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〔关键词〕 高中数学;平移公式;函数;解析
式;向量
〔中图分类号〕 G633.65
〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463(2010)
06(A)—0045—01
本文就高中数学(必修)第一册(下)(人教版)中平移公式的应用,谈谈本人在教学中的体会,以供同行参考.
课本在利用平移公式求函数解析式的例2、例3中,重点介绍了根据平移向量,利用平移公式求出函数的解析式y′=f(x′),然后改写成y=f(x)这种解法.用这种方法在解答有关习题时过程较繁琐,学生分不清y′=f(x′)与y=f(x)这两种写法,容易出现错误.在教学实践中,本人尝试用函数图象的平移思想解决本节有关习题和高考题,并取得了较好的教学效果.
引理:函数y=f(x)的图象按向量■=(h,k)平移,就是把函数y=f(x)的图象先沿x轴向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位,再沿y轴向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位,从而得到函数的解析式为f(x)=f(x-h)+k.
例1:(课本例3)已知抛物线y=x2+4x+7,①求抛物顶点的坐标;②将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时的函数解析式.
解:①设抛物线y=x2+4x+7的顶点为O′.
∵ y=x2+4x+7=(x+2)2+3,
∴抛物线y=x2+4x+7的顶点O′的坐标为(-2,3).
②根据题意知,平移向量为■=■=(2,-3),即把y=x2+4x+7的图象先沿x轴向右平移2个单位,再沿y轴向下平移3个单位后,顶点与坐标原点重合.从而所求函数的解析式为y=(x+2-2)2+3-3=x2, 即y=x2.
例2:(课本习题第5题)函数y=log3x的图象F按■=(1,-1)平移到F′,求F′的函数解析式.
解:根据题意知,把函数y=log3x的图象F沿x轴向右平移1个单位,再沿y轴向下平移1个单位可得F′,从而F′的函数解析式为y=log3(x-1)-1.
例3:(课本习题第6题)一个函数的图象按■(-■,-2)平移后得到的图象的函数解析式为y=sin(x+■)-2,求原来函数的解析式.
解:由题意可知,把函数y=sin(x+■)-2的图象按向量■=-■=(■,2)平移(即把函数y=sin(x+■)-2的图象沿x轴向右平移■个单位,再沿y轴向上平移2个单位)后,得到原来函数的图象.从而原来函数的解析式为y=sin(x+■-■)-2+2=sinx,即y=sinx.
例4:(2007年全国高考题(Ⅱ)(理科))把函数y=ex的图象按向量■=(2,3)平移,得到y=f(x)的图象,则f(x)= ().
(A)ex-3+2 (B)ex+3-2
(C)ex-2+3 (D)ex+2-3
解:由题意可得,把函数y=ex的图象沿x轴向右平移2个单位,再向上平移3个单位,得到f(x)的图象,即f(x)=ex-2+3,故选C.
例5:(2008年辽宁高考题(理科))将函数y=2x+1的图象按向量■平移后得到函数y=2x+1的图象,则( ).
(A)■=(-1,-1)(B)■=(1,-1)
(C)■=(1,1) (D)■=(-1,1)
解:由题意可得,把函数y=2x+1的图象沿x轴向左平移1个单位,再沿y轴向下平移1个单位,可得到函数y=2x+1的图象,从而可得■=(-1,-1),故选A.
例6:(2009年全国高考题(Ⅱ))若函数y=tan(ωx+■)(ω>0)的图象向右平移■个单位长度后,与函数y=tan(ωx+■)的图象重合,则ω的最小值为( ).
(A)■ (B)■ (C)■ (D)■
解:由题意可得,把函数y=tan(ωx+■)(ω>0)的图象向右平移■个单位长度,可得到函数y=tan[ω(x-■)+■]=tan[ωx+(■-■π)]的图象,它与函数y=tan(ωx+■)的图象重合. 则tan[ωx+(■-■π)]=tan(ωx+■),即■-■π=■+kπ(k∈Z),即ω=■-6k(k∈Z).从而 当k=0时,ω的最小值为■,故选D.
