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一、问题的提出
“平面图形的面积计算”在《数学课程标准》的内容分类中属于“空间与图形”的范畴，是“测量”的重要组成部分，主要包括面积公式推导及其应用两块。传统的平面图形面积计算教学中，教师在处理计算公式的推导与应用公式解决问题的关系时，轻过程，重结论，往往忽视学生对计算公式意义上的理解，突出公式的机械套用，致使学生对公式的意义“不知其所以然”的现象普遍存在。那么，在新课程背景下，对于平面图形面积计算的教学，我们该如何继承传统教学的优点，在不削弱学生应用公式解决问题的能力的前提下，引导学生充分经历公式的形成过程，感悟面积计算方法的内在原理，在掌握知识与技能的同时，实现数学思考、解决问题、情感与态度等多维的发展呢？带着对这些问题的思考，我们以《长方形面积的计算》一课为例，进行了教学实践与研究。
二、教学内容定位与学生认知基础调查
《长方形面积的计算》是一节经典内容，它是平面图形面积计算教学的起始课，是以后进行平行四边形、三角形、梯形及圆等平面图形面积计算教学的基础，在学生数学学习过程中有着重要的地位。我们一般认为，因为长方形是学生比较熟悉的图形，并且之前有《面积意义及面积单位》的教学，学生对长方形的面积有相当的认识基础，可能有比较多的学生会计算长方形的面积。为了对学生的学习基础有比较准确的了解，我们在课前对试教班44名学生进行了问卷调查。
调查材料：
问题：你会计算长方形的面积吗？会的请试着计算下列长方形的面积（提供的长方形实际长5厘米，宽4厘米），并写出计算过程。
结果如下表：
调查结果有点出乎我们预料，班中已经知道长方形面积是用“长×宽”来计算的学生只占全部学生的43.1%；而既知道长方形面积计算方法，又能理解“长×宽”的意义的学生则不到10%；超过半数的学生还不知道长方形的面积该如何计算。
三、提出假设
基于以上对教材内容的分析与课前调查状况，我们提出了研究假设。
假设一：以面积意义为出发点，引导学生理解计算长方形面积其实就是求长方形中所包含相应的面积单位的个数。
从调查结果知道，有43%的学生已经知道长方形的面积是用“长×宽”来计算的。通过访谈，得知这些学生中大多数是家长教的，而对“‘长×宽’是什么意思，为什么可以用‘长×宽’来计算长方形面积”等指向计算公式本质意义的问题，知道的学生则不多。事实上，“面积”是人们从一维空间拓展到二维空间来认识事物的重要载体。作为面积计算教学的起始课，理解长方形面积计算公式的基础应该是“面积”的意义。因此，本节内容除了让学生知道长方形的面积确实可以用“长×宽”来计算这一显性知识之外，还有另外一个功能，即促进学生加深对“面积”意义的理解，让学生知道与“长”相对应的是沿着长边可以摆几个相应的面积单位，与“宽”相对应的是沿着宽边能摆这样的几行，“长×宽”即是算出此长方形所包含的面积单位的个数，引导学生对长、宽与对应的面积单位个数之间建立联系。在这节课的教学中，要实现这样的目标是可行的。
假设二：以摆1平方厘米面积单位为主要方式，引导学生自主感悟长方形面积计算中长、宽与对应面积单位个数之间的关系，在理解的基础上认识并掌握长方形的面积计算公式。
从调查中我们知道，本班学生知道长方形面积计算公式的不超过半数，且超过90%的学生对长方形的面积计算方法，甚至对“面积”的认识还不清晰。学生把面积与长度混淆的现象还存在。这从调查的15名会算的学生中也能够看出，他们中有7人把面积单位写成了长度单位，3人则没有写单位，只有5人写正确。这显然与学生刚刚学习面积，对面积意义的理解还不够深刻有关。因此，我们认为，在《长方形面积的计算》的教学中，仍然需要以进一步认识理解面积意义为基础，结合理解长方形面积的过程，逐步实现长方形面积计算方法的归纳与提炼。而以摆相应面积单位引入，引导学生通过操作活动自主感悟、自我发现是一种行之有效的教学手段。
四、教学流程设计及分析
1．教学流程设计
（1）导入环节：复习面积的意义及常用的面积单位。
