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摘 要：复合场中带电粒子的运动，由于受力和运动情况均很复杂，多年来一直是高三物理教学中的重点和难点内容。文章探究出一种简单而又实用的方法——把带电粒子的初速度进行“拆分”，从而使问题迎刃而解。
关键词：复合场 带电粒子 拆分
在高三物理教学中，我们常常会遇到带电粒子既受洛伦兹力，又受电场力或（和）重力作用而做曲线运动的问题，师生都会感到十分棘手。笔者根据多年的教学实践探究出一种简单而实用的方法——把带电粒子的初速度进行“拆分”。
一、方法的提出
带电粒子在正交的匀强磁场和匀强电场中运动，若所受洛伦兹力与电场力或（和）重力不平衡而做复杂的曲线运动时，问题往往变得很复杂。若把带电粒子的初速度进行“拆分”，那么带电粒子复杂的曲线运动就可等效为沿某一方向的匀速直线运动和沿某一时针方向的匀速圆周运动的合运动，从而使问题得以简化。
二、方法的应用
1.初速度方向与电场线方向垂直情况下的拆分
例题1：如图所示，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（重力不计），以初速度v0从左端中央沿虚线射入正交的电场强度为E的匀强电场和磁感强度为B的匀强磁场中。若qv0B>qE，当从右端某点A离开时速率为vA，侧移量为d，则下列说法中正确的是（ ）
A.在该区域中粒子的加速度大小恒为
B.粒子有可能从图中虚线下方离开该区域
C.粒子从A点离开时速率vA=
D.粒子到达A点时洛伦兹力大于电场力
解析：（1）由于粒子刚射入时qv0B>qE，现将其初速度v0沿原方向拆分为v1和v2，使qv1B=qE。这样粒子的运动就等效为速率为v1=，方向水平向右的匀速直线运动和速率为v2=v0-的沿逆时针方向的匀速圆周运动的合运动，其半径R==，那么在该区域中粒子的加速度大小a==。所以选项A正确。
（2）根据两种运动的合成可知，粒子运动的轨迹不可能在虚线的下方，所以选项B错误。
（3）由动能定理得：qEd=mv-mv ，
vA=，所以选项C正确。
（4）由于vA>v0，则有qvAB>qE，所以选项D正确。
拓展：（2010年盐城三模）如图所示，空间匀强电场的场强为E、方向沿着-y方向，匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直xOy平面指向纸内。有一质量为m、电量为q的带正电的粒子（不计重力），从O点出发开始计时，沿+x方向以初速度v0=射入场区。求：
（1）带电粒子能够到达离x轴的最远距离；
（2）从开始到离开场区的时间内，粒子沿x轴运动的距离；
（3）在t=时撤去电场，粒子在以后的运动中还受到与速度大小成正比、方向相反的阻力作用，即f=kv（k为已知常数），求电场撤去后粒子还能发生的位移大小。
解析：（1）由动能定理得：F电y=mv ，得 y=。
（2）把速度v0沿x轴拆分为2个，其中一个产生的f洛与F电平衡。带电粒子的运动可等效为速率为的沿x轴做匀速直线运动和速率为沿逆时针方向做匀速圆周运动的合运动。
∴ x=t=××=
（3）∵ f洛=qvB，f阻=kv， f洛与F阻都与v成正比，其合力方向与速度方向保持不变，其大小为：F合=v
由牛顿第二定律得：v=m
vΔt=mΔv ΣvΔt=ΣmΔv
∴ x=mv0 x=
2.初速度为零的情况下的拆分
例题2：在空间有相互垂直的电场强度为E的匀强电场和磁感强度为B的匀强磁场，如图所示。一质量为m、电荷量为e的电子从坐标原点由静止释放，不计重力。求电子在y轴方向的最大距离。
解析：由于电子的初速度为零，现将它沿x轴方向配上一对等大反向的速度为+v和-v，使v的大小满足evB=eE，即v=。与+v对应的洛伦兹力与电子所受的电场力平衡，与-v所对应的洛伦兹力与y轴同向提供向心力。这样电子的运动可等效为一个速率为v沿x轴正方向的匀速直线运动和速率为v沿顺时针方向的匀速圆周运动的合运动。
对匀速圆周运动，设半径为R，根据evB=m
