巧设“元”解决利润问题

来源 :初中生世界·九年级 | 被引量 : 0次 | 上传用户:bkguo2008
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  苏科版初中数学教材九年级上册第98页问题4如下:
  某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元. 为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现,在一定范围内,衬衫的单价每降1元,商场平均每天可多售出2件. 如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1 200元,衬衫的单价应降多少元?
  这是一道与利润有关的传统型题目,在生活中有很多问题与它相类似.
  一、 课本问题的探究
  1. 建立数学模型
  首先明确在这个问题中存在的A×B=C的数量关系:单件利润×销售数量=总利润. 所以选择用方程去解决问题最为合适.
  其次分析本题中具体涉及的数量关系,因为本题的数量关系较多,所以可以采用列表的形式分析其中的数量关系:
  2. 利用模型解决问题
  列方程解应用题,一般情况下都采用直接设元,即求什么设什么.
  解:设衬衫的单价降x元,
  根据题意,得:(20+2x)(40-x)=1 200.
  整理,得:x2-30x+200=0.
  解这个方程,得:x1=20,x2=10.
  答:衬衫的单价降10元或降20元.
  3. 基础模型的延伸
  在课本例题的问题中,若在题目中增加“若商场需要尽快减少库存”,那么原题答案在符合数学原理的同时,还应满足应用型问题中检验答案的第二个原则——符合实际意义,则课本例题答案中的x2=10就应该舍去,而保留x1=20使得库存尽快减少.
  列方程解应用题就是把实际问题转化成数学问题,然后由数学问题的解决而获得实际问题的解决.而列方程解应用题最重要的是审题,审题是列方程的基础,列方程是解题的关键,要在理解题意的基础上恰当地设出未知数,准确地找出数量关系,从而正确地列出方程.
  二、 例题的拓展与延伸
  某商店进了一批服装,每件成本为50元,如果按每件60元出售,可销售800件;如果每件提价5元出售,其销售量就将减少100件. 如果商店销售这批服装要获利润12 000元,那么这种服装售价应定为多少元?该商店应进这种服装多少件?(苏科版数学教材第100页习题4.3题9)
  【分析】这个问题中的基本数量关系和课本例题一样,所用的分析的方法可以完全按照上题的过程来展开,利用表格分析. 所有的降低(或提高)若干元,销量提高(或降低)若干件的问题,首先应转化成降低(或提高)1元,销量提高(或降低)若干件来表示. 但是本题与上题的区别在于求商品的定价.
  方法一:如果按照列方程解应用题的一般习惯来看,直接设这种服装售价应定为x元,那么在这个问题中用含x的代数式表示实际销售数量就是本题的一个难点. 在列式时很多同学搞不清楚何时减50,何时减60.
  根据题意,可列方程:
  (x-50)800-■(x-60)=12 000.
  解这个方程,得:x1=70,x2=80.
  x1=70时,该商店应进这种服装600件;
  x2=80时,该商店应进这种服装400件.
  方法二:不妨采用间接设元法:设这种服装应提价x元,
  根据题意,可列方程:
  (x+60-50)800-■x=12 000.
  这样更容易理解并列出方程,并在解方程时相对比较容易求解.
  综合以上两道课本题,在一元二次方程的利润型问题中,无论是直接设元还是间接设元,一般设降价或涨价为未知量较为简便.
  三、 中考链接
  1. (2012·山西省)山西特产专卖店销售核桃(如图),其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克. 后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20千克. 若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 240元,请回答:(1) 每千克核桃应降价多少元?(2) 在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价几折出售?
  解:(1) 设每千克核桃应降价x元,
  根据题意,得?摇(60-40-x)100+■x=2 240
  解方程得:x1=4,x2=6.
  答:每千克核桃应降价4元或6元;
  (2) 由(1)可知每千克核桃应降价4元或6元,因为要尽快让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元,此时,售价为60-6=54元,■×100%=90%.
  答:该店应按原售价9折出售.
  2. (2013·江苏淮安)小丽为校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件:如果一次性购买不超过10件,单价为80元;如果一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,但单价不得低于50元. 按此优惠条件,小丽一次性购买这种服装付了1 200元,请问她购买了多少件这种服装?
  解:设购买了x件这种服装,根据题意得出:[80-2(x-10)]x=1 200.
  解得:x1=20,x2=30.
  当x=30时,80-2(30-10)=40(元)<50,不合题意,舍去.
  答:她购买了20件这种服装.
  3. (2013·山东泰安)某商店购进600个旅游纪念品,进价为每个6元,第一周以每个10元的价格售出200个,第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降低1元,可多售出50个,但售价不得低于进价),单价降低x元. 销售一周后,商店对剩余旅游纪念品清仓处理,以每个4元的价格全部售出. 如果这批旅游纪念品共获利1 250元,问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元?
  解:设第二周每个旅游纪念品的销售价格为x元,由题意得出:200×(10-6)+(10-x-6)(200+50x)+[(4-6)(600-200-(200+50x)]=1 250,
  即800+(4-x)(200+50x)-2(200-50x)=1 250,
  整理得:x2-2x+1=0.
  解得:x1=x2=1,∴10-1=9.
  答:第二周的销售价格为9元.
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