（2）探究环节：提供四个没标数据的长方形，引导学生逐步理解长、宽与面积单位个数之间的关系（图1：长3厘米，宽2厘米；图2：长4厘米，宽3厘米；图3：长5厘米，宽4厘米；图4：长15厘米，宽10厘米）。
所提供的学习材料的组织、教学策略与教学目标说明：
图1：动手操作求得面积，意在巩固理解面积的意义，知道“用面积单位摆满”，所用面积单位的个数就是该长方形的面积。
图2：先估后操作验证，反馈操作方法，比较“摆满”与“只摆一行一列”两种操作方法的异同，引导学生初步感知长、宽与可摆面积单位的关系，重点突出“一行摆几个，可以摆这样的几行”的观察与思考。
图3：先口述方法，再操作，重点突出“先横着摆一行，再摆几行”的方法，引导从学生所列算式中充分感知“长方形中所含面积单位的个数与每行个数、行数之间的关系”。
图4：直接说方法，并引导思考“知道长15厘米，可以知道什么？知道宽10厘米，又能够知道什么”，重点理解“长与沿长边可以摆的面积单位的个数，宽与沿宽边可以摆的面积单位的行数”之间的对应关系。
（3）回顾梳理，总结提炼计算公式：长方形的面积＝长×宽
（4）应用提升。
2．教学过程分析
（1）找准教学起点，顺向组织多层次的教学活动，为学生探索长方形面积计算方法提供丰富的感性材料，积累足够的感性经验。
基于对本班学生认知基础调查发现，知道“用‘长×宽’的方法算出长方形面积”的学生不到全班学生的50%，采用以“面积”的进一步认识为切入口，引导学生在感知“面积大小”与“摆小方块的多少”中理解长方形面积计算方法“长×宽”的算理，顺向组织教学活动是符合学生开展学习的有效策略。事实上，以“面积意义”入手，其优势有二：①因为学生刚刚学习了“面积”的意义，作为对一种特殊平面图形（长方形）的面积的认识，借助面积意义这一载体，符合学生的认知规律，有利于学生建构新知；②作为一种顺向的多层次的学习活动，降低了学习的起点，增加了学习的梯度，有利于学生深刻理解算法与算理之间的关系。 （2）借助动手操作，关注思维动向，积极沟通直观材料与数学概念之间的联系，促进学生对数学模型的理解。
通过摆小方块的方式来研究摆的面积单位个数与面积之间的关系，结合“长×宽”这一外在的计算形式，理解“长×宽”的本质意义，有其可行性。学生可以通过长、宽与所摆面积单位个数之间的对应关系，结合对应思想、几何推理能力等数学思想方法，自主构建“长×宽”这一数学模型。如在探究2号图形的面积中，当学生用沿着长摆一行，又沿着宽摆一列的方式来说明面积时，引导学生关注“一行一列与长方形面积公式的关系”，并请学生通过语言表达把思维过程充分暴露出来，实现全班学生共享。再如在探究4号图形的面积时，当学生在理解长15厘米、宽10厘米时，适时引导学生讨论“长15厘米”与“面积单位15个”，“宽10厘米”与“面积单位10行”之间的对应关系，及时引导学生呈现思维过程，帮助学生及时沟通直观材料与数学概念之间的联系，构建起准确的数学模型。
五、教学效果分析
结合本节课的教学目标以及重点、难点的确定，我们从显性和隐性两个方面来分析这节课的教学效果。
显性层面：学生对计算公式的理解和掌握情况较之课前有明显好转。
对于长方形面积计算公式的理解和掌握，显性层面上，我们可以把它分为三个层次：一是拿到一个长方形要算面积，知道需要测量出长和宽的长度；二是会用“长×宽”的方法算出长方形的面积；三是理解“长×宽”的结果是指该长方形所包含的相应面积单位的个数。
隐性层面：公式理解的过程成为学生思维发展的过程。
本节内容的学习中，学生的数学思维水平发展主要反映在三个方面：首先，从学生的课堂表现来看，“长×宽”这一面积计算公式的理解过程成为学生思维提升的过程，促进了学生数学思维的发展。如在2号长方形可以摆几个小方块的探究中，除了想到摆满可以知道这一方法之外，有学生想到了可以只摆一行和一列，就可以想象（算出）它是摆满了。其次，在课堂上，教师通过引导学生进行“动手操作”“交流摆法”“沟通提高”等几个层次的教学，学生对“长与沿着长边摆的面积单位的个数，宽与沿着宽边摆的面积单位的行数”之间的对应关系的理解越来越清晰，思维的流畅性也显著增强。第三，本节课通过图式结合、数形结合等学习方式的应用，在帮助学生理解计算公式的同时，也促进了学生空间观念的发展，“知道长就想到沿着长边可以摆几个小方块（即面积单位），知道宽就想到摆几行小方块”，建立起了良好的空间感，促进了对平面图形的面积的认识。