得：R== 又∵ ym=2R， ∴ ym=
拓展：（2008年江苏高考第14题）在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O点静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。求
（1）小球运动到任意位置P（x，y）的速率v；
（2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym；
（3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（E>mg/q）的匀强电场时，小球从O点静止释放后获得的最大速率vm。
解析：（1）洛伦兹力不做功，由动能定理 得： mgy=mv2
v=
（2）由于带电小球的初速度为零，现将它沿x轴方向上配一对等大反向的速度为+v和-v，使v的大小满足qvB=mg，即v=。与+v对应的洛伦兹力与带电小球所受的重力平衡，与-v所对应的洛伦兹力沿y轴正方向提供向心力。这样，带电小球的运动可等效为一个速率为v沿x轴正方向的匀速直线运动和速率为v沿逆时针方向的匀速圆周运动的合运动。
对匀速圆周运动，设半径为R，根据qvB=m
得：R==
设最大距离为ym，根据题意 ym=2R，则 ym=
（3）小球运动如图所示：
由动能定理（qE-mg）ym=mv 由圆周运动qvmB+mg-qE=m
又∵ R=2ym 解得：
vm= 3.一般情况下的初速度的拆分
例题3：（2010年南京二模）如图所示，在y≤5×10-2 m的空间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=4×10-3 T，在y≤0空间同时存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度E=40V/m。一个质量m=6.4×10-27 kg、带电量q=+3.2×10-19 C的带电粒子以初速度v0=2×104 m /s从y轴上的P点（纵坐标为5×10-2 m）出发，沿着-y方向进入区域I，粒子重力不计，粒子在整个运动过程中始终没有穿出电磁场区域。
（1）求带电粒子第一次穿越x轴时的横坐标；
（2）请结合运动合成和分解的知识，求出带电粒子在区域II中到达最低点的纵坐标y；
（3）求带电粒子从进入区域I开始到第二次穿越x轴时经过的时间t。
解析：（1）由Bqv=m， 得r1= =0.1（m），由图中几何关系可知 sin θ=，
sin θ=，得θ=60°， 即带电粒子离开区域Ⅰ时的速度方向与x轴正向成30°角。所以，带电粒子第一次通过x轴时的坐标：x=r1-r1cos 60°=0.05（m）；
（2）将带电粒子进入区域Ⅰ时的速度沿坐标轴拆分为vx=v0cos 30°=×104 （m/s），vy=v0sin 30°=1×104 （m/s）。
与两个分速度对应的洛伦兹力分别为：
fy=Bqvx=4×10-3×3.2×10-19××104=1.28×10-17（N），方向沿+y方向；
fx=Bqvy=4×10-3×3.2×10-19×1×104=1.28×10-17（N），方向沿+x方向；
电场力F=qE=3.2×10-19×40=1.28×10-17（N），方向沿–y方向。
可见fy =F，二力平衡。所以带电粒子在区域II中的运动可视为沿x轴正方向的速率为vx的匀速直线运动和以速率为vy、洛伦兹力Bqvy作为向心力的、沿逆时针方向的匀速圆周运动的叠加。圆周运动半径为：r2===0.05（m），粒子做匀速圆周运动四分之一周期后到达最低点，对应的纵坐标：y= -r2= -0.05（m）。
（3） 粒子做匀速圆周运动周期T===π×10-5（s）
带电粒子从进入区域Ⅰ开始到第一次穿越x轴，经过的时间t1=。
粒子在区域II中做匀速圆周运动半个周期后，第二次穿越x轴，经历时间t2=。
故带电粒子从进入区域Ⅰ开始到第二次穿越x轴时经过的时间t=t1+t2=+==×10-5（s）。
