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摘 要：高三二轮复习时，在三角这一章中求三角形面积是重点，本文从一道三角形问题入手，揭示了面积的求法，演示了复习课的基本流程——通法、转化、延伸，课堂中体现怎样启发学生思考，最后附上了笔者对于高三二轮复习课的思考.
关键词：三角形面积；通法；转化；延伸；探究；开放课堂
[?] 问题的背景
求三角形面积是学生在初中阶段早已接触到的内容，而且初中时考察频率较高，对于学生来说应相当地熟悉，并且会合理地解决. 随着高中数学学习的深入，尤其是学习了解三角形这一节后，三角形面积求解方法增多，并且开始逐步镶嵌于向量，立体几何，解析几何，函数，导数，不等式，概率等知识点中. 于是很多学生在求三角形面积时，为题目的表象所迷惑，忘记了求三角形面积本身蕴涵的方法，导致求解过程中思路不清晰，方法选择不恰当，甚至会出现相当繁复的解法，无谓地消耗了大量的时间. 为了让学生能更好地处理三角形面积求解问题，笔者开了一节求解三角形面积的专题复习课，和学生一起探究了求解三角形面积的方法，帮助学生更好地理解此类问题的本质，并起举一反三，触类旁通的效果，课后略有心得，写下来以飨读者.
[?] 课堂简录
教师：同学们，今天我们一起来研究求三角形的面积，请各位回忆一下，求三角形的面积有哪些基本的方法？（画出一个三角形ABC，标上边和角）
学生1：（很自信）根据我们学过的知识，三角形面积S=a·h=absinC.
学生2：（立即补充道）还可以用割补法求三角形面积.
教师：同学们说得很好，那么我们就拿这些我们已经掌握的知识来解决相关问题.
例题 等腰三角形ABC腰上中线BD为定长l，当顶角A变化时，求△ABC面积的最大值.
[D][A][B][C]
图1
（教师展示问题后，画出△ABC图形，等待学生思考几分钟，稍作巡视）
1. 最直接的想法——通法
教师：请问哪位同学有思路，和诸位同学一起分享一下？
学生3（很激动地站起来）：看到三角形，我马上想到余弦定理和面积公式，设AB=AC=c，已知BD=l. 在△ABD中，由余弦定理可以得到l2=c2 -2c·cosα，记为①式，则S=sinα，由①式可得c2=，所以S=，只要解决g（α）=的最大值就行. 然后用导数来做，求得Smax=l2. （事实上，课上学生共研究出了四种求g（α）=的方法：①导数法直接求最值，注意定义域. ②利用三角函数的有界性采用逆求法. ③数形结合角度将函数转化成两点连线的斜率. ④弦化切，转化为关于正切的函数.这边就不再详细说明.）
学生4（淡定地说）：其实①式相当于关于c与α的一个等式，而S=sinα是关于c与α的一个二元函数，学生3是通过代换掉c得到了一个S关于α的函数，我们也可以将α代换掉，得到S关于c的函数，由①式可得cosα=，由于α∈（0，π），sinα>0，sinα=，所以S（c）=sinα=，其中c∈（0，2l），因此当c2=时，得到Smax=l2.
教师：很好，两位同学思路都相当清晰，学生4的总结较为精彩，站在二元函数角度分析了这个问题，一般二元变量函数我们可以减元处理，可以有两个方向，转化成二元变量中其中一个变量的函数，对我们求函数的最值很有启发.在运算上后一种略微复杂一些，运算量比较大，对于计算要求较高，所以我们在减元时要考虑运算的问题，合理减元.那么有没有同学有另外的考虑思路，不是从S△=bcsinA这个角度来求面积的呢？
2. 换个角度看一看——转化
学生4（上黑板板书自己的解题过程并解释道）：我们可以用S=BC·h来求面积，过点A作AE⊥BC，垂足为E. 以E点为原点，EC为x轴正半轴，EA为y轴正半轴，建立直角坐标系（如图2所示），可以设C（a，0），A（0，b），B（-a，0），D
，
，则BD2=a2 b2=l2，l2=a2 b2≥2=
当且仅当==时取等号
，所以S=ab≤l2.