六、研究结论
通过对本节课的教学研究，我们得出以下结论：
1．回归面积意义是引导学生深刻理解面积计算公式的基本策略
作为平面图形面积计算教学的起始课，长方形面积计算中“算面积就是算图形所包含的面积单位的个数”的思想，支撑着长方形面积计算模型的建构过程。这对后续其他各种平面图形的面积公式教学有着指导性价值，它是沟通计算技能与面积概念本质的重要依据。
2．关注数学思想方法，引导学生回归数学学习的原点
面积公式作为一种高度抽象的数学模型，其建构的过程从来就是一个复杂的过程，期间蕴含着丰富的数学思想方法。如在学生理解“长×宽”的意义中，通过对“长度”与“面积单位的个数”之间的对应性，理解面积公式的意义，体现了对应思想的教学价值。又如在平行四边形、三角形、梯形、圆等平面图形的面积公式推导时，转化思想成为探究过程的主导思想。正是这一系列的数学思想方法在探究公式中的应用，使学生的数学思维能力得到了发展，数学模型的建构也变得充分而扎实了。因此，在探究理解长方形的面积计算公式时，引导学生借助相应的数学思想方法对推导过程进行理解显得极其重要。
3．借助多元学习方式，实现数学学习的有效回归
面积公式教学作为“空间与图形”内容，积累充分的感性经验，发展空间思维能力，是一个重要的目标。引导学生借助动手操作、空间想象等多元学习方式进行探究学习，不仅是帮助学生准确建构数学模型的重要手段，而且有利于促进学生从模型探究回归到意义理解，找寻两者之间的联结点，从而完整建构长方形面积与面积计算公式之间的联系。如面积的大与小、一维层面的“长度”与二维层面的“面积单位的个数”的对应性、图形的转化过程等，都需要通过动手操作或空间想象等方式来实现。只有当学生对平面图形外在形式的变与面积公式内在本质的不变之间的关系有了清晰理解和把握之后，其对数学模型的理解才是整体的、内在的。这也是新课程理念下“面积计算公式”教学所应追求的。
“平面图形的面积计算”在《数学课程标准》的内容分类中属于“空间与图形”的范畴，是“测量”的重要组成部分，主要包括面积公式推导及其应用两块。传统的平面图形面积计算教学中，教师在处理计算公式的推导与应用公式解决问题的关系时，轻过程，重结论，往往忽视学生对计算公式意义上的理解，突出公式的机械套用，致使学生对公式的意义“不知其所以然”的现象普遍存在。那么，在新课程背景下，对于平面图形面积计算的教学，我们该如何继承传统教学的优点，在不削弱学生应用公式解决问题的能力的前提下，引导学生充分经历公式的形成过程，感悟面积计算方法的内在原理，在掌握知识与技能的同时，实现数学思考、解决问题、情感与态度等多维的发展呢？带着对这些问题的思考，我们以《长方形面积的计算》一课为例，进行了教学实践与研究。
二、教学内容定位与学生认知基础调查
《长方形面积的计算》是一节经典内容，它是平面图形面积计算教学的起始课，是以后进行平行四边形、三角形、梯形及圆等平面图形面积计算教学的基础，在学生数学学习过程中有着重要的地位。我们一般认为，因为长方形是学生比较熟悉的图形，并且之前有《面积意义及面积单位》的教学，学生对长方形的面积有相当的认识基础，可能有比较多的学生会计算长方形的面积。为了对学生的学习基础有比较准确的了解，我们在课前对试教班44名学生进行了问卷调查。
调查材料：
问题：你会计算长方形的面积吗？会的请试着计算下列长方形的面积（提供的长方形实际长5厘米，宽4厘米），并写出计算过程。
结果如下表：
调查结果有点出乎我们预料，班中已经知道长方形面积是用“长×宽”来计算的学生只占全部学生的43.1%；而既知道长方形面积计算方法，又能理解“长×宽”的意义的学生则不到10%；超过半数的学生还不知道长方形的面积该如何计算。
三、提出假设
基于以上对教材内容的分析与课前调查状况，我们提出了研究假设。
假设一：以面积意义为出发点，引导学生理解计算长方形面积其实就是求长方形中所包含相应的面积单位的个数。
