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摘 要：概念和应用是数学思维必不可少的两样基础，深度理解“定义”，并掌握“公式”是真正学好数学的基本功，而不是靠题海和训练套路的。
关键词：直觉；抽象；数学思维
思维是人们根据已知条件，依托已有的知识和经验，对未知的客观事物的间接反映，是认识过程的高级阶段，即以感知为基础又超越感知的智力活动。数学思维是一种有序的、有系统的思考，是层层递进地观察、猜想、探索和发现事物规律的逻辑思维。
一、 软件画图激发直觉思维
直觉思维是没有经过完整的分析过程和严密的逻辑推理，凭借灵感快速理解，仰仗顿悟作出判断的非逻辑思维。记得我从理科考场走出来时，听见学生议论着（2018年全国Ⅰ理科16）已知函数f（x）=2sinx sin2x，则函数f（x）的最小值是 ，很多学生说他们的答案是0。为了验证他们的答案，我利用手机中函数的图像，发现最小值不是0。
平时我们可以在数学软件geogebra的在命令框中直接输入f（x）=2sinx sin2x，便得到函数的图像，引导学生发现猜想错误，激发了学生的探究的热情。接着再在geogebra软件的在命令框中直接输入derivativef（x）=2sinx sin2x，便得到f（x）的导函数图像，引导学生如何由图像想性质，经历如何用导数求函数f（x）的最小值的过程。
二、 推理论证形成抽象思维
抽象思维是人们以概念为起点运用分析、综合、归纳、演绎方法去进行逻辑推理的思维方式，主要用于代数方面。该题推理过程就是学生抽象思维的结果，具体如下：首先，让学生知道该题是应用导数研究函数的最小值问题，其次，在求解的过程中，让学生明确函数的相关求导公式，函数的单调性与其导数符号的关系，由函数的单调增区间和单调减区间求得函数的最小值点，第三，求得相应的三角函数值，最后代入求得函数的最小值。
代数推理方法1（直接求导）：首先对函数f（x）=2sinx sin2x进行求导，化简求得f′（x）=2cosx 2cos2x=2cosx 4cos2x-2=4（cosx 1）（cosx-12），由不等式f′（x）>0得函数的单调增区间为[2kπ-13π，2kπ 13π]，k∈Z，由不等式f′（x）<0得函数的单调减区间为[2kπ 13π，2kπ 53π]，k∈Z，比较函数的极值和端点值，从而确定函数的最小值。即当x=2kπ-13π，k∈Z时，函数f（x）取得最小值是-332。
代数推理方法2（换元后求导）：首先引导学生对函数f（x）=2sinx sin2x化同名，f（x）=2sinx（1 cosx）=2×2tanx21 tan2x2（1 1-tan2x21 tan2x2），
换元，设t=tanx2，则f（t）=2×2t1 t2（1 1-t21 t2）=8t（1 t2）2，求导化简得f′（t）=-8（3t2-1）（1 t2）3，确定出函数的减区间为（-∞，-33]，[33， ∞），增区间为[-33，33]，由函数的极值和函数图像，得t=-33时，函数f（x）取得最小值，
确定函数的最小值是-332。
以上过程正如张景中院士所说“好的教材、好的读物、好的老师，就应当向学生展示数学思维的美妙，引导学生体验震撼感、力量感、解放感和科学之美”。
三、 日常积累拓宽数学思维
（一） 加强概念和应用，提升直觉思维
数学解题是学生对数学概念、定理和公式的一种灵感和顿悟，是对学生长期以来积累的数学知识的积累，对学生数学思考过程的一种提炼，是数学能力的一种升华。因此学生要熟悉概念、公式和定理的使用条件，结合自身的知识和经验，提升直觉思維作出正确的判断。
（二） 加强知识网络，培养思维导图
加强各模块间联系，构建知识网络，搭建桥梁在原来认为毫无关联的各章节知识或诸理论分支之间，往往可以觉察到某种统一性或相关性，进一步沟通内化，拓展学生眼界，让学生形成思维导图。
（三） 加强数形结合，培养思维敏锐
学生的观察力和观察角度与其的直觉息息相关，观察力敏锐的学生，洞察事物本质，直觉思维出现的概率高，直觉效果非常好。数形结合激发学生的洞察力和顿悟力，而洞察力和顿悟力又是直觉思维的突出特点，因此，平常解题中常常应用数形结合，提高学生思维的敏锐。
总之，学习数学的乐趣是学生思考之乐，是挑战之乐。产生数学思维的源泉在双基和合理认知结构，这就要求教师在平常教学中要帮助学生夯实基础、熟练通法紧抓不放。只有掌握好数学的基础知识和基本结构，掌握好数学的基本技能，强化基础的同时渗透数学思想方法、特别是数形结合思想，抽象概括能力，提升空间想象能力，推理论证能力，数据处理能力，运算求解能力的解题能力。注意帮助学生查缺补漏，举一反三、触类旁通，才能有助于学生的思维由单向型向多向型转变，由直观向抽象转变，由粗糙向严谨转变，提高学生的数学思维能力。
参考文献：
[1]靳峰娜.高中数学教学中培养数学思维能力的实践探析[J].才智，2014（08）：98.
[2]彭丽霞.高中生数学抽象素养的现状调查研究[D].福建师范大学，2017.
