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在高中数学中向量是一个新增内容,它只是一种方法,高考不会单独出题,所以它一定是依附于其他知识点——比如圆锥曲线问题——中出现。解析几何就是利用代数方法解决几何问题;而在坐标法中,向量是和几何问题结合最紧密的方法,因此如果涉及角度等一些问题,就可以用向量去做。由于点的坐标也可视为向量的坐标,因此许多解析几何问题均可与向量知识进行综合。高考对解析几何与向量综合考查,新旧结合,以旧带新,使新旧内容有机地结合在一起,就形成了新的高考命题的热点。
1 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题
利用向量的数量积构造出等式或函数关系,再利用函数求最值的方法求最值,要比只利用解析几何知识建立等量关系容易。
例1.设椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为 ,过点C(-1,0)的直线交椭圆E于A、B两点,且 =2 ,求当△AOB的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程。
解答过程:因为椭圆的离心率为 ,故可设椭圆方程为2x2+3y2=t(t>0),直线方程为my=x+1,由2x2+3y2=tmy=x+1得:(2m2+3)y2-4my+2-t=0,设A(x1,y1)B(x2,y2),则y1+y2= …………①,又 =2 ,故(x1+1,y1)=2(-1-x2,-y2),即y1=-2y2…………②;
由①②得:y1= ,y2= ,则S△AOB= y1-y2=6 =6 ≤ ,当m2= ,即m=± 时,△AOB面积取最大值,此时y1y2= = ,即t=10,所以,直线方程为x± y+1=0,椭圆方程为2x2+3y2=10.
小结:利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易。
2 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题
解析几何中求变量的范围,一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题。
例2.已知双曲线C: - =1(a>0,b>0) ,B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上,且满足 , , 成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l,垂足为P,①求证: · = · ;②若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D,E,求双曲线C的离心率e的取值范围。
解答过程:①因 , , 成等比数列,故 = = ,即A( ,0),直线l:y=- (x-c),由y=- (x-c)y= x?圯P( , ) ,故: =(0,- ), =( , ), =(- , ),则: · = = · ,即 · = · ;(或 ·( - )= ·( - )= · =0,即 · = · )
②由y=- (x-c)b2x2-a2y2=a2b2?圯(b2- )x2+2 cx-( +a2b2)=0,由x1x2= <0得:b4>a4?圯b2=c2-a2>a2?圯e2>2?圯e> .(或由kDF>kDO?圯- >- ?圯b2=c2-a2>a2?圯e2>2?圯e> )
小结:向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重,而要运用数量积,必须先恰当地求出各个点的坐标。
3 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题
存在性问题,其一般解法是先假设命题存在,用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标,再根据合理的推理,若能推出题设中的系数,则存在性成立,否则,不成立。
例3.已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆的中心O,且 · =0, =2 ,①求椭圆的方程;②如果椭圆上的两点P,Q使∠PCQ的平分线垂直于OA,是否总存在实数λ,使得 =λ ?请说明理由。
解答过程:①以O为原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(2,0),设椭圆方程为 + =1,不妨设C在x轴上方,由椭圆的对称性, =2 =2 ?圯 = ,又 · =0?圯AC⊥OC,即△OCA为等腰直角三角形,由A(2,0)得:C(1,1),代入椭圆方程得:b2=- ,即椭圆方程为=1;
②假设总存在实数λ,使得 =λ ,即AB∥PQ,由C(1,1)得B(-1,-1),则KAB= = ,若设CP:y=k(x-1)+1,则CQ:y=-k(x-1)+1,由 + =1y=k(x-1)+1?圯(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0,由C(1,1)得x=1是方程(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0的一个根,由韦达定理得:xp=xp·1= ,以-k代k得xQ= ,故kPQ= = = ,故AB∥PQ,即总存在实数λ,使得 =λ .