从调查结果知道，有43%的学生已经知道长方形的面积是用“长×宽”来计算的。通过访谈，得知这些学生中大多数是家长教的，而对“‘长×宽’是什么意思，为什么可以用‘长×宽’来计算长方形面积”等指向计算公式本质意义的问题，知道的学生则不多。事实上，“面积”是人们从一维空间拓展到二维空间来认识事物的重要载体。作为面积计算教学的起始课，理解长方形面积计算公式的基础应该是“面积”的意义。因此，本节内容除了让学生知道长方形的面积确实可以用“长×宽”来计算这一显性知识之外，还有另外一个功能，即促进学生加深对“面积”意义的理解，让学生知道与“长”相对应的是沿着长边可以摆几个相应的面积单位，与“宽”相对应的是沿着宽边能摆这样的几行，“长×宽”即是算出此长方形所包含的面积单位的个数，引导学生对长、宽与对应的面积单位个数之间建立联系。在这节课的教学中，要实现这样的目标是可行的。
假设二：以摆1平方厘米面积单位为主要方式，引导学生自主感悟长方形面积计算中长、宽与对应面积单位个数之间的关系，在理解的基础上认识并掌握长方形的面积计算公式。
从调查中我们知道，本班学生知道长方形面积计算公式的不超过半数，且超过90%的学生对长方形的面积计算方法，甚至对“面积”的认识还不清晰。学生把面积与长度混淆的现象还存在。这从调查的15名会算的学生中也能够看出，他们中有7人把面积单位写成了长度单位，3人则没有写单位，只有5人写正确。这显然与学生刚刚学习面积，对面积意义的理解还不够深刻有关。因此，我们认为，在《长方形面积的计算》的教学中，仍然需要以进一步认识理解面积意义为基础，结合理解长方形面积的过程，逐步实现长方形面积计算方法的归纳与提炼。而以摆相应面积单位引入，引导学生通过操作活动自主感悟、自我发现是一种行之有效的教学手段。
四、教学流程设计及分析
1．教学流程设计
（1）导入环节：复习面积的意义及常用的面积单位。
（2）探究环节：提供四个没标数据的长方形，引导学生逐步理解长、宽与面积单位个数之间的关系（图1：长3厘米，宽2厘米；图2：长4厘米，宽3厘米；图3：长5厘米，宽4厘米；图4：长15厘米，宽10厘米）。
所提供的学习材料的组织、教学策略与教学目标说明：
图1：动手操作求得面积，意在巩固理解面积的意义，知道“用面积单位摆满”，所用面积单位的个数就是该长方形的面积。
图2：先估后操作验证，反馈操作方法，比较“摆满”与“只摆一行一列”两种操作方法的异同，引导学生初步感知长、宽与可摆面积单位的关系，重点突出“一行摆几个，可以摆这样的几行”的观察与思考。
图3：先口述方法，再操作，重点突出“先横着摆一行，再摆几行”的方法，引导从学生所列算式中充分感知“长方形中所含面积单位的个数与每行个数、行数之间的关系”。
图4：直接说方法，并引导思考“知道长15厘米，可以知道什么？知道宽10厘米，又能够知道什么”，重点理解“长与沿长边可以摆的面积单位的个数，宽与沿宽边可以摆的面积单位的行数”之间的对应关系。
（3）回顾梳理，总结提炼计算公式：长方形的面积＝长×宽
（4）应用提升。
2．教学过程分析
（1）找准教学起点，顺向组织多层次的教学活动，为学生探索长方形面积计算方法提供丰富的感性材料，积累足够的感性经验。
基于对本班学生认知基础调查发现，知道“用‘长×宽’的方法算出长方形面积”的学生不到全班学生的50%，采用以“面积”的进一步认识为切入口，引导学生在感知“面积大小”与“摆小方块的多少”中理解长方形面积计算方法“长×宽”的算理，顺向组织教学活动是符合学生开展学习的有效策略。事实上，以“面积意义”入手，其优势有二：①因为学生刚刚学习了“面积”的意义，作为对一种特殊平面图形（长方形）的面积的认识，借助面积意义这一载体，符合学生的认知规律，有利于学生建构新知；②作为一种顺向的多层次的学习活动，降低了学习的起点，增加了学习的梯度，有利于学生深刻理解算法与算理之间的关系。 （2）借助动手操作，关注思维动向，积极沟通直观材料与数学概念之间的联系，促进学生对数学模型的理解。