[D][A][B][C][E][x][y]
图2
教师：非常好，S=这是最基本的求面积的方法，而且建立直角坐标系，将问题转化成为解析几何问题，使用基本不等式，使问题变得相当简单易于求解. 所以我们要注意利用一些最基本的方法，最常用的技巧来解题.这样会给人一种大巧若拙，举重若轻的感觉.
（正在总结时发现又有学生想要发表自己的见解）
学生5（举手示意）：还可以以BD中点F为原点，BD为x轴，其中垂线为y轴建系，则B
-，0
，D
，0
设A（x，y）由AB=2AD可以得到A点的轨迹方程为
x-l
2 y2=l2，因D为AC中点，故S△ABC=2SS△ABD=2BD·
y=BD·
y，由于A在圆上运动，所以Smax=BD·
ymax=l2.
教师：学生5在求面积时利用了S△ABC=2S△ABD，即将△ABC分割成两个三角形来求，这个想法很好. 另外他还注意到了A点的轨迹为圆，并利用其轨迹为圆，求出了面积的最大值.其实在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上，且PA=λPB（λ>0且λ≠1）时，P点的轨迹是个圆，此圆称为阿波罗尼斯圆，这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理.如大家有兴趣，可以上网查阅相关资料，拓宽一下自己的知识面. 这些知识对于我们解题研究也很有帮助，比方说2008年江苏卷上就有一道三角形问题可以通过阿波罗尼斯轨迹定理来解决.咱们接着研究，对于本题各位还有什么不同的见解吗？ 3. 进一步思考——进一步转化
教师：分割法是我们在处理三角形问题时常用的手段，这位同学充分利用了重心分中线成比为1∶2的性质，建立了目标函数S（θ），求得了最值，处理得非常恰当. 并且从三角角度会较轻松一些，当然三角形问题的展现形式是多样化的，在各种题型中还有不同的运用.
4. 换个问题看一看——延伸
教师：刚刚我们一起解决一个三角形的面积问题，从三角形面积求法的三个主要方向进行了探究， 并且采用了用解析几何，函数导数，基本不等式等手段辅助. 在同学们的参与下，从一个三角形问题出发，复习了多个我们学习过程中的重点知识点. 其实要解决一个相对有探究价值的问题，本来就是一个多种知识的交叉、多种思想方法的融合. 下面我们再来通过两个问题看看大家是否掌握了刚刚探究得到的方法.
探究1：在△ABC中，若AB=2，AC=BC，则S△ABC的最大值为 .
探究2：在△ABC中，BC=a，BC边上的高为a，则cos的范围为________.
待学生思索一段时间后，让学生分组讨论，展示自己的研究成果，最后教师做点拨.
教师：探究1是2008年江苏高考题，其实和我们研究的例题从模型到思路几乎都是一样的，在例题中只看△ABD，那么AB=2AD，与探究1中AC=BC处理手段是一样的，所以大家完全可以沿用例题做法. 探究2，我们也可以用正余弦定理并辅助以面积公式来构建函数模型解决，也可以建系，采用解析几何的方法解决，还可以通过图形运动从形的角度画图解决，限于篇幅，不再赘述.
[?] 回顾与反思
1. 教师要开放课堂
新课改十年来，取得了丰硕的成果，广大一线教育工作者的教育教学理念产生了根本性的转变，这种转变尤其体现在师生共同提高的课堂上. 开放、自主、研究已经悄悄地取代原有的教学风格，成为现今课堂的主旋律. 让学生真正的动起来，参与到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”式的数学研究中来，体会得出研究成果时那种难以名状的巨大喜悦，真正地感受到集思广益的好处. 课堂就是学生展示其专业素养的最好的平台，而能否让学生主动地研究更是检验一位教师教学本领的重要指标. 其实有时候个别教师仅局限于自己讲是因为怕学生讲不清楚影响科学性，或者怕学生讲得慢影响教学进度，怕学生给出一些非常规的方法而让教师无法驾驭……这样的顾虑太多，导致上课时放不开，束手束脚，瞻前顾后.
教师理应全面开放课堂，和学生共同提出问题，解决问题，从而激发学生的活力和能力. 只有在开放课堂的理念之下，学生的积极性、主动性、创造性才会被激发，在这种情况下，学生的自主研究能力，自我激励能力才会得到最大限度的提升，不仅仅是为学习成绩而学、为自身兴趣爱好而学，更是为自我认同、自我成就而学. 学生们更是会将自主探究、自主学习这种良好的习惯，带到其他学科的学习中，促进多学科交叉同步发展.