式;向量
〔中图分类号〕 G633.65
〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463(2010)
06(A)—0045—01
本文就高中数学(必修)第一册(下)(人教版)中平移公式的应用,谈谈本人在教学中的体会,以供同行参考.
课本在利用平移公式求函数解析式的例2、例3中,重点介绍了根据平移向量,利用平移公式求出函数的解析式y′=f(x′),然后改写成y=f(x)这种解法.用这种方法在解答有关习题时过程较繁琐,学生分不清y′=f(x′)与y=f(x)这两种写法,容易出现错误.在教学实践中,本人尝试用函数图象的平移思想解决本节有关习题和高考题,并取得了较好的教学效果.
引理:函数y=f(x)的图象按向量■=(h,k)平移,就是把函数y=f(x)的图象先沿x轴向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位,再沿y轴向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位,从而得到函数的解析式为f(x)=f(x-h)+k.
例1:(课本例3)已知抛物线y=x2+4x+7,①求抛物顶点的坐标;②将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时的函数解析式.
解:①设抛物线y=x2+4x+7的顶点为O′.
∵ y=x2+4x+7=(x+2)2+3,
∴抛物线y=x2+4x+7的顶点O′的坐标为(-2,3).
②根据题意知,平移向量为■=■=(2,-3),即把y=x2+4x+7的图象先沿x轴向右平移2个单位,再沿y轴向下平移3个单位后,顶点与坐标原点重合.从而所求函数的解析式为y=(x+2-2)2+3-3=x2, 即y=x2.
例2:(课本习题第5题)函数y=log3x的图象F按■=(1,-1)平移到F′,求F′的函数解析式.
解:根据题意知,把函数y=log3x的图象F沿x轴向右平移1个单位,再沿y轴向下平移1个单位可得F′,从而F′的函数解析式为y=log3(x-1)-1.
例3:(课本习题第6题)一个函数的图象按■(-■,-2)平移后得到的图象的函数解析式为y=sin(x+■)-2,求原来函数的解析式.
解:由题意可知,把函数y=sin(x+■)-2的图象按向量■=-■=(■,2)平移(即把函数y=sin(x+■)-2的图象沿x轴向右平移■个单位,再沿y轴向上平移2个单位)后,得到原来函数的图象.从而原来函数的解析式为y=sin(x+■-■)-2+2=sinx,即y=sinx.
例4:(2007年全国高考题(Ⅱ)(理科))把函数y=ex的图象按向量■=(2,3)平移,得到y=f(x)的图象,则f(x)= ().
(A)ex-3+2 (B)ex+3-2
(C)ex-2+3 (D)ex+2-3
解:由题意可得,把函数y=ex的图象沿x轴向右平移2个单位,再向上平移3个单位,得到f(x)的图象,即f(x)=ex-2+3,故选C.
例5:(2008年辽宁高考题(理科))将函数y=2x+1的图象按向量■平移后得到函数y=2x+1的图象,则( ).
(A)■=(-1,-1)(B)■=(1,-1)
(C)■=(1,1) (D)■=(-1,1)
解:由题意可得,把函数y=2x+1的图象沿x轴向左平移1个单位,再沿y轴向下平移1个单位,可得到函数y=2x+1的图象,从而可得■=(-1,-1),故选A.
例6:(2009年全国高考题(Ⅱ))若函数y=tan(ωx+■)(ω>0)的图象向右平移■个单位长度后,与函数y=tan(ωx+■)的图象重合,则ω的最小值为( ).
(A)■ (B)■ (C)■ (D)■
解:由题意可得,把函数y=tan(ωx+■)(ω>0)的图象向右平移■个单位长度,可得到函数y=tan[ω(x-■)+■]=tan[ωx+(■-■π)]的图象,它与函数y=tan(ωx+■)的图象重合. 则tan[ωx+(■-■π)]=tan(ωx+■),即■-■π=■+kπ(k∈Z),即ω=■-6k(k∈Z).从而 当k=0时,ω的最小值为■,故选D.