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在平面向量这一章，很多题目都是以向量形式给出一些条件，让你判断其具体几何模型，如三角形四心的判断. 现在把这类题型的规律探索一番，便于总结规律，发现解决这类题型的技巧.
结论1 在平行四边形[ABCD]中，
（1）若[AB=AD]，
则[(AB+AD)⋅(AB-AD)=0]，即四边形为菱形.
（2）若[AC=BD]，
则[AB+AD=AB-AD]，即四边形为矩形.
结论2 在[△ABC]中，[O]是[△ABC]所在平面任一点.
（1）若[OA2=OB2=OC2]，则[O]是[△ABC]的外心.
（2）若[OA+OB+OC=0]，则[O]是[△ABC]的重心.
（3）若[OA⋅•OB=OB•⋅OC=OA⋅•OC]，则[O]是[△ABC]的垂心.
（4）若[aOA+bOB+cOC=0][⇔] [O]是[△ABC]的内心.
其中前三个容易证明，对于第四个结论笔者给出如下证明：
先证：[aOA+bOB+cOC=0]，则[O]是[△ABC]的内心.
证 由[aOA+bOB+cOC=0]，
则[aOA+b(OA+AB)+c(OA+AC)=0]，
则[(a+b+c)OA=-(bAB+cAC)]
=[-bc(ABAB+ACAC)]，
即[OA=-bca+b+c(ABAB+ACAC)]，
所以[OA]为[∠BAC]的角平分线.
同理可证[OC、OB]分别为[∠ABC]和[∠BCA]角平分线.
再证：若[O]为内心，则[aOA+bOB+cOC=0.]
如上图1，作[MB//CO]交[AO]延长线于[M]，
由内角平分线定理
[ABAC=BDDC=cb,BDDC=BMOC=cb⇒BM=cbOC⇒BM=cbOC,]
[AFBF=OAOM,AFBF=ACBC=ba⇒OAOM=ba⇒OM=abAO,]
则[BM=BO+OM][⇒cbOC=-OB-abOA]
[⇒aOA+bOB+cOC=0].
综上，在[△ABC]中，[aOA+bOB+cOC=0][⇔] [O]是[△ABC]的内心.
结论3 在[△ABC]中，[O和P]为[△ABC]所在平面任一点，
（1）若[OP=OA+λ(ABAB+ACAC)(λ>0)]，
则[AP]过[△ABC]的内心.
证：因为[OP-OA=λ(ABAB+ACAC)]，
则[AP=λ(ABAB+ACAC)]，所以[AP]为[△ABC]的角平分线，[AP]过[△ABC]的内心.
（2）若[OP=OA+λ(AB+AC)(λ>0)]，则[AP]过[△ABC]的重心.
证 因为[OP-OA=λ(AB+AC)]，
则[AP=λ(AB+AC)]，所以[AP]与[△ABC]边[BC]的中线共线，[AP]过[ΔABC]的重心.
（3）若[OP=OA+λ(ABABcosB+ACACcosC)]
[(λ>0)]，则[AP]过[△ABC]的垂心.
证 [OP-OA=AP=λ(ABABcosB+ACACcosC)，]
即[AP⋅BC=λ(ABABcosBBC+ACACcosCBC)]，
得[AP⋅•BC=λ(ABABcosBBCcosB+]
[ACACcosCBCcos(π-C))]=0，
则[AP]与[BC]垂直，即[AP]为[△ABC]中[BC]边上的高，故[AP]过[△ABC]的重心.
4）若[OP=OB+OC2+λ(ABABcosB+ACACcosC)][(λ>0)]，则动点[P]的轨迹一定通过[△ABC]的外心.
证：设[BC]中点为[M]，则[OB+OC2]=[OM]，
即[OP=OM+λ(ABABcosB+ACACcosC)],
[OP-OM=MP=λ(ABABcosB+ACACcosC)]，则[MP⋅•BC=0]，即[MP]为[△ABC]中[BC]边上的中垂线，所以[MP]过[△ABC]的外心.
有了这些结论作为基础，我们可以轻松地解决下面的问题：
1. 三个不共线的向量[OA、OB、OC]，满足[OA⋅(ABAB+CACA)]=[OB⋅•(ABAB+CBCB)]=[OC⋅•(ABAB][+CACA)]=0，则[O]一定是三角形[△ABC]的（ ）
A．垂心 B．重心
C．内心 D．外心
解 如图2：[ABAB+CACA]为[∠BAC]的外角平分线[AM]，又因为[AM⋅•AO=0]，所以[AO为][∠BAC]的内角平分线，同理可证[BO、CO]分别为[∠ABC]和[∠ACB]的平分线，故选C.