作为科任老师，不能仅仅局限于个别题目解法的灌输，理应在自己的专业课堂上，在平时的教学中努力去培养学生的主动探索能力，只有这样的课，才是学生爱听的课，才是学生爱说的课，才是具备核心竞争力的课. 只有这样才能让学生从心底认同教师的课，才能让更多的学生发自内心地热爱教师所教授的学科.
2. 学生要会知识与方法的迁移与选择
当然本节课后，学生通过研究两道形式各异但本质相似的例题体会到了知识、方法迁移的重要性，当然也知道了要学好数学必须要打牢基础，知道一些基本问题的处理方法，并将它们熟练掌握.就像盖房子一样，最基本的建筑素材——砖瓦、钢筋、水泥这些都是建房的必要条件，学习也是这样，如果对基础知识不清楚，到要用的时候就没有办法随手拿出来，或者还不能确定是否正确，那么必然会陷入关键时候没“砖”可搬的尴尬境地. 所以对于所有学生而言，尤其是能力要求较高的高三学生而言，基础知识必须要扎实，只有这样在进行知识迁移时才有“砖”可搬.
除了理解基本知识外学生更要注意对数学方法、数学思想的透彻理解，而不是仅仅局限于生搬硬套，囫囵吞枣，只有这样，在换一个题型环境时，学生才能尽快抓住题目的本质，并采取相应的方法.对数学思想方法理解后，学生才能合理的运用自己所掌握的知识，并将其应用到具体问题中. 对数学思想方法的熟练掌握，才能提高数学素养，提升解题能力，具备上佳的数学感觉，然后才能不断地创新，提出新看法，巧解法. 乔治·波利亚认为，数学教育应“教会年轻人去思考”，培养学生的“独立性、能动性和创新精神”.
这节课上给出了若干求面积的途径，但是在具体操作时，我觉得还存在一个选择最优解的问题，因为限时解题毕竟和自主研究有区别，所以学生在具体解题时应首先思考有哪些解法，然后在其中选择最优解来操作，当思路受阻时再回头想想，有没有其他选择. 良好的教育应该系统地给学生自己发现事物的机会，因为学东西的最好途径是亲自去发现，并且用最好的方法去解决.
关键词：三角形面积；通法；转化；延伸；探究；开放课堂
[?] 问题的背景
求三角形面积是学生在初中阶段早已接触到的内容，而且初中时考察频率较高，对于学生来说应相当地熟悉，并且会合理地解决. 随着高中数学学习的深入，尤其是学习了解三角形这一节后，三角形面积求解方法增多，并且开始逐步镶嵌于向量，立体几何，解析几何，函数，导数，不等式，概率等知识点中. 于是很多学生在求三角形面积时，为题目的表象所迷惑，忘记了求三角形面积本身蕴涵的方法，导致求解过程中思路不清晰，方法选择不恰当，甚至会出现相当繁复的解法，无谓地消耗了大量的时间. 为了让学生能更好地处理三角形面积求解问题，笔者开了一节求解三角形面积的专题复习课，和学生一起探究了求解三角形面积的方法，帮助学生更好地理解此类问题的本质，并起举一反三，触类旁通的效果，课后略有心得，写下来以飨读者.
[?] 课堂简录
教师：同学们，今天我们一起来研究求三角形的面积，请各位回忆一下，求三角形的面积有哪些基本的方法？（画出一个三角形ABC，标上边和角）
学生1：（很自信）根据我们学过的知识，三角形面积S=a·h=absinC.
学生2：（立即补充道）还可以用割补法求三角形面积.
教师：同学们说得很好，那么我们就拿这些我们已经掌握的知识来解决相关问题.
例题 等腰三角形ABC腰上中线BD为定长l，当顶角A变化时，求△ABC面积的最大值.
