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摘 要：在一元二次方程的应用中，由现实问题列出的一元二次方程并整理成标准形式后，一般具有大整数系数的特点，若用通常的公式法、配方法、分解因式法解这类方程运算量较大，因此学生常常不能迅速、正确地求出它的解。本文给出了此类大整数系数一元二次方程的一种简化解法，并且给出了一种证明过程及其应用举例。这种方法新颖独特、简便有效，很具有实用价值。
关键词：大整数系数 一元二次方程 简化解法
我们知道，一元二次方程是初中数学重要的学习内容之一，它与现实生活有着密切的联系，例如在黄金比问题、航海问题、销售问题等方面都有着广泛的应用，因此，学生学好一元二次方程及其应用是非常必要的。
但是，我们发现在一元二次方程的应用的学习过程中，学生由现实问题列出一元二次方程整理成标准形式后，常常不能迅速、正确地解方程，这应当引起我们的重视！
分析产生这种现象的原因是：由现实生活建立起来的一元二次方程，一般具有大整数系数的特点，若用通常的公式法、配方法、分解因式法解这类方程，运算量较大。这对于习惯于解较小整数系数一元二次方程的学生来说，解大整数系数一元二次方程，往往会缺乏信心从而产生畏难心理。
那么，是否能够探索到大整数系数一元二次方程简单有效的解法呢？
让我们从一个一元二次方程的应用实例谈起：
义务教育课程九年级数学（上）教科书（北师大版）第二章《一元二次方程》第五节的销售问题（第73页）建立的方程是：
（2900-x-2500）（8+4× ）=5000；
整理，得x2-300x+22500=0
这个一元二次方程也具有大整数系数的特点，运用公式法、分解因式法或配方法可以解得：x1=150，x2=150。
若将这个方程的一次项系数缩小150倍，同时将二次项系数缩小1502倍，原方程可以简化为新方程：
y2-2y+1=0。
容易解得：y1=1，y2=1。
比较前后两个一元二次方程，我们发现它们的解之间，同样具有倍数关系：x1=150y1，x2=150y2。
由此，我们发现了一个有趣的规律：
如果将一个大整数系数的一元二次方程的一次项系数适当地缩小k倍（k为正整数），同时将常数项缩小k2倍，会得到一个小整数系数的一元二次方程，那么原方程的解恰为新方程的解的k倍。
让我们给出这个规律的一种证明：
若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两根：
从而有x=k·y。
类似地，我们可以得到下面的规律：
如果将一个大整数系数的一元二次方程的一次项系数缩小k倍（k为正整数），同时将二次项系数缩小k2倍，得到另一个小整数系数的一元二次方程，那么原方程的解恰為新方程的解的 。
一般地，由现实问题建立起来的一元二次方程，通常具有上述特点。这两个结论就为解具有上述两类大整数系数的一元二次方程提供了一种简便有效的方法。
最后，再举一个例子，让我们感受运用上面的方法解决问题带来的简便。
义务教育课程九年级数学（上）教科书（北师大版）第二章《一元二次方程》第五节“做一做”栏目给出的销售问题（第75页）：
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月售出600个。调查表明：售价在40-60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
解：设每个台灯应涨价x元，根据题意，得：
（40+x-30）（600-10x）=10000
整理，得：
x2-50x+400=0
一次项系数缩小10倍，常数项缩小102倍，得：
y2-5y+4=0
解得：
y1=1，y2=4。
将解放大10倍，得：
x1=10，x2=40（不合题意，舍去）
40+x=40+10=50，600-10x=600-100=500。
答：这种台灯售价应定为每个50元，这时应进台灯500个。
从以上几个例证中可以清楚地看出：在解大整数系数一元二次方程时，运用这种方法，具有新颖、简便、有效的实用价值，它有助于学生能力的提高、思维的开拓。
关键词：大整数系数 一元二次方程 简化解法
我们知道，一元二次方程是初中数学重要的学习内容之一，它与现实生活有着密切的联系，例如在黄金比问题、航海问题、销售问题等方面都有着广泛的应用，因此，学生学好一元二次方程及其应用是非常必要的。
但是，我们发现在一元二次方程的应用的学习过程中，学生由现实问题列出一元二次方程整理成标准形式后，常常不能迅速、正确地解方程，这应当引起我们的重视！
分析产生这种现象的原因是：由现实生活建立起来的一元二次方程，一般具有大整数系数的特点，若用通常的公式法、配方法、分解因式法解这类方程，运算量较大。这对于习惯于解较小整数系数一元二次方程的学生来说，解大整数系数一元二次方程，往往会缺乏信心从而产生畏难心理。
那么，是否能够探索到大整数系数一元二次方程简单有效的解法呢？
让我们从一个一元二次方程的应用实例谈起：
义务教育课程九年级数学（上）教科书（北师大版）第二章《一元二次方程》第五节的销售问题（第73页）建立的方程是：
（2900-x-2500）（8+4× ）=5000；
整理，得x2-300x+22500=0
这个一元二次方程也具有大整数系数的特点，运用公式法、分解因式法或配方法可以解得：x1=150，x2=150。
若将这个方程的一次项系数缩小150倍，同时将二次项系数缩小1502倍，原方程可以简化为新方程：
y2-2y+1=0。
容易解得：y1=1，y2=1。
比较前后两个一元二次方程，我们发现它们的解之间，同样具有倍数关系：x1=150y1，x2=150y2。
由此，我们发现了一个有趣的规律：
如果将一个大整数系数的一元二次方程的一次项系数适当地缩小k倍（k为正整数），同时将常数项缩小k2倍，会得到一个小整数系数的一元二次方程，那么原方程的解恰为新方程的解的k倍。
让我们给出这个规律的一种证明：
若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两根：
从而有x=k·y。
类似地，我们可以得到下面的规律：
如果将一个大整数系数的一元二次方程的一次项系数缩小k倍（k为正整数），同时将二次项系数缩小k2倍，得到另一个小整数系数的一元二次方程，那么原方程的解恰為新方程的解的 。
一般地，由现实问题建立起来的一元二次方程，通常具有上述特点。这两个结论就为解具有上述两类大整数系数的一元二次方程提供了一种简便有效的方法。
最后，再举一个例子，让我们感受运用上面的方法解决问题带来的简便。
义务教育课程九年级数学（上）教科书（北师大版）第二章《一元二次方程》第五节“做一做”栏目给出的销售问题（第75页）：
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月售出600个。调查表明：售价在40-60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
解：设每个台灯应涨价x元，根据题意，得：
（40+x-30）（600-10x）=10000
整理，得：
x2-50x+400=0
一次项系数缩小10倍，常数项缩小102倍，得：
y2-5y+4=0
解得：
y1=1，y2=4。
将解放大10倍，得：
x1=10，x2=40（不合题意，舍去）
40+x=40+10=50，600-10x=600-100=500。
答：这种台灯售价应定为每个50元，这时应进台灯500个。
从以上几个例证中可以清楚地看出：在解大整数系数一元二次方程时，运用这种方法，具有新颖、简便、有效的实用价值，它有助于学生能力的提高、思维的开拓。