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圆锥曲线是一类重要的平面曲线，它有很多优美的性质被不断发现.笔者最近研究发现椭圆和双曲线的一个优美的新性质，写出来与读者共享.
如图1，设椭圆的中心为O，A、B、C三点都在椭圆上，连接OA，OB，OC，若满足∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，则1OA2+1OB2+1OC2是一个定值.确切地说，如果椭圆的长轴和短轴的长分别为2a和2b，则1OA2+1OB2+1OC2=3（a2+b2）2a2b2.
如图2，设双曲线的中心为O，A、B、C三点都在双曲线上，连接OA，OB，OC，若满足∠AOB=∠BOC=∠COA=120°（说明：不是所有的双曲线都能满足这一条件，如果双曲线的实轴和虚轴的长分别为2a和2b，只有当b>3a时这一条件才能被满足，这一点在本文的最后将予以说明），则1OA2+1OB2+1OC2是一个定值.确切地说，如果双曲线的实轴和虚轴的长分别为2a和2b，则1OA2+1OB2+1OC2=3（b2-a2）2a2b2.
下面证明这两个性质.
如图3，设椭圆的标准方程是x2a2+y2b2=1，设OA与x轴的正方向的交角为θ，则直线OA的斜率k=tanθ（这里的θ不一定是直线OA的倾斜角，但斜率的计算是正确的）.直线OA的方程为y=kx，代入椭圆的标准方程得x2a2+k2x2b2=1，解得x2=a2b2b2+a2k2，也就有y2=a2b2k2b2+a2k2.这个解分别是A点的横坐标和纵坐标的平方，故1OA2=1x2+y2=b2+a2k2a2b2（1+k2）.（1）
因为直线OB的斜率可表示为kOB=tan（θ+120°）=tanθ+tan120°1-tanθtan120°=k-31+3k，将（1）式中的k换成k-31+3k，便可得到：
1OB2=b2+a2k-31+3k2a2b21+k-31+3k2
=b2（1+3k）2+a2（k-3）2a2b2[（1+3k）2+（k-3）2]
=b2（1+3k）2+a2（k-3）24a2b2（1+k2）.
因为直线OC的斜率可表示为kOC=tan（θ-120°）=tanθ-tan120°1+tanθtan120°=k+31-3k，将（1）式中的k换成k+31-3k，便可得到：
1OC2=b2+a2k+31-3k2a2b21+k+31-3k2
=b2（1-3k）2+a2（k+3）2a2b2[（1-3k）2+（k+3）2]
=b2（1-3k）2+a2（k+3）24a2b2（1+k2）.
从而可得：
1OA2+1OB2+1OC2=4（b2+a2k2）+b2（1+3k）24a2b2（1+k2）++a2（k-3）2+b2（1-3k）2+a2（k+3）24a2b2（1+k2）
=6（1+k2）（a2+b2）4a2b2（1+k2）
=3（a2+b2）2a2b2.
以上证明没有考虑斜率不存在的情形，下面给予说明.
如图4，有三种特殊情形：
（1）θ=90°（2）θ=30°（3）θ=150°
（1）θ=90°，此时直线OA的斜率kOA不存在；
（2）θ=30°，此时直线OC的斜率kOC不存在；
（3）θ=150°，此时直线OB的斜率kOB不存在.
由于这三种情形下1OA2+1OB2+1OC2的值是相同的，所以只要对第一种情形进行计算就行了.当θ=90°时，OA2=b2，kOB=33，1OB2=b2+a2332a2b21+332=3b2+a24a2b2，又OB=OC，所以1OA2+1OB2+1OC2=1b2+2·3b2+a24a2b2=2a2+3b2+a22a2b2=3（a2+b2）2a2b2.
作者单位：江苏省运河高等师范学校
如图1，设椭圆的中心为O，A、B、C三点都在椭圆上，连接OA，OB，OC，若满足∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，则1OA2+1OB2+1OC2是一个定值.确切地说，如果椭圆的长轴和短轴的长分别为2a和2b，则1OA2+1OB2+1OC2=3（a2+b2）2a2b2.
如图2，设双曲线的中心为O，A、B、C三点都在双曲线上，连接OA，OB，OC，若满足∠AOB=∠BOC=∠COA=120°（说明：不是所有的双曲线都能满足这一条件，如果双曲线的实轴和虚轴的长分别为2a和2b，只有当b>3a时这一条件才能被满足，这一点在本文的最后将予以说明），则1OA2+1OB2+1OC2是一个定值.确切地说，如果双曲线的实轴和虚轴的长分别为2a和2b，则1OA2+1OB2+1OC2=3（b2-a2）2a2b2.
下面证明这两个性质.
如图3，设椭圆的标准方程是x2a2+y2b2=1，设OA与x轴的正方向的交角为θ，则直线OA的斜率k=tanθ（这里的θ不一定是直线OA的倾斜角，但斜率的计算是正确的）.直线OA的方程为y=kx，代入椭圆的标准方程得x2a2+k2x2b2=1，解得x2=a2b2b2+a2k2，也就有y2=a2b2k2b2+a2k2.这个解分别是A点的横坐标和纵坐标的平方，故1OA2=1x2+y2=b2+a2k2a2b2（1+k2）.（1）
因为直线OB的斜率可表示为kOB=tan（θ+120°）=tanθ+tan120°1-tanθtan120°=k-31+3k，将（1）式中的k换成k-31+3k，便可得到：
1OB2=b2+a2k-31+3k2a2b21+k-31+3k2
=b2（1+3k）2+a2（k-3）2a2b2[（1+3k）2+（k-3）2]
=b2（1+3k）2+a2（k-3）24a2b2（1+k2）.
因为直线OC的斜率可表示为kOC=tan（θ-120°）=tanθ-tan120°1+tanθtan120°=k+31-3k，将（1）式中的k换成k+31-3k，便可得到：
1OC2=b2+a2k+31-3k2a2b21+k+31-3k2
=b2（1-3k）2+a2（k+3）2a2b2[（1-3k）2+（k+3）2]
=b2（1-3k）2+a2（k+3）24a2b2（1+k2）.
从而可得：
1OA2+1OB2+1OC2=4（b2+a2k2）+b2（1+3k）24a2b2（1+k2）++a2（k-3）2+b2（1-3k）2+a2（k+3）24a2b2（1+k2）
=6（1+k2）（a2+b2）4a2b2（1+k2）
=3（a2+b2）2a2b2.
以上证明没有考虑斜率不存在的情形，下面给予说明.
如图4，有三种特殊情形：
（1）θ=90°（2）θ=30°（3）θ=150°
（1）θ=90°，此时直线OA的斜率kOA不存在；
（2）θ=30°，此时直线OC的斜率kOC不存在；
（3）θ=150°，此时直线OB的斜率kOB不存在.
由于这三种情形下1OA2+1OB2+1OC2的值是相同的，所以只要对第一种情形进行计算就行了.当θ=90°时，OA2=b2，kOB=33，1OB2=b2+a2332a2b21+332=3b2+a24a2b2，又OB=OC，所以1OA2+1OB2+1OC2=1b2+2·3b2+a24a2b2=2a2+3b2+a22a2b2=3（a2+b2）2a2b2.
作者单位：江苏省运河高等师范学校