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摘要：提出了一种含有杠杆元件的新型动力吸振器模型，基于H∞与H2准则进行了参数优化，并分析了减振效果。首先建立了系统的运动微分方程并求解，然后利用固定点理论和最优性能指标分别对系统参数进行H∞优化和H2优化，从而得到了两种优化准则下的最优参数。将解析得到的结果和数值结果进行了对比，证明了求解的正确性。进一步分析了放大比对系统最优参数和主系统振幅的影响。将含有杠杆模型与经典的动力吸振器模型进行了对比，发现含有杠杆模型的减振效果优于已有的经典动力吸振器模型，可以为设计新型动力吸振器提供理论依据。
关键词：振动控制;动力吸振器;参数优化;杠杆;固定点理论
中图分类号：0328;TH113.1文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）02-0347-09
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.02.015
引言
动力吸振器（Dynamic Vibration Absorber，简称DVA）是一种附加在受激励的主系统上以抑制其振动的控制装置。1911年Frahm发明了第一个DVA，这种DVA只是在单自由度主系统上附加了无阻尼DVA，虽然减振效果很好但是有效频带很窄。1928年，Ormondroyd和Den Hartog在Frahm发明的DVA中加入阻尼，这就是目前广为所知的Voigt式DVA。Voigt式DVA不仅减小了主系统振幅，而且拓宽了减振频带。加入阻尼后主系统的幅频响应曲线上出现了两个与阻尼无关的固定点，据此他们提出了设计DVA的固定点理论。随后Hahnkamm与Brock根据固定点理论得到了DVA的最优频率比与最优阻尼比。根据固定点理论设计DVA的过程称为H∞优化，在此准则下设计DVA可以使主系统在简谐激励时的最大振幅最小。除H∞优化以外，还有其他优化准则，如1963年Crandall和Mark提出了H2优化准则，优化后可以使输入主系统的功率最小;1988年Yamagu-chi提出最大稳定性优化准则，从而可以使主系统瞬态响应最快衰减。
除Voigt式DVA外，接地式DVA与三要素式DVA同样被许多学者所研究。Ren，Liu等对接地式DVA进行了研究，利用固定点理论优化得到了接地式DVA的最优参数，与Voigt式DVA进行比较后发现接地式DVA的减振效果更好。Cheung和wong对接地式DVA进一步分析后发现Ren与Liu等得到的最优参数只是在一定质量比范围内的局部最优参数，当系统的频率比超过一定值时，主系统的最大振幅可以更小。Asami等对三要素式DVA进行了详细的研究，这种DVA是将Voigt式DVA模型中的阻尼替换为黏弹性材料，经过H∞优化和H2优化后发现这种DVA在理论上可以获得比Voigt式DVA更好的减振效果。文献[12-15]在经典DVA中引入负刚度器件，发现负刚度器件能使主系统振幅大幅度降低，减振效果明显优于经典DVA。文献[16-17]研究了4种半主动DVA的近似解析解，并分析了半主动DVA的参数设计和时滞对半主动控制规律的影响。Hu等[18-19]与wang等研究了含有惯容器件的DVA，利用固定点理论与数值算法对几种含有惯容器的DVA进行了優化，发现安装惯容可以提升DVA的性能，但需要将惯容器安装在合适的位置。
杠杆作为一种具有力放大功能的简单机械元件，用于振动系统中可以抑制振动的幅度。1967年Flannelly在隔振器中引入杠杆元件，设计出了一种新型隔振器——动力反共振隔振器（DynamicAnti-resonant Vibration Isolator，简称DAVI）。这种隔振器利用杠杆的特点，放大了质量产生的惯性力来抵消弹簧力从而产生反共振，在获得同样隔振效果时质量更小。文献[22-23]中基于DAVI设计了转子隔振系统，并已应用在直升机上。文献[24-25]中将两级和多级杠杆引入隔振器，使隔振器在低频时有效带宽增加。文献[26]中将x型剪式叉架作为杠杆式隔振器的支撑，使隔振器拥有更好的隔振性能。文献[27]中将杠杆元件引入隔振器，提出了三种新型隔振器，发现使用杠杆元件不仅能提高隔振性能，而且在设计上约束更少。文献[28]提出一种新型杠杆调谐质量阻尼器，减小了调谐质量阻尼器安装空问。文献[29]提出了一种含有杠杆的新型桥梁减振装置，不仅获得了良好的减振效果，而且便于安装维护。文献[30]提出一种杠杆式非线性能量阱，与传统非线性能量阱相比能在较小附着质量时获得优异的减振性能。
