论文部分内容阅读
摘 要：培养学生解决问题的能力对学生的终身发展有重要的意义。美国现代认知心理学家西蒙认为：“表征是问题解决的一个中心环节。问题解决者必须准确地表征问题，因为对问题的表征如何，极大地影响着问题解决的难易程度。”数学教师肩负着培养学生解决问题能力的责任，若在日常的教学中，能引导学生不断梳理、总结自己的思考过程，并通过画图、列式、构造模型等方式，丰富问题表征，将能有效帮助学生提高思维能力，形成较好的问题解决能力。
关键词：初中;数学教学;问题表征;问题解决能力
中考压轴题的问题比较新，综合性很强，对学生解决问题的能力提出了较高的要求。数学教师该如何帮助学生攻克难关，提高问题解决的能力呢？
一、分析学生的解题思路，弄清问题表征
引例：（引自2014年广州市初中数学毕业生学业考试中的压轴题第25题）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，点E为线段CD上一动点（不与点C重合），△BCE关于BE的轴对称图形为△BFE，连接CF，设CE=x，△BCF的面积为S1，△CEF的面积为S2。当△BFE的外接圆与AD相切时，求■的值。
有学生通过等面积法来解答，某学生在画圆G的过程中，发现点G为BE的中点，接着将半径GQ=GE=■联系起来。而GE又与EC=x通过勾股定理建立联系。也有学生采用构造法来解答，对相似的知识印象比较深刻，因此由切线会联想到Rt△、相似三角形等知识，进而寻找两个相似的Rt△。这两种解法，学生都经过反复多次的观察，尝试各种思路，筛选方法，最后得出了此法。
在教学中，有时教师会忽略学生的这些思考过程，只关注他们成功解答的思路。其实每个学生因知识结构、经验等不同，对问题的表征不尽相同，但不同的表征，往往有不同的解决方案。若能将积极思考的学生的问题表征展现出来，师生之间进行交流，彼此将会激发出更多的灵感。在相互学习借鉴中，将问题表征丰富、深化，那么，学生的问题解决能力将会不断得到提高。
二、问题表征分类
数学问题解决就是学生主体创造性地应用数学去解决问题的学习活动。我国把提高学生解决问题的能力作为数学教学的主要目标之一。美国现代认知心理学家西蒙认为：“表征是问题解决的一个中心环节。它说明问题在头脑里是如何呈现和表现出来的。”要想问题得以解决，问题解决者必须准确地表征问题。因为对问题的表征如何，极大地影响着问题解决的难易程度。问题的表征有两种方式：内部表征（或心理表征）和外部表征。外部表征即把问题用图形、表格、模型等外部的形式表示出来。借助外部表征，有利于问题的解决。问题解决者确定以什么策略来解决问题，一方面取决于他自身相关的知识和经验，另一方面取决于他如何表征问题。对问题的表征不同，所选择的解决方法也不同。
三、数学问题不同表征的典型案例
学生将问题内外表征展示出来，将有助于师生的深入交流，有利于学生在相互学习中提高问题解决的能力。
案例一：严谨性与灵活性相结合的案例
例一（引自2011年广州市初中数学毕业生学业考试第23题）：已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1，3）在反比例函数y=■的图象上，且sin∠BAC=■。
（1）求k的值和边AC的长;（2）求点B的坐标。
案例分析：
1. 图示（两种情形，见图一、图二）。
思路一：解第（2）问，可以由已知sin∠BAC=■出发，根据sin的意义，用比例和勾股定理来计算。思维直接，很容易想到，但非常繁琐，计算时间较长。
思路二：解第（2）问，可以由sin∠BAC=■换函数名，用tan∠BAC=tan∠BCD=■或cos∠BAC=■，求得BD=■，此时求点B的坐标，只需要用BD±1即可，即OB=■+1或者BO=-（■-1）。不需要再分成两小题逐步重复计算。