显然，这类问题是运动的合成与分解的应用。任何一种物理模型都有与之相对应的物理规律，只要熟练掌握物理规律并能灵活运用，就能把复杂的问题简单化。
关键词：复合场 带电粒子 拆分
在高三物理教学中，我们常常会遇到带电粒子既受洛伦兹力，又受电场力或（和）重力作用而做曲线运动的问题，师生都会感到十分棘手。笔者根据多年的教学实践探究出一种简单而实用的方法——把带电粒子的初速度进行“拆分”。
一、方法的提出
带电粒子在正交的匀强磁场和匀强电场中运动，若所受洛伦兹力与电场力或（和）重力不平衡而做复杂的曲线运动时，问题往往变得很复杂。若把带电粒子的初速度进行“拆分”，那么带电粒子复杂的曲线运动就可等效为沿某一方向的匀速直线运动和沿某一时针方向的匀速圆周运动的合运动，从而使问题得以简化。
二、方法的应用
1.初速度方向与电场线方向垂直情况下的拆分
例题1：如图所示，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（重力不计），以初速度v0从左端中央沿虚线射入正交的电场强度为E的匀强电场和磁感强度为B的匀强磁场中。若qv0B>qE，当从右端某点A离开时速率为vA，侧移量为d，则下列说法中正确的是（ ）
A.在该区域中粒子的加速度大小恒为
B.粒子有可能从图中虚线下方离开该区域
C.粒子从A点离开时速率vA=
D.粒子到达A点时洛伦兹力大于电场力
解析：（1）由于粒子刚射入时qv0B>qE，现将其初速度v0沿原方向拆分为v1和v2，使qv1B=qE。这样粒子的运动就等效为速率为v1=，方向水平向右的匀速直线运动和速率为v2=v0-的沿逆时针方向的匀速圆周运动的合运动，其半径R==，那么在该区域中粒子的加速度大小a==。所以选项A正确。
（2）根据两种运动的合成可知，粒子运动的轨迹不可能在虚线的下方，所以选项B错误。
（3）由动能定理得：qEd=mv-mv ，
vA=，所以选项C正确。
（4）由于vA>v0，则有qvAB>qE，所以选项D正确。
拓展：（2010年盐城三模）如图所示，空间匀强电场的场强为E、方向沿着-y方向，匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直xOy平面指向纸内。有一质量为m、电量为q的带正电的粒子（不计重力），从O点出发开始计时，沿+x方向以初速度v0=射入场区。求：
（1）带电粒子能够到达离x轴的最远距离；
（2）从开始到离开场区的时间内，粒子沿x轴运动的距离；
（3）在t=时撤去电场，粒子在以后的运动中还受到与速度大小成正比、方向相反的阻力作用，即f=kv（k为已知常数），求电场撤去后粒子还能发生的位移大小。
解析：（1）由动能定理得：F电y=mv ，得 y=。
（2）把速度v0沿x轴拆分为2个，其中一个产生的f洛与F电平衡。带电粒子的运动可等效为速率为的沿x轴做匀速直线运动和速率为沿逆时针方向做匀速圆周运动的合运动。
∴ x=t=××=
（3）∵ f洛=qvB，f阻=kv， f洛与F阻都与v成正比，其合力方向与速度方向保持不变，其大小为：F合=v
由牛顿第二定律得：v=m
vΔt=mΔv ΣvΔt=ΣmΔv
∴ x=mv0 x=
2.初速度为零的情况下的拆分
例题2：在空间有相互垂直的电场强度为E的匀强电场和磁感强度为B的匀强磁场，如图所示。一质量为m、电荷量为e的电子从坐标原点由静止释放，不计重力。求电子在y轴方向的最大距离。
解析：由于电子的初速度为零，现将它沿x轴方向配上一对等大反向的速度为+v和-v，使v的大小满足evB=eE，即v=。与+v对应的洛伦兹力与电子所受的电场力平衡，与-v所对应的洛伦兹力与y轴同向提供向心力。这样电子的运动可等效为一个速率为v沿x轴正方向的匀速直线运动和速率为v沿顺时针方向的匀速圆周运动的合运动。
对匀速圆周运动，设半径为R，根据evB=m
得：R== 又∵ ym=2R， ∴ ym=