本文通过在经典Voigt式DVA的基础上引入杠杆，对其进行H∞与H2优化并分析减振性能。通过与其他经典被动式DVA模型的对比表明，本文所提出的DVA模型在减振方面具有很大优势，能够有效降低共振幅值，减少系统输人能量，同时拓宽了减振频带，为设计新型的DVA提供了一种选择。
1动力吸振器模型建立及求解
图1所示为本文所提出的含有杠杆的DVA模型，该模型是在Voigt式DVA的基础上增加一个固定在支点位置的杠杆，通过滑块将杠杆与主系统、DVA连接到一起。图1中杠杆的阻力臂与动力臂分别为r1与r2主系统质量为m1，弹簧刚度为k1;DVA质量为m2，弹簧刚度与阻尼系数分别为k2与c;主系统与DVA的位移分别为x1与x2激振力fo（t）=Fcos（cot）。
根据相似三角形定理可知，系统在振动时r2与r1的比值恒定，定义杠杆的放大比为L=r2/r1，阻力臂受到的力为动力臂的L倍，动力臂处的位移为阻力臂处的L倍。忽略杠杆质量与系统中的摩擦，假设系统为微小振动，忽略非线性因素，由牛顿第二定律可得到该系统的运动微分方程为
2动力吸振器参数优化
下面针对图1所示DVA在不同的减振要求下进行参数优化。
2.1H∞优化
H∞优化是指主系统受到外界简谐激励时，在安装DVA后主系统最大振幅最小。下面使用固定点理论优化DVA，为推导方便，引人参数 至此已经将H∞优化中的最优参数vopt和εopt求出。按照固定点理论进行优化的最优参数只是近似最优解，但在常用质量比u<0.2的范围内与精确解析解相差很小，可以满足工程实际需要。
2.2H2优化
H2优化是指主系统受随机激励情况下，在安装DVA后主系统整个幅频响应曲线下的面积最小，即输入主系统的功率最小。假设主系统所受的激励为理想的白噪声，在H2优化中，优化的性能指标由下式定义，通过使性能指标最小化来求得最优参数
3.3放大比L与主系统振幅的关系
放大比L的取值与主系统最大振幅有很大的关系，这里给出了L取不同值时主系统的幅频响应曲线，发现当L取值足够大时H∞优化中最大振幅趋向于1，而H2优化中最优性能指标接近于0。图9与10为系统参数u=0.1，L取不同值时主系统的幅频响应曲线图。在图9中可以看到L=1000时系统最大振幅趋近于1，图10中L=1000时曲线下的面积趋近于0。
4与经典动力吸振器模型对比
4.1主系统幅频响应曲线对比
为证明本文模型减振效果，分别在H∞优化和H2优化下与Voigt式、接地式及三要素DVA进行比较。除接地式动力吸振器H2优化的最优参数以外，文献[7，11，13，32]已给出了三种经典DVA的最优参数求解公式及振幅放大因子A的形式。通过优化可得到接地式DVA的H2优化最优参数为
选取系统参数u=0.1，L=3，绘制各类型DVA主系统幅频响应曲线，可得到图11与12中的结果。由图11可以看到本文模型能够大幅度降低共振峰区域振幅，图12中幅频响应曲线下的面积有效减小，减少了输入主系统的功率，证明减振效果良好。
4.2在随机激励下主系统位移的时间历程对比
因为在工程中系统所受激励大多为随机激励，这里给出几种安装不同DVA的主系统在受到随机激励时的系统响应，并且将本文的H2优化结果与几种DVA模型進行对比。
假设主系统受到均值为0、功率谱密度为s（ω）=So的白噪声激励，则它们的绝对位移响应的功率谱密度函数分别为
从式（40）可以发现，本文模型的主系统位移响应均方值最小，说明本文模型拥有良好的减振效果。
为了更加直观地揭示本文模型的减振效果，构建50s均值为0、方差为1的随机力激励，其时问历程如图13所示。选取系统参数：主系统质量m1=1kg，主系统刚度k1=100N/m，吸振器质量m1=0.1kg，其余最优参数根据文献[11，32]可得。将随机力激励分别作用于无DVA模型、本文模型、Voigt式模型、接地式模型与三要素模型，其中无DVA模型为单自由度无阻尼系统。可以得到在同样的系统参数下，无DVA以及采用不同DVA模型时主系统位移的时问历程图，分别如图14-18所示。
主系统的位移方差往往与系统振动能量的波动相关，表1总结了主系统位移方差及其衰减比。从图14-18及表1可以看到DVA在振动系统中的作用，以及含杠杆式吸振器的减振优势。
5结论