图1
（教师展示问题后，画出△ABC图形，等待学生思考几分钟，稍作巡视）
1. 最直接的想法——通法
教师：请问哪位同学有思路，和诸位同学一起分享一下？
学生3（很激动地站起来）：看到三角形，我马上想到余弦定理和面积公式，设AB=AC=c，已知BD=l. 在△ABD中，由余弦定理可以得到l2=c2 -2c·cosα，记为①式，则S=sinα，由①式可得c2=，所以S=，只要解决g（α）=的最大值就行. 然后用导数来做，求得Smax=l2. （事实上，课上学生共研究出了四种求g（α）=的方法：①导数法直接求最值，注意定义域. ②利用三角函数的有界性采用逆求法. ③数形结合角度将函数转化成两点连线的斜率. ④弦化切，转化为关于正切的函数.这边就不再详细说明.）
学生4（淡定地说）：其实①式相当于关于c与α的一个等式，而S=sinα是关于c与α的一个二元函数，学生3是通过代换掉c得到了一个S关于α的函数，我们也可以将α代换掉，得到S关于c的函数，由①式可得cosα=，由于α∈（0，π），sinα>0，sinα=，所以S（c）=sinα=，其中c∈（0，2l），因此当c2=时，得到Smax=l2.
教师：很好，两位同学思路都相当清晰，学生4的总结较为精彩，站在二元函数角度分析了这个问题，一般二元变量函数我们可以减元处理，可以有两个方向，转化成二元变量中其中一个变量的函数，对我们求函数的最值很有启发.在运算上后一种略微复杂一些，运算量比较大，对于计算要求较高，所以我们在减元时要考虑运算的问题，合理减元.那么有没有同学有另外的考虑思路，不是从S△=bcsinA这个角度来求面积的呢？
2. 换个角度看一看——转化
学生4（上黑板板书自己的解题过程并解释道）：我们可以用S=BC·h来求面积，过点A作AE⊥BC，垂足为E. 以E点为原点，EC为x轴正半轴，EA为y轴正半轴，建立直角坐标系（如图2所示），可以设C（a，0），A（0，b），B（-a，0），D
，
，则BD2=a2 b2=l2，l2=a2 b2≥2=
当且仅当==时取等号
，所以S=ab≤l2.
图2
教师：非常好，S=这是最基本的求面积的方法，而且建立直角坐标系，将问题转化成为解析几何问题，使用基本不等式，使问题变得相当简单易于求解. 所以我们要注意利用一些最基本的方法，最常用的技巧来解题.这样会给人一种大巧若拙，举重若轻的感觉.
（正在总结时发现又有学生想要发表自己的见解）
学生5（举手示意）：还可以以BD中点F为原点，BD为x轴，其中垂线为y轴建系，则B
-，0
，D
，0
设A（x，y）由AB=2AD可以得到A点的轨迹方程为
x-l
2 y2=l2，因D为AC中点，故S△ABC=2SS△ABD=2BD·
y=BD·
y，由于A在圆上运动，所以Smax=BD·
ymax=l2.
教师：学生5在求面积时利用了S△ABC=2S△ABD，即将△ABC分割成两个三角形来求，这个想法很好. 另外他还注意到了A点的轨迹为圆，并利用其轨迹为圆，求出了面积的最大值.其实在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上，且PA=λPB（λ>0且λ≠1）时，P点的轨迹是个圆，此圆称为阿波罗尼斯圆，这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理.如大家有兴趣，可以上网查阅相关资料，拓宽一下自己的知识面. 这些知识对于我们解题研究也很有帮助，比方说2008年江苏卷上就有一道三角形问题可以通过阿波罗尼斯轨迹定理来解决.咱们接着研究，对于本题各位还有什么不同的见解吗？ 3. 进一步思考——进一步转化
教师：分割法是我们在处理三角形问题时常用的手段，这位同学充分利用了重心分中线成比为1∶2的性质，建立了目标函数S（θ），求得了最值，处理得非常恰当. 并且从三角角度会较轻松一些，当然三角形问题的展现形式是多样化的，在各种题型中还有不同的运用.
4. 换个问题看一看——延伸
教师：刚刚我们一起解决一个三角形的面积问题，从三角形面积求法的三个主要方向进行了探究， 并且采用了用解析几何，函数导数，基本不等式等手段辅助. 在同学们的参与下，从一个三角形问题出发，复习了多个我们学习过程中的重点知识点. 其实要解决一个相对有探究价值的问题，本来就是一个多种知识的交叉、多种思想方法的融合. 下面我们再来通过两个问题看看大家是否掌握了刚刚探究得到的方法.
探究1：在△ABC中，若AB=2，AC=BC，则S△ABC的最大值为 .