通过摆小方块的方式来研究摆的面积单位个数与面积之间的关系，结合“长×宽”这一外在的计算形式，理解“长×宽”的本质意义，有其可行性。学生可以通过长、宽与所摆面积单位个数之间的对应关系，结合对应思想、几何推理能力等数学思想方法，自主构建“长×宽”这一数学模型。如在探究2号图形的面积中，当学生用沿着长摆一行，又沿着宽摆一列的方式来说明面积时，引导学生关注“一行一列与长方形面积公式的关系”，并请学生通过语言表达把思维过程充分暴露出来，实现全班学生共享。再如在探究4号图形的面积时，当学生在理解长15厘米、宽10厘米时，适时引导学生讨论“长15厘米”与“面积单位15个”，“宽10厘米”与“面积单位10行”之间的对应关系，及时引导学生呈现思维过程，帮助学生及时沟通直观材料与数学概念之间的联系，构建起准确的数学模型。
五、教学效果分析
结合本节课的教学目标以及重点、难点的确定，我们从显性和隐性两个方面来分析这节课的教学效果。
显性层面：学生对计算公式的理解和掌握情况较之课前有明显好转。
对于长方形面积计算公式的理解和掌握，显性层面上，我们可以把它分为三个层次：一是拿到一个长方形要算面积，知道需要测量出长和宽的长度；二是会用“长×宽”的方法算出长方形的面积；三是理解“长×宽”的结果是指该长方形所包含的相应面积单位的个数。
隐性层面：公式理解的过程成为学生思维发展的过程。
本节内容的学习中，学生的数学思维水平发展主要反映在三个方面：首先，从学生的课堂表现来看，“长×宽”这一面积计算公式的理解过程成为学生思维提升的过程，促进了学生数学思维的发展。如在2号长方形可以摆几个小方块的探究中，除了想到摆满可以知道这一方法之外，有学生想到了可以只摆一行和一列，就可以想象（算出）它是摆满了。其次，在课堂上，教师通过引导学生进行“动手操作”“交流摆法”“沟通提高”等几个层次的教学，学生对“长与沿着长边摆的面积单位的个数，宽与沿着宽边摆的面积单位的行数”之间的对应关系的理解越来越清晰，思维的流畅性也显著增强。第三，本节课通过图式结合、数形结合等学习方式的应用，在帮助学生理解计算公式的同时，也促进了学生空间观念的发展，“知道长就想到沿着长边可以摆几个小方块（即面积单位），知道宽就想到摆几行小方块”，建立起了良好的空间感，促进了对平面图形的面积的认识。
六、研究结论
通过对本节课的教学研究，我们得出以下结论：
1．回归面积意义是引导学生深刻理解面积计算公式的基本策略
作为平面图形面积计算教学的起始课，长方形面积计算中“算面积就是算图形所包含的面积单位的个数”的思想，支撑着长方形面积计算模型的建构过程。这对后续其他各种平面图形的面积公式教学有着指导性价值，它是沟通计算技能与面积概念本质的重要依据。
2．关注数学思想方法，引导学生回归数学学习的原点
面积公式作为一种高度抽象的数学模型，其建构的过程从来就是一个复杂的过程，期间蕴含着丰富的数学思想方法。如在学生理解“长×宽”的意义中，通过对“长度”与“面积单位的个数”之间的对应性，理解面积公式的意义，体现了对应思想的教学价值。又如在平行四边形、三角形、梯形、圆等平面图形的面积公式推导时，转化思想成为探究过程的主导思想。正是这一系列的数学思想方法在探究公式中的应用，使学生的数学思维能力得到了发展，数学模型的建构也变得充分而扎实了。因此，在探究理解长方形的面积计算公式时，引导学生借助相应的数学思想方法对推导过程进行理解显得极其重要。
3．借助多元学习方式，实现数学学习的有效回归
面积公式教学作为“空间与图形”内容，积累充分的感性经验，发展空间思维能力，是一个重要的目标。引导学生借助动手操作、空间想象等多元学习方式进行探究学习，不仅是帮助学生准确建构数学模型的重要手段，而且有利于促进学生从模型探究回归到意义理解，找寻两者之间的联结点，从而完整建构长方形面积与面积计算公式之间的联系。如面积的大与小、一维层面的“长度”与二维层面的“面积单位的个数”的对应性、图形的转化过程等，都需要通过动手操作或空间想象等方式来实现。只有当学生对平面图形外在形式的变与面积公式内在本质的不变之间的关系有了清晰理解和把握之后，其对数学模型的理解才是整体的、内在的。这也是新课程理念下“面积计算公式”教学所应追求的。