提出了一种含有杠杆元件的DVA模型，对其进行了H∞与H2优化，利用固定点理论与最优性能指标分别求出了H∞与H2优化中的最优参数。在求得最优参数后，对其进行数值仿真，证明了求解过程和结果的正确性，同时给出了放大比与系统最优参数及主系统振幅的关系。将本文模型与传统的DVA模型进行多方面的对比，发现本文模型能够大幅度降低主系统的振幅，并且拓宽了减振频带，减少了输入主系统的功率，证明了含杠杆式DVA的减振效果。通过对比说明了本文模型具有较大优势，为以后设计新型DVA模型提供了参考依据。
关键词：振动控制;动力吸振器;参数优化;杠杆;固定点理论
中图分类号：0328;TH113.1文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）02-0347-09
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.02.015
引言
动力吸振器（Dynamic Vibration Absorber，简称DVA）是一种附加在受激励的主系统上以抑制其振动的控制装置。1911年Frahm发明了第一个DVA，这种DVA只是在单自由度主系统上附加了无阻尼DVA，虽然减振效果很好但是有效频带很窄。1928年，Ormondroyd和Den Hartog在Frahm发明的DVA中加入阻尼，这就是目前广为所知的Voigt式DVA。Voigt式DVA不仅减小了主系统振幅，而且拓宽了减振频带。加入阻尼后主系统的幅频响应曲线上出现了两个与阻尼无关的固定点，据此他们提出了设计DVA的固定点理论。随后Hahnkamm与Brock根据固定点理论得到了DVA的最优频率比与最优阻尼比。根据固定点理论设计DVA的过程称为H∞优化，在此准则下设计DVA可以使主系统在简谐激励时的最大振幅最小。除H∞优化以外，还有其他优化准则，如1963年Crandall和Mark提出了H2优化准则，优化后可以使输入主系统的功率最小;1988年Yamagu-chi提出最大稳定性优化准则，从而可以使主系统瞬态响应最快衰减。
除Voigt式DVA外，接地式DVA与三要素式DVA同样被许多学者所研究。Ren，Liu等对接地式DVA进行了研究，利用固定点理论优化得到了接地式DVA的最优参数，与Voigt式DVA进行比较后发现接地式DVA的减振效果更好。Cheung和wong对接地式DVA进一步分析后发现Ren与Liu等得到的最优参数只是在一定质量比范围内的局部最优参数，当系统的频率比超过一定值时，主系统的最大振幅可以更小。Asami等对三要素式DVA进行了详细的研究，这种DVA是将Voigt式DVA模型中的阻尼替换为黏弹性材料，经过H∞优化和H2优化后发现这种DVA在理论上可以获得比Voigt式DVA更好的减振效果。文献[12-15]在经典DVA中引入负刚度器件，发现负刚度器件能使主系统振幅大幅度降低，减振效果明显优于经典DVA。文献[16-17]研究了4种半主动DVA的近似解析解，并分析了半主动DVA的参数设计和时滞对半主动控制规律的影响。Hu等[18-19]与wang等研究了含有惯容器件的DVA，利用固定点理论与数值算法对几种含有惯容器的DVA进行了優化，发现安装惯容可以提升DVA的性能，但需要将惯容器安装在合适的位置。
杠杆作为一种具有力放大功能的简单机械元件，用于振动系统中可以抑制振动的幅度。1967年Flannelly在隔振器中引入杠杆元件，设计出了一种新型隔振器——动力反共振隔振器（DynamicAnti-resonant Vibration Isolator，简称DAVI）。这种隔振器利用杠杆的特点，放大了质量产生的惯性力来抵消弹簧力从而产生反共振，在获得同样隔振效果时质量更小。文献[22-23]中基于DAVI设计了转子隔振系统，并已应用在直升机上。文献[24-25]中将两级和多级杠杆引入隔振器，使隔振器在低频时有效带宽增加。文献[26]中将x型剪式叉架作为杠杆式隔振器的支撑，使隔振器拥有更好的隔振性能。文献[27]中将杠杆元件引入隔振器，提出了三种新型隔振器，发现使用杠杆元件不仅能提高隔振性能，而且在设计上约束更少。文献[28]提出一种新型杠杆调谐质量阻尼器，减小了调谐质量阻尼器安装空问。文献[29]提出了一种含有杠杆的新型桥梁减振装置，不仅获得了良好的减振效果，而且便于安装维护。文献[30]提出一种杠杆式非线性能量阱，与传统非线性能量阱相比能在较小附着质量时获得优异的减振性能。
本文通过在经典Voigt式DVA的基础上引入杠杆，对其进行H∞与H2优化并分析减振性能。通过与其他经典被动式DVA模型的对比表明，本文所提出的DVA模型在减振方面具有很大优势，能够有效降低共振幅值，减少系统输人能量，同时拓宽了减振频带，为设计新型的DVA提供了一种选择。