探究2：在△ABC中，BC=a，BC边上的高为a，则cos的范围为________.
待学生思索一段时间后，让学生分组讨论，展示自己的研究成果，最后教师做点拨.
教师：探究1是2008年江苏高考题，其实和我们研究的例题从模型到思路几乎都是一样的，在例题中只看△ABD，那么AB=2AD，与探究1中AC=BC处理手段是一样的，所以大家完全可以沿用例题做法. 探究2，我们也可以用正余弦定理并辅助以面积公式来构建函数模型解决，也可以建系，采用解析几何的方法解决，还可以通过图形运动从形的角度画图解决，限于篇幅，不再赘述.
[?] 回顾与反思
1. 教师要开放课堂
新课改十年来，取得了丰硕的成果，广大一线教育工作者的教育教学理念产生了根本性的转变，这种转变尤其体现在师生共同提高的课堂上. 开放、自主、研究已经悄悄地取代原有的教学风格，成为现今课堂的主旋律. 让学生真正的动起来，参与到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”式的数学研究中来，体会得出研究成果时那种难以名状的巨大喜悦，真正地感受到集思广益的好处. 课堂就是学生展示其专业素养的最好的平台，而能否让学生主动地研究更是检验一位教师教学本领的重要指标. 其实有时候个别教师仅局限于自己讲是因为怕学生讲不清楚影响科学性，或者怕学生讲得慢影响教学进度，怕学生给出一些非常规的方法而让教师无法驾驭……这样的顾虑太多，导致上课时放不开，束手束脚，瞻前顾后.
教师理应全面开放课堂，和学生共同提出问题，解决问题，从而激发学生的活力和能力. 只有在开放课堂的理念之下，学生的积极性、主动性、创造性才会被激发，在这种情况下，学生的自主研究能力，自我激励能力才会得到最大限度的提升，不仅仅是为学习成绩而学、为自身兴趣爱好而学，更是为自我认同、自我成就而学. 学生们更是会将自主探究、自主学习这种良好的习惯，带到其他学科的学习中，促进多学科交叉同步发展.
作为科任老师，不能仅仅局限于个别题目解法的灌输，理应在自己的专业课堂上，在平时的教学中努力去培养学生的主动探索能力，只有这样的课，才是学生爱听的课，才是学生爱说的课，才是具备核心竞争力的课. 只有这样才能让学生从心底认同教师的课，才能让更多的学生发自内心地热爱教师所教授的学科.
2. 学生要会知识与方法的迁移与选择
当然本节课后，学生通过研究两道形式各异但本质相似的例题体会到了知识、方法迁移的重要性，当然也知道了要学好数学必须要打牢基础，知道一些基本问题的处理方法，并将它们熟练掌握.就像盖房子一样，最基本的建筑素材——砖瓦、钢筋、水泥这些都是建房的必要条件，学习也是这样，如果对基础知识不清楚，到要用的时候就没有办法随手拿出来，或者还不能确定是否正确，那么必然会陷入关键时候没“砖”可搬的尴尬境地. 所以对于所有学生而言，尤其是能力要求较高的高三学生而言，基础知识必须要扎实，只有这样在进行知识迁移时才有“砖”可搬.
除了理解基本知识外学生更要注意对数学方法、数学思想的透彻理解，而不是仅仅局限于生搬硬套，囫囵吞枣，只有这样，在换一个题型环境时，学生才能尽快抓住题目的本质，并采取相应的方法.对数学思想方法理解后，学生才能合理的运用自己所掌握的知识，并将其应用到具体问题中. 对数学思想方法的熟练掌握，才能提高数学素养，提升解题能力，具备上佳的数学感觉，然后才能不断地创新，提出新看法，巧解法. 乔治·波利亚认为，数学教育应“教会年轻人去思考”，培养学生的“独立性、能动性和创新精神”.
这节课上给出了若干求面积的途径，但是在具体操作时，我觉得还存在一个选择最优解的问题，因为限时解题毕竟和自主研究有区别，所以学生在具体解题时应首先思考有哪些解法，然后在其中选择最优解来操作，当思路受阻时再回头想想，有没有其他选择. 良好的教育应该系统地给学生自己发现事物的机会，因为学东西的最好途径是亲自去发现，并且用最好的方法去解决.