拓展：（2008年江苏高考第14题）在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O点静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。求
（1）小球运动到任意位置P（x，y）的速率v；
（2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym；
（3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（E>mg/q）的匀强电场时，小球从O点静止释放后获得的最大速率vm。
解析：（1）洛伦兹力不做功，由动能定理 得： mgy=mv2
v=
（2）由于带电小球的初速度为零，现将它沿x轴方向上配一对等大反向的速度为+v和-v，使v的大小满足qvB=mg，即v=。与+v对应的洛伦兹力与带电小球所受的重力平衡，与-v所对应的洛伦兹力沿y轴正方向提供向心力。这样，带电小球的运动可等效为一个速率为v沿x轴正方向的匀速直线运动和速率为v沿逆时针方向的匀速圆周运动的合运动。
对匀速圆周运动，设半径为R，根据qvB=m
得：R==
设最大距离为ym，根据题意 ym=2R，则 ym=
（3）小球运动如图所示：
由动能定理（qE-mg）ym=mv 由圆周运动qvmB+mg-qE=m
又∵ R=2ym 解得：
vm= 3.一般情况下的初速度的拆分
例题3：（2010年南京二模）如图所示，在y≤5×10-2 m的空间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=4×10-3 T，在y≤0空间同时存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度E=40V/m。一个质量m=6.4×10-27 kg、带电量q=+3.2×10-19 C的带电粒子以初速度v0=2×104 m /s从y轴上的P点（纵坐标为5×10-2 m）出发，沿着-y方向进入区域I，粒子重力不计，粒子在整个运动过程中始终没有穿出电磁场区域。
（1）求带电粒子第一次穿越x轴时的横坐标；
（2）请结合运动合成和分解的知识，求出带电粒子在区域II中到达最低点的纵坐标y；
（3）求带电粒子从进入区域I开始到第二次穿越x轴时经过的时间t。
解析：（1）由Bqv=m， 得r1= =0.1（m），由图中几何关系可知 sin θ=，
sin θ=，得θ=60°， 即带电粒子离开区域Ⅰ时的速度方向与x轴正向成30°角。所以，带电粒子第一次通过x轴时的坐标：x=r1-r1cos 60°=0.05（m）；
（2）将带电粒子进入区域Ⅰ时的速度沿坐标轴拆分为vx=v0cos 30°=×104 （m/s），vy=v0sin 30°=1×104 （m/s）。
与两个分速度对应的洛伦兹力分别为：
fy=Bqvx=4×10-3×3.2×10-19××104=1.28×10-17（N），方向沿+y方向；
fx=Bqvy=4×10-3×3.2×10-19×1×104=1.28×10-17（N），方向沿+x方向；
电场力F=qE=3.2×10-19×40=1.28×10-17（N），方向沿–y方向。
可见fy =F，二力平衡。所以带电粒子在区域II中的运动可视为沿x轴正方向的速率为vx的匀速直线运动和以速率为vy、洛伦兹力Bqvy作为向心力的、沿逆时针方向的匀速圆周运动的叠加。圆周运动半径为：r2===0.05（m），粒子做匀速圆周运动四分之一周期后到达最低点，对应的纵坐标：y= -r2= -0.05（m）。
（3） 粒子做匀速圆周运动周期T===π×10-5（s）
带电粒子从进入区域Ⅰ开始到第一次穿越x轴，经过的时间t1=。
粒子在区域II中做匀速圆周运动半个周期后，第二次穿越x轴，经历时间t2=。
故带电粒子从进入区域Ⅰ开始到第二次穿越x轴时经过的时间t=t1+t2=+==×10-5（s）。
显然，这类问题是运动的合成与分解的应用。任何一种物理模型都有与之相对应的物理规律，只要熟练掌握物理规律并能灵活运用，就能把复杂的问题简单化。