2. 问题表征分析：（1）画图使解题更严谨。此问题没有图，通过审题画图，一部分思维严谨的学生将会发现A、B两点的不确定性，进而发现问题的两种可能。（2）好的问题空间使解题更灵活。问题空间比较好的学生，灵活地变换函数名，用tan来计算，计算更简便。（3）综合归纳能力强的学生，进一步发现，求点B的坐标，只需要用BD±1即可。教学中着重引导和展现不同思维层次学生的问题表征过程，学生将从中获益匪浅。
案例二：发挥个人强项的案例
例二（引自2013年广州市初中数学毕业生学业考试第10题）：如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，求tanB的值。
案例分析：
方法一：（见图一）
（1）主要運用菱形的性质。
（2）解答思路：过A作AE∥DC交BC于点E，连接DE，交AC于点O，先证AECD为菱形，得DE⊥AC，再求BC=12，AC=8■，从而tanB=2■。
（3）问题表征分析：①自身优势经验（对菱形的知识比较擅长）。②构造模型（构造出菱形）。③知识综合（菱形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、tan的概念等）。
方法二：（见图二）
（1）主要运用三线合一。
（2）解答思路：过D作DO⊥AC，垂足为O，△ADC为等腰三角形，利用三线合一，O为AC中点。△DOC∽△BAC，得比例式，求得DO=2，AO=4■，且tanB=tan∠ADO=2■。
（3）问题表征分析：①自身优势经验（对三线合一的知识比较擅长）。②构造模型（作出等腰三角形的高）。③知识综合（等腰三角形的三线合一、三角形相似列比例式、求三角函数换等角等）。 方法三：（见图三）
（1）主要运用平行四边形性质。
（2）解答思路：过D作DE∥AB，交BC于点E，得ABED为平行四边形，由AB⊥AC，得DE⊥AC，由△ADC为等腰三角形，三线合一，得O为AC中点，OE为△ABC的中位线，从而有OE=OD=2，AO=4■，tanB=tan∠ADE=2■。
（3）问题表征分析：①自身优势经验（对平行四边形的知识比较擅长）。②构造模型（构造平行四边形）。③知识综合（平行四边形、等腰三角形的三线合一、中位线、求三角函数换等角等）。
四、培养学生问题表征能力的途径
学生要具备很好的解决问题的能力，首先要有扎实的数学基础和数学探索热情。其次，在教学中，教师要重视不同学生的问题表征。课堂或课后，如果学生都乐于展示问题表征的话，将能大大提高学生解决问题的能力。教师可以从以下几个方面有计划地培养学生问题表征的能力：
首先，精心备课。选题、教学时，教师要做好示范，遇到问题从多角度思考。其次，从日常渗透，为学生提供展示自己的机会。无论问题大小，不一定要用压轴题、综合题去培养学生问题表征的能力，而应在平常的教学中长期去渗透培养。第三，丰富学生的问题表征。特别是对综合性较强的解题任务，要更加重视学生问题表征的教学。此外，在教学中，教师要注重对学生进行以下方面的培养：1. 相对思维的运用。2. 数形结合思想。3. 培养学生归纳、整理、提升的能力。4. 思维严谨性与灵活性的培养。5. 相近知识的联想。6. 善于运用实际生活经验。7. 加强知识的综合运用，发挥个人的强项。8. 重视对构造法问题表征的教学。9. 数学兴趣的培养等。
五、结语
综上所述，教師应通过多种渠道给学生充分展示问题表征的机会，加强课堂、课后深入和有效交流，以此来提高学生解决问题的能力。特别是在数学教学内容上，遇到数学思想、方法方面的问题，如有关相对的思维、数形结合、思维的严谨性和灵活性、相近知识的联想、实际生活经验、各个知识的综合运用、构造法等综合性强的问题时，要特别给学生充分暴露问题表征的机会。这样能很好地培养学生的分析、综合、想象等能力，活跃学生的思维，提高学生解决问题的能力，增强学生挑战难题的自信心，进而使课堂教学效率得到提升。但由于课堂的时间有限，操作起来有一定的难度，特别是初三的压轴题，一道题的透彻讲解往往需要较长的时间。因此，压轴问题的详细问题表征分析往往在初三的培优课专题课中运用较多。日常的教学渗透很重要，但是压轴题的教学难以做到让学生很充分地去分析问题的表征过程。这将是笔者今后要继续思考的方向。