评注:此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等,是一道很好的综合题。
4 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题
直线和圆锥曲线的关系问题,一般情况下,是把直线的方程和曲线的方程组成方程组,进一步来判断方程组的解的情况,但要注意判别式的使用和题设中变量的范围。
例4.设G、M分别是△ABC的重心和外心,A(0,-a),B(0,a)(a>0),且 =λ ,①求点C的轨迹方程;②是否存在直线m,使m过点(a,0)并且与点C的轨迹交于P、Q两点,且 · =0?若存在,求出直线m的方程;若不存在,请说明理由。
解答过程:①设C(x,y),则G( , ),因为 =λ ,所以GM∥AB,则M( ,0),由M为△ABC的外心,则MA=MC,即 = ,整理得: + =1(x≠0);
②假设直线m存在,设方程为y=k(x-a),由y=k(x-a) + =1(x≠0)得:(1+3k2)x2+6k2ax+3a2(k2-1)=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2= ,x1x2= ,y1y2=k2(x1-a)(x2-a)=k2x1x2-a(x1+x2)a2= ,由 · =0得:x1x2+y1y2=0,即 + =0,解之得k± ,又点(a,0)在椭圆的内部,直线m过点(a,0),故存在直线m,其方程为y=± (x-a)。
小结:①解答存在性的探索问题,一般思路是先假设命题存在,再推出合理或不合理的结果,然后做出正确的判断;②直线和圆锥曲线的关系问题,一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题。
1 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题
利用向量的数量积构造出等式或函数关系,再利用函数求最值的方法求最值,要比只利用解析几何知识建立等量关系容易。
例1.设椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为 ,过点C(-1,0)的直线交椭圆E于A、B两点,且 =2 ,求当△AOB的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程。
解答过程:因为椭圆的离心率为 ,故可设椭圆方程为2x2+3y2=t(t>0),直线方程为my=x+1,由2x2+3y2=tmy=x+1得:(2m2+3)y2-4my+2-t=0,设A(x1,y1)B(x2,y2),则y1+y2= …………①,又 =2 ,故(x1+1,y1)=2(-1-x2,-y2),即y1=-2y2…………②;
由①②得:y1= ,y2= ,则S△AOB= y1-y2=6 =6 ≤ ,当m2= ,即m=± 时,△AOB面积取最大值,此时y1y2= = ,即t=10,所以,直线方程为x± y+1=0,椭圆方程为2x2+3y2=10.
小结:利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易。
2 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题
解析几何中求变量的范围,一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题。
例2.已知双曲线C: - =1(a>0,b>0) ,B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上,且满足 , , 成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l,垂足为P,①求证: · = · ;②若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D,E,求双曲线C的离心率e的取值范围。
解答过程:①因 , , 成等比数列,故 = = ,即A( ,0),直线l:y=- (x-c),由y=- (x-c)y= x?圯P( , ) ,故: =(0,- ), =( , ), =(- , ),则: · = = · ,即 · = · ;(或 ·( - )= ·( - )= · =0,即 · = · )
②由y=- (x-c)b2x2-a2y2=a2b2?圯(b2- )x2+2 cx-( +a2b2)=0,由x1x2= <0得:b4>a4?圯b2=c2-a2>a2?圯e2>2?圯e> .(或由kDF>kDO?圯- >- ?圯b2=c2-a2>a2?圯e2>2?圯e> )
小结:向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重,而要运用数量积,必须先恰当地求出各个点的坐标。
3 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题
存在性问题,其一般解法是先假设命题存在,用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标,再根据合理的推理,若能推出题设中的系数,则存在性成立,否则,不成立。
例3.已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆的中心O,且 · =0, =2 ,①求椭圆的方程;②如果椭圆上的两点P,Q使∠PCQ的平分线垂直于OA,是否总存在实数λ,使得 =λ ?请说明理由。
解答过程:①以O为原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(2,0),设椭圆方程为 + =1,不妨设C在x轴上方,由椭圆的对称性, =2 =2 ?圯 = ,又 · =0?圯AC⊥OC,即△OCA为等腰直角三角形,由A(2,0)得:C(1,1),代入椭圆方程得:b2=- ,即椭圆方程为=1;
②假设总存在实数λ,使得 =λ ,即AB∥PQ,由C(1,1)得B(-1,-1),则KAB= = ,若设CP:y=k(x-1)+1,则CQ:y=-k(x-1)+1,由 + =1y=k(x-1)+1?圯(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0,由C(1,1)得x=1是方程(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0的一个根,由韦达定理得:xp=xp·1= ,以-k代k得xQ= ,故kPQ= = = ,故AB∥PQ,即总存在实数λ,使得 =λ .
评注:此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等,是一道很好的综合题。
4 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题
直线和圆锥曲线的关系问题,一般情况下,是把直线的方程和曲线的方程组成方程组,进一步来判断方程组的解的情况,但要注意判别式的使用和题设中变量的范围。
例4.设G、M分别是△ABC的重心和外心,A(0,-a),B(0,a)(a>0),且 =λ ,①求点C的轨迹方程;②是否存在直线m,使m过点(a,0)并且与点C的轨迹交于P、Q两点,且 · =0?若存在,求出直线m的方程;若不存在,请说明理由。
解答过程:①设C(x,y),则G( , ),因为 =λ ,所以GM∥AB,则M( ,0),由M为△ABC的外心,则MA=MC,即 = ,整理得: + =1(x≠0);
②假设直线m存在,设方程为y=k(x-a),由y=k(x-a) + =1(x≠0)得:(1+3k2)x2+6k2ax+3a2(k2-1)=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2= ,x1x2= ,y1y2=k2(x1-a)(x2-a)=k2x1x2-a(x1+x2)a2= ,由 · =0得:x1x2+y1y2=0,即 + =0,解之得k± ,又点(a,0)在椭圆的内部,直线m过点(a,0),故存在直线m,其方程为y=± (x-a)。
小结:①解答存在性的探索问题,一般思路是先假设命题存在,再推出合理或不合理的结果,然后做出正确的判断;②直线和圆锥曲线的关系问题,一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题。