1动力吸振器模型建立及求解
图1所示为本文所提出的含有杠杆的DVA模型，该模型是在Voigt式DVA的基础上增加一个固定在支点位置的杠杆，通过滑块将杠杆与主系统、DVA连接到一起。图1中杠杆的阻力臂与动力臂分别为r1与r2主系统质量为m1，弹簧刚度为k1;DVA质量为m2，弹簧刚度与阻尼系数分别为k2与c;主系统与DVA的位移分别为x1与x2激振力fo（t）=Fcos（cot）。
根据相似三角形定理可知，系统在振动时r2与r1的比值恒定，定义杠杆的放大比为L=r2/r1，阻力臂受到的力为动力臂的L倍，动力臂处的位移为阻力臂处的L倍。忽略杠杆质量与系统中的摩擦，假设系统为微小振动，忽略非线性因素，由牛顿第二定律可得到该系统的运动微分方程为
2动力吸振器参数优化
下面针对图1所示DVA在不同的减振要求下进行参数优化。
2.1H∞优化
H∞优化是指主系统受到外界简谐激励时，在安装DVA后主系统最大振幅最小。下面使用固定点理论优化DVA，为推导方便，引人参数 至此已经将H∞优化中的最优参数vopt和εopt求出。按照固定点理论进行优化的最优参数只是近似最优解，但在常用质量比u<0.2的范围内与精确解析解相差很小，可以满足工程实际需要。
2.2H2优化
H2优化是指主系统受随机激励情况下，在安装DVA后主系统整个幅频响应曲线下的面积最小，即输入主系统的功率最小。假设主系统所受的激励为理想的白噪声，在H2优化中，优化的性能指标由下式定义，通过使性能指标最小化来求得最优参数
3.3放大比L与主系统振幅的关系
放大比L的取值与主系统最大振幅有很大的关系，这里给出了L取不同值时主系统的幅频响应曲线，发现当L取值足够大时H∞优化中最大振幅趋向于1，而H2优化中最优性能指标接近于0。图9与10为系统参数u=0.1，L取不同值时主系统的幅频响应曲线图。在图9中可以看到L=1000时系统最大振幅趋近于1，图10中L=1000时曲线下的面积趋近于0。
4与经典动力吸振器模型对比
4.1主系统幅频响应曲线对比
为证明本文模型减振效果，分别在H∞优化和H2优化下与Voigt式、接地式及三要素DVA进行比较。除接地式动力吸振器H2优化的最优参数以外，文献[7，11，13，32]已给出了三种经典DVA的最优参数求解公式及振幅放大因子A的形式。通过优化可得到接地式DVA的H2优化最优参数为
选取系统参数u=0.1，L=3，绘制各类型DVA主系统幅频响应曲线，可得到图11与12中的结果。由图11可以看到本文模型能够大幅度降低共振峰区域振幅，图12中幅频响应曲线下的面积有效减小，减少了输入主系统的功率，证明减振效果良好。
4.2在随机激励下主系统位移的时间历程对比
因为在工程中系统所受激励大多为随机激励，这里给出几种安装不同DVA的主系统在受到随机激励时的系统响应，并且将本文的H2优化结果与几种DVA模型進行对比。
假设主系统受到均值为0、功率谱密度为s（ω）=So的白噪声激励，则它们的绝对位移响应的功率谱密度函数分别为
从式（40）可以发现，本文模型的主系统位移响应均方值最小，说明本文模型拥有良好的减振效果。
为了更加直观地揭示本文模型的减振效果，构建50s均值为0、方差为1的随机力激励，其时问历程如图13所示。选取系统参数：主系统质量m1=1kg，主系统刚度k1=100N/m，吸振器质量m1=0.1kg，其余最优参数根据文献[11，32]可得。将随机力激励分别作用于无DVA模型、本文模型、Voigt式模型、接地式模型与三要素模型，其中无DVA模型为单自由度无阻尼系统。可以得到在同样的系统参数下，无DVA以及采用不同DVA模型时主系统位移的时问历程图，分别如图14-18所示。
主系统的位移方差往往与系统振动能量的波动相关，表1总结了主系统位移方差及其衰减比。从图14-18及表1可以看到DVA在振动系统中的作用，以及含杠杆式吸振器的减振优势。
5结论
提出了一种含有杠杆元件的DVA模型，对其进行了H∞与H2优化，利用固定点理论与最优性能指标分别求出了H∞与H2优化中的最优参数。在求得最优参数后，对其进行数值仿真，证明了求解过程和结果的正确性，同时给出了放大比与系统最优参数及主系统振幅的关系。将本文模型与传统的DVA模型进行多方面的对比，发现本文模型能够大幅度降低主系统的振幅，并且拓宽了减振频带，减少了输入主系统的功率，证明了含杠杆式DVA的减振效果。通过对比说明了本文模型具有较大优势，为以后设计新型DVA模型提供了参考依据。