关键词：初中;数学教学;问题表征;问题解决能力
中考压轴题的问题比较新，综合性很强，对学生解决问题的能力提出了较高的要求。数学教师该如何帮助学生攻克难关，提高问题解决的能力呢？
一、分析学生的解题思路，弄清问题表征
引例：（引自2014年广州市初中数学毕业生学业考试中的压轴题第25题）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，点E为线段CD上一动点（不与点C重合），△BCE关于BE的轴对称图形为△BFE，连接CF，设CE=x，△BCF的面积为S1，△CEF的面积为S2。当△BFE的外接圆与AD相切时，求■的值。
有学生通过等面积法来解答，某学生在画圆G的过程中，发现点G为BE的中点，接着将半径GQ=GE=■联系起来。而GE又与EC=x通过勾股定理建立联系。也有学生采用构造法来解答，对相似的知识印象比较深刻，因此由切线会联想到Rt△、相似三角形等知识，进而寻找两个相似的Rt△。这两种解法，学生都经过反复多次的观察，尝试各种思路，筛选方法，最后得出了此法。
在教学中，有时教师会忽略学生的这些思考过程，只关注他们成功解答的思路。其实每个学生因知识结构、经验等不同，对问题的表征不尽相同，但不同的表征，往往有不同的解决方案。若能将积极思考的学生的问题表征展现出来，师生之间进行交流，彼此将会激发出更多的灵感。在相互学习借鉴中，将问题表征丰富、深化，那么，学生的问题解决能力将会不断得到提高。
二、问题表征分类
数学问题解决就是学生主体创造性地应用数学去解决问题的学习活动。我国把提高学生解决问题的能力作为数学教学的主要目标之一。美国现代认知心理学家西蒙认为：“表征是问题解决的一个中心环节。它说明问题在头脑里是如何呈现和表现出来的。”要想问题得以解决，问题解决者必须准确地表征问题。因为对问题的表征如何，极大地影响着问题解决的难易程度。问题的表征有两种方式：内部表征（或心理表征）和外部表征。外部表征即把问题用图形、表格、模型等外部的形式表示出来。借助外部表征，有利于问题的解决。问题解决者确定以什么策略来解决问题，一方面取决于他自身相关的知识和经验，另一方面取决于他如何表征问题。对问题的表征不同，所选择的解决方法也不同。
三、数学问题不同表征的典型案例
学生将问题内外表征展示出来，将有助于师生的深入交流，有利于学生在相互学习中提高问题解决的能力。
案例一：严谨性与灵活性相结合的案例
例一（引自2011年广州市初中数学毕业生学业考试第23题）：已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1，3）在反比例函数y=■的图象上，且sin∠BAC=■。
（1）求k的值和边AC的长;（2）求点B的坐标。
案例分析：
1. 图示（两种情形，见图一、图二）。
思路一：解第（2）问，可以由已知sin∠BAC=■出发，根据sin的意义，用比例和勾股定理来计算。思维直接，很容易想到，但非常繁琐，计算时间较长。
思路二：解第（2）问，可以由sin∠BAC=■换函数名，用tan∠BAC=tan∠BCD=■或cos∠BAC=■，求得BD=■，此时求点B的坐标，只需要用BD±1即可，即OB=■+1或者BO=-（■-1）。不需要再分成两小题逐步重复计算。
2. 问题表征分析：（1）画图使解题更严谨。此问题没有图，通过审题画图，一部分思维严谨的学生将会发现A、B两点的不确定性，进而发现问题的两种可能。（2）好的问题空间使解题更灵活。问题空间比较好的学生，灵活地变换函数名，用tan来计算，计算更简便。（3）综合归纳能力强的学生，进一步发现，求点B的坐标，只需要用BD±1即可。教学中着重引导和展现不同思维层次学生的问题表征过程，学生将从中获益匪浅。