2. 已知[O]为[△ABC]所在平面内一点，满足[OA2+BC2]=[OB2+CA2=OC2+AB2]，则点[O]是[△ABC]的（ ）
A．垂心 B．重心
C．内心 D．外心
解 [OA2+BC2-OB2-CA2=0] ，
则[(OA-OB)⋅(OA+OB)+(BC-CA)⋅(BC]
[+CA)=0，]
即[BA⋅(OA+OB+BC+CA)=0]，
则[BA⋅2OC=0]，所以[BA⊥OC]，
同理可证，[CB⊥OA]，[AC⊥OB]，故选A.
3. 已知[O]为[△ABC]所在平面内一点，若点[P]满足[OP=OA+λ(ABABcosB+ACACcosC)][(λ>0)]，则[P]的轨迹一定过[△ABC]的（ ）
A．垂心 B．重心
C．内心 D．外心
解 如图3，作[AD⊥BC]于[D]，
则[ABsinB=ACsinC=AD]，
所以[OP-OA=AP=λ(ABAD+ACAD)]
=[λAD(AB+AC)]，
所以[AP]与[△ABC]中[BC]边上的中边共线，故选B.
4. 已知[M]是[△ABC]所在平面上的一个定点，动点[P]满足
[MP=MA+λ(ABABsinC+ACACsinB)][(λ>0)]，
则动点[P]的轨迹一定通过[△ABC]的（ ）
A．垂心 B．重心
C．内心 D．外心
解 [MP-MA=AP=λ(ABABsinC+ACACsinB)]，在[△ABC]中，由正弦定理：[sinCAB=sinBAC=12R]，即[AP=λ2R(AB+AC)]，则[AP]与[ΔABC]中[BC]边上的中线共线，故选B.
5. 已知点[O]是[△ABC]所在平面上的一点，且满足[OA+sinAsinA+sinB⋅(OB-OA)]+[sinBsinA+sinB][⋅(OC-OA)=0]，则点[O]是（ ）
A．在[AB]边上 B．在[AC]边上
C．在[BC]边上 D．在[△ABC]的内部
解 由题意和正弦定理可知
[OA+aa+bAB+ba+bAC=O]，
所以[AO=aa+bAB+ba+bAC]，
因为[0 所以[O在BC]边上，故选C.
以上这些例题和结论主要是在[△ABC]中，要注意这几个模型：中线模型，[λ(AB+AC)][(λ>0)]；内角平分线模型，[λ(ABAB+ACAC)][(λ>0)]；高线模型，[AO⋅BC=0]（[O]为[△ABC]平面内一点）；中垂线模型，[(OP-OB+OC2)⋅BC=0]（[O]为[△ABC]平面内一点）. 结合正弦定理，向量的数量运算，这类型题都可以圆满解决.
结论1 在平行四边形[ABCD]中，
（1）若[AB=AD]，
则[(AB+AD)⋅(AB-AD)=0]，即四边形为菱形.
（2）若[AC=BD]，
则[AB+AD=AB-AD]，即四边形为矩形.
结论2 在[△ABC]中，[O]是[△ABC]所在平面任一点.
（1）若[OA2=OB2=OC2]，则[O]是[△ABC]的外心.
（2）若[OA+OB+OC=0]，则[O]是[△ABC]的重心.
（3）若[OA⋅•OB=OB•⋅OC=OA⋅•OC]，则[O]是[△ABC]的垂心.
（4）若[aOA+bOB+cOC=0][⇔] [O]是[△ABC]的内心.
其中前三个容易证明，对于第四个结论笔者给出如下证明：
先证：[aOA+bOB+cOC=0]，则[O]是[△ABC]的内心.
证 由[aOA+bOB+cOC=0]，
则[aOA+b(OA+AB)+c(OA+AC)=0]，
则[(a+b+c)OA=-(bAB+cAC)]
=[-bc(ABAB+ACAC)]，
即[OA=-bca+b+c(ABAB+ACAC)]，
所以[OA]为[∠BAC]的角平分线.
同理可证[OC、OB]分别为[∠ABC]和[∠BCA]角平分线.
再证：若[O]为内心，则[aOA+bOB+cOC=0.]
如上图1，作[MB//CO]交[AO]延长线于[M]，
由内角平分线定理
[ABAC=BDDC=cb,BDDC=BMOC=cb⇒BM=cbOC⇒BM=cbOC,]
[AFBF=OAOM,AFBF=ACBC=ba⇒OAOM=ba⇒OM=abAO,]
则[BM=BO+OM][⇒cbOC=-OB-abOA]
[⇒aOA+bOB+cOC=0].
综上，在[△ABC]中，[aOA+bOB+cOC=0][⇔] [O]是[△ABC]的内心.
结论3 在[△ABC]中，[O和P]为[△ABC]所在平面任一点，
（1）若[OP=OA+λ(ABAB+ACAC)(λ>0)]，
则[AP]过[△ABC]的内心.
证：因为[OP-OA=λ(ABAB+ACAC)]，
则[AP=λ(ABAB+ACAC)]，所以[AP]为[△ABC]的角平分线，[AP]过[△ABC]的内心.
