年华约自主招生·3题）明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m=50 kg的物体.一重物放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为μ=33≈0.58.试求该同学向上拉动的重物质量M的最大值？
解析该同学最大拉力由平衡条件得F=mg，（引入摩擦角）摩擦角=tan-1μ=30°，
由平衡条件得作力的矢量三角形
Mg=Fsin（θ ）l，M=502 kg.
例3如图5所示，MN、PQ为水平放置的平行导轨，通电导体棒ab垂直放置在导轨上，已知导体棒质量m=1 kg，长l=2.0 m，通过的电流I=5.0 A，方向如图所示，导体棒与导轨间的动摩擦因数μ=33.若使导体棒水平向右匀速运动，要求轨道内所加与导体棒ab垂直的匀强磁场最小，则磁场的方向与轨道平面的夹角是（g=10 m/s2）
A.30°B.45°C.60°D.90°
解析（引入摩擦角）如图6所示的从b端看过去的平面图中，摩擦角=tan-1μ=30°，当导体棒受到安培力FA与轨道对ab的作用力垂直时最小，而磁场与安培力FA垂直，故磁场与导轨夹角θ=60°，选C.
例4（南京市、盐城市2014届一模·9题）如图7所示，粗糙程度处处相同的圆弧轨道ABC，竖直放置时A与圆心等高，B为最低点.现将一物块从A处无初速度释放，恰好能运动到C静止.下列方案中可能使物块返回到A点的是
A.给物块一个沿轨道切线方向的初速度
B.施加竖直向下的力一段时间后再撤去
C.施加一个水平向左的力使物块缓慢回到A点
D.用始终沿轨道切线方向的力使物块缓慢回到A点
解析此题对于正确答案A、D的判断相对容易，对于B选项可以考虑施加竖直向下的力等效于物体质量变大，也容易排除，而对于C选项的甑别若引入摩擦角，则容易找出力水平向左时物块在轨道上自锁的位置，如图8所示，物块在C点受力如图，摩擦角为θ，物块从A处无初速度释放，恰好能运动到C静止，物块受到全反力（轨道对物体的作用力）与重力等大反向，即OC与竖直方向成θ.则当物块滑到左侧，当全反力（轨道对物体的作用力）水平向右时（即与F共线），物块无法再向上移动，故无法回到A点，选项C错误.
以上几例中，对比两种方法，引入摩擦角显然要简单容易的多.因此，高中有必要掌握摩擦角的应用，尤其高一学生还没有学习三角函数公式时，此类问题已频繁出现，如果引入摩擦角用动态三角形的方法找出极值点，这样比用三角函数求极值的方法对数学能力要求有所降低.