作者简介：
陈锦平，福建省福州市，福建省福州高级中学。
关键词：直觉；抽象；数学思维
思维是人们根据已知条件，依托已有的知识和经验，对未知的客观事物的间接反映，是认识过程的高级阶段，即以感知为基础又超越感知的智力活动。数学思维是一种有序的、有系统的思考，是层层递进地观察、猜想、探索和发现事物规律的逻辑思维。
一、 软件画图激发直觉思维
直觉思维是没有经过完整的分析过程和严密的逻辑推理，凭借灵感快速理解，仰仗顿悟作出判断的非逻辑思维。记得我从理科考场走出来时，听见学生议论着（2018年全国Ⅰ理科16）已知函数f（x）=2sinx sin2x，则函数f（x）的最小值是 ，很多学生说他们的答案是0。为了验证他们的答案，我利用手机中函数的图像，发现最小值不是0。
平时我们可以在数学软件geogebra的在命令框中直接输入f（x）=2sinx sin2x，便得到函数的图像，引导学生发现猜想错误，激发了学生的探究的热情。接着再在geogebra软件的在命令框中直接输入derivativef（x）=2sinx sin2x，便得到f（x）的导函数图像，引导学生如何由图像想性质，经历如何用导数求函数f（x）的最小值的过程。
二、 推理论证形成抽象思维
抽象思维是人们以概念为起点运用分析、综合、归纳、演绎方法去进行逻辑推理的思维方式，主要用于代数方面。该题推理过程就是学生抽象思维的结果，具体如下：首先，让学生知道该题是应用导数研究函数的最小值问题，其次，在求解的过程中，让学生明确函数的相关求导公式，函数的单调性与其导数符号的关系，由函数的单调增区间和单调减区间求得函数的最小值点，第三，求得相应的三角函数值，最后代入求得函数的最小值。
代数推理方法1（直接求导）：首先对函数f（x）=2sinx sin2x进行求导，化简求得f′（x）=2cosx 2cos2x=2cosx 4cos2x-2=4（cosx 1）（cosx-12），由不等式f′（x）>0得函数的单调增区间为[2kπ-13π，2kπ 13π]，k∈Z，由不等式f′（x）<0得函数的单调减区间为[2kπ 13π，2kπ 53π]，k∈Z，比较函数的极值和端点值，从而确定函数的最小值。即当x=2kπ-13π，k∈Z时，函数f（x）取得最小值是-332。
代数推理方法2（换元后求导）：首先引导学生对函数f（x）=2sinx sin2x化同名，f（x）=2sinx（1 cosx）=2×2tanx21 tan2x2（1 1-tan2x21 tan2x2），
换元，设t=tanx2，则f（t）=2×2t1 t2（1 1-t21 t2）=8t（1 t2）2，求导化简得f′（t）=-8（3t2-1）（1 t2）3，确定出函数的减区间为（-∞，-33]，[33， ∞），增区间为[-33，33]，由函数的极值和函数图像，得t=-33时，函数f（x）取得最小值，
确定函数的最小值是-332。
以上过程正如张景中院士所说“好的教材、好的读物、好的老师，就应当向学生展示数学思维的美妙，引导学生体验震撼感、力量感、解放感和科学之美”。
三、 日常积累拓宽数学思维
（一） 加强概念和应用，提升直觉思维
数学解题是学生对数学概念、定理和公式的一种灵感和顿悟，是对学生长期以来积累的数学知识的积累，对学生数学思考过程的一种提炼，是数学能力的一种升华。因此学生要熟悉概念、公式和定理的使用条件，结合自身的知识和经验，提升直觉思維作出正确的判断。
（二） 加强知识网络，培养思维导图
加强各模块间联系，构建知识网络，搭建桥梁在原来认为毫无关联的各章节知识或诸理论分支之间，往往可以觉察到某种统一性或相关性，进一步沟通内化，拓展学生眼界，让学生形成思维导图。
（三） 加强数形结合，培养思维敏锐
学生的观察力和观察角度与其的直觉息息相关，观察力敏锐的学生，洞察事物本质，直觉思维出现的概率高，直觉效果非常好。数形结合激发学生的洞察力和顿悟力，而洞察力和顿悟力又是直觉思维的突出特点，因此，平常解题中常常应用数形结合，提高学生思维的敏锐。
总之，学习数学的乐趣是学生思考之乐，是挑战之乐。产生数学思维的源泉在双基和合理认知结构，这就要求教师在平常教学中要帮助学生夯实基础、熟练通法紧抓不放。只有掌握好数学的基础知识和基本结构，掌握好数学的基本技能，强化基础的同时渗透数学思想方法、特别是数形结合思想，抽象概括能力，提升空间想象能力，推理论证能力，数据处理能力，运算求解能力的解题能力。注意帮助学生查缺补漏，举一反三、触类旁通，才能有助于学生的思维由单向型向多向型转变，由直观向抽象转变，由粗糙向严谨转变，提高学生的数学思维能力。
参考文献：
[1]靳峰娜.高中数学教学中培养数学思维能力的实践探析[J].才智，2014（08）：98.
[2]彭丽霞.高中生数学抽象素养的现状调查研究[D].福建师范大学，2017.
作者简介：
陈锦平，福建省福州市，福建省福州高级中学。