（2）若[OP=OA+λ(AB+AC)(λ>0)]，则[AP]过[△ABC]的重心.
证 因为[OP-OA=λ(AB+AC)]，
则[AP=λ(AB+AC)]，所以[AP]与[△ABC]边[BC]的中线共线，[AP]过[ΔABC]的重心.
（3）若[OP=OA+λ(ABABcosB+ACACcosC)]
[(λ>0)]，则[AP]过[△ABC]的垂心.
证 [OP-OA=AP=λ(ABABcosB+ACACcosC)，]
即[AP⋅BC=λ(ABABcosBBC+ACACcosCBC)]，
得[AP⋅•BC=λ(ABABcosBBCcosB+]
[ACACcosCBCcos(π-C))]=0，
则[AP]与[BC]垂直，即[AP]为[△ABC]中[BC]边上的高，故[AP]过[△ABC]的重心.
4）若[OP=OB+OC2+λ(ABABcosB+ACACcosC)][(λ>0)]，则动点[P]的轨迹一定通过[△ABC]的外心.
证：设[BC]中点为[M]，则[OB+OC2]=[OM]，
即[OP=OM+λ(ABABcosB+ACACcosC)],
[OP-OM=MP=λ(ABABcosB+ACACcosC)]，则[MP⋅•BC=0]，即[MP]为[△ABC]中[BC]边上的中垂线，所以[MP]过[△ABC]的外心.
有了这些结论作为基础，我们可以轻松地解决下面的问题：
1. 三个不共线的向量[OA、OB、OC]，满足[OA⋅(ABAB+CACA)]=[OB⋅•(ABAB+CBCB)]=[OC⋅•(ABAB][+CACA)]=0，则[O]一定是三角形[△ABC]的（ ）
A．垂心 B．重心
C．内心 D．外心
解 如图2：[ABAB+CACA]为[∠BAC]的外角平分线[AM]，又因为[AM⋅•AO=0]，所以[AO为][∠BAC]的内角平分线，同理可证[BO、CO]分别为[∠ABC]和[∠ACB]的平分线，故选C.
2. 已知[O]为[△ABC]所在平面内一点，满足[OA2+BC2]=[OB2+CA2=OC2+AB2]，则点[O]是[△ABC]的（ ）
A．垂心 B．重心
C．内心 D．外心
解 [OA2+BC2-OB2-CA2=0] ，
则[(OA-OB)⋅(OA+OB)+(BC-CA)⋅(BC]
[+CA)=0，]
即[BA⋅(OA+OB+BC+CA)=0]，
则[BA⋅2OC=0]，所以[BA⊥OC]，
同理可证，[CB⊥OA]，[AC⊥OB]，故选A.
3. 已知[O]为[△ABC]所在平面内一点，若点[P]满足[OP=OA+λ(ABABcosB+ACACcosC)][(λ>0)]，则[P]的轨迹一定过[△ABC]的（ ）
A．垂心 B．重心
C．内心 D．外心
解 如图3，作[AD⊥BC]于[D]，
则[ABsinB=ACsinC=AD]，
所以[OP-OA=AP=λ(ABAD+ACAD)]
=[λAD(AB+AC)]，
所以[AP]与[△ABC]中[BC]边上的中边共线，故选B.
4. 已知[M]是[△ABC]所在平面上的一个定点，动点[P]满足
[MP=MA+λ(ABABsinC+ACACsinB)][(λ>0)]，
则动点[P]的轨迹一定通过[△ABC]的（ ）
A．垂心 B．重心
C．内心 D．外心
解 [MP-MA=AP=λ(ABABsinC+ACACsinB)]，在[△ABC]中，由正弦定理：[sinCAB=sinBAC=12R]，即[AP=λ2R(AB+AC)]，则[AP]与[ΔABC]中[BC]边上的中线共线，故选B.
5. 已知点[O]是[△ABC]所在平面上的一点，且满足[OA+sinAsinA+sinB⋅(OB-OA)]+[sinBsinA+sinB][⋅(OC-OA)=0]，则点[O]是（ ）
A．在[AB]边上 B．在[AC]边上
C．在[BC]边上 D．在[△ABC]的内部
解 由题意和正弦定理可知
[OA+aa+bAB+ba+bAC=O]，
所以[AO=aa+bAB+ba+bAC]，
因为[0
以上这些例题和结论主要是在[△ABC]中，要注意这几个模型：中线模型，[λ(AB+AC)][(λ>0)]；内角平分线模型，[λ(ABAB+ACAC)][(λ>0)]；高线模型，[AO⋅BC=0]（[O]为[△ABC]平面内一点）；中垂线模型，[(OP-OB+OC2)⋅BC=0]（[O]为[△ABC]平面内一点）. 结合正弦定理，向量的数量运算，这类型题都可以圆满解决.