案例二：发挥个人强项的案例
例二（引自2013年广州市初中数学毕业生学业考试第10题）：如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，求tanB的值。
案例分析：
方法一：（见图一）
（1）主要運用菱形的性质。
（2）解答思路：过A作AE∥DC交BC于点E，连接DE，交AC于点O，先证AECD为菱形，得DE⊥AC，再求BC=12，AC=8■，从而tanB=2■。
（3）问题表征分析：①自身优势经验（对菱形的知识比较擅长）。②构造模型（构造出菱形）。③知识综合（菱形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、tan的概念等）。
方法二：（见图二）
（1）主要运用三线合一。
（2）解答思路：过D作DO⊥AC，垂足为O，△ADC为等腰三角形，利用三线合一，O为AC中点。△DOC∽△BAC，得比例式，求得DO=2，AO=4■，且tanB=tan∠ADO=2■。
（3）问题表征分析：①自身优势经验（对三线合一的知识比较擅长）。②构造模型（作出等腰三角形的高）。③知识综合（等腰三角形的三线合一、三角形相似列比例式、求三角函数换等角等）。 方法三：（见图三）
（1）主要运用平行四边形性质。
（2）解答思路：过D作DE∥AB，交BC于点E，得ABED为平行四边形，由AB⊥AC，得DE⊥AC，由△ADC为等腰三角形，三线合一，得O为AC中点，OE为△ABC的中位线，从而有OE=OD=2，AO=4■，tanB=tan∠ADE=2■。
（3）问题表征分析：①自身优势经验（对平行四边形的知识比较擅长）。②构造模型（构造平行四边形）。③知识综合（平行四边形、等腰三角形的三线合一、中位线、求三角函数换等角等）。
四、培养学生问题表征能力的途径
学生要具备很好的解决问题的能力，首先要有扎实的数学基础和数学探索热情。其次，在教学中，教师要重视不同学生的问题表征。课堂或课后，如果学生都乐于展示问题表征的话，将能大大提高学生解决问题的能力。教师可以从以下几个方面有计划地培养学生问题表征的能力：
首先，精心备课。选题、教学时，教师要做好示范，遇到问题从多角度思考。其次，从日常渗透，为学生提供展示自己的机会。无论问题大小，不一定要用压轴题、综合题去培养学生问题表征的能力，而应在平常的教学中长期去渗透培养。第三，丰富学生的问题表征。特别是对综合性较强的解题任务，要更加重视学生问题表征的教学。此外，在教学中，教师要注重对学生进行以下方面的培养：1. 相对思维的运用。2. 数形结合思想。3. 培养学生归纳、整理、提升的能力。4. 思维严谨性与灵活性的培养。5. 相近知识的联想。6. 善于运用实际生活经验。7. 加强知识的综合运用，发挥个人的强项。8. 重视对构造法问题表征的教学。9. 数学兴趣的培养等。
五、结语
综上所述，教師应通过多种渠道给学生充分展示问题表征的机会，加强课堂、课后深入和有效交流，以此来提高学生解决问题的能力。特别是在数学教学内容上，遇到数学思想、方法方面的问题，如有关相对的思维、数形结合、思维的严谨性和灵活性、相近知识的联想、实际生活经验、各个知识的综合运用、构造法等综合性强的问题时，要特别给学生充分暴露问题表征的机会。这样能很好地培养学生的分析、综合、想象等能力，活跃学生的思维，提高学生解决问题的能力，增强学生挑战难题的自信心，进而使课堂教学效率得到提升。但由于课堂的时间有限，操作起来有一定的难度，特别是初三的压轴题，一道题的透彻讲解往往需要较长的时间。因此，压轴问题的详细问题表征分析往往在初三的培优课专题课中运用较多。日常的教学渗透很重要，但是压轴题的教学难以做到让学生很充分地去分析问题的表征过程。这将是笔者今后要继续思考的方向。