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【关键词】《圆的对称性》 概念
课堂教学
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2014）02A-
0073-02
在数学概念的教学中，我们往往会在不经意间“遭遇”各种意料之外的情形。正确处理情理之中与意料之外的生成，不仅促使学生对于数学概念的理解更加透彻，也凸显了学生在课堂教学活动中的主体地位，帮助学生在探究活动中获得更为全面的发展。
一、合情引入——从实际需要起始
数学概念的建立过程，是建立在学生对一类事物的具体感知基础上的，只有积累了足够的感性体验，并以问题导向为指引，帮助学生从中抽象出其本质属性，数学概念才能清晰地烙在学生的脑海中。在教学实践中，教师要创设与教学内容紧密相连，便于学生进行抽象思考的具体场景，使学生感到抽象的必要性，认识到概念建立的有效价值。
如，在教学人教版九年级数学上册《圆的对称性》一课的导入阶段，笔者首先出示了赵州桥的图片，以简短的语言向学生介绍了赵州桥的历史渊源，让学生产生强烈的探究欲望。同时，结合赵州桥的具体形状，让学生形象地感知跨度（弧所对的弦长）、拱高（弧的中点到弦的距离），为学生对概念的理解建立一个具体的表象。接着笔者提出探究活动的起始问题：现有一艘货船，已知船长8米，船宽4米，能否从桥下通过呢？以经过实际情境包装下的问题引发学生思考。
师：如果你是船长，你打算怎样确定能否安全通过？
生：我要知道桥拱最高的地方离水面有多少米，防止货船的最上面擦到桥拱。
生：还有船身的宽度要比桥墩的跨度小。
……
最后笔者让学生动手操作，进一步拉近学生与学习内容之间的距离，组织学生在一系列的实践活动中思考并探究——
1.画一画：在一张半透明的纸上画一个圆，并通过圆心O作一条直径。
2.折一折：将圆沿着直径折叠，你有什么发现？
3.连一连：将圆O的直径标为AB，作出弦CD并与AB相垂直，垂足为E。
4.想一想：思考弧AC与弧AD之间有什么关系？弧BC与弧BD之间又有什么关系？
从“小步快进”中，让学生在观察、操作和小组合作交流中，逐步形成对垂径定理的具体感知，以在操作过程中的问题指向引领学生不断思考，从而拉动学生的思维一步步地前行。
二、合理形成——确定抽象表达
概念的形成过程，往往是建立在数学符号的具体表达上的。数学符号兼具简明性和直观性，教师在引导学生进行抽象思维的过程中，及时进行点拨和指导，启发学生通过自我探究和感悟，透析概念背后蕴含的具体内涵，了解并列和从属关系下事物之间的联系和区别，使得概念的形成更为牢固。运用符号语言或图形语言，帮助学生明确表达概念的内涵和外延，体现了数学概念中的概括性和浓缩性，展现了数学的简洁美。同时，让学生真正掌握概念符号的意义，学会运用符号语言对概念定义进行描述，能够促进学生压缩思维过程，使得思考更为顺畅。
如，在引导学生对垂径定理进行理解时，教师具有针对性地对下面几点进行了点拨：
（一）适当提炼，方便记忆
垂径定理可以通过“两个条件”和“三个结论”进行记忆和理解，为了避免学生形成机械式记忆，教师以图表的样式，引导学生归纳和总结。
让学生对垂径定理进行剖析，挖掘其中的内涵，教师适当点拨，最终形成下表：
（二）依托图形，公式记忆
以一般对图形中字母的规范用法，对半径、弦心距及弓高的关系进行记忆，使得学生在应用知识中提取相关记忆内容时，能即时在脑海中浮现出相关图形的信息。如在记忆弓高时，结合两种不同情况下弓高的计算公式，学生能迅速在脑中提取图形（如右图）：
以图表或图形的方式，在帮助学生理解识记的过程中提供“扶手”的作用，使得学生学有依托、记有凭借。同时教师有意识地拉伸了概念建立的过程，帮助学生经历在教师引导下的“二次发现”，便于学生梳理自身的知识结构，使得新知与旧知之间能够建立联系，形成知识脉络，避免死记硬背。
三、意外生成——促进深化理解
在实际探究过程中，因为学生的个性体验和多样化认知基础，他们会提出各种旁逸斜出的问题，给出各种彰显另类的想法。教师要尊重学生思维的独特性，挖掘他们表达背后所经历的观察、猜想和思考过程，为课堂上的有效生成搭建合理的框架，在各种纠偏和拓展中深化学生对于数学概念的理解。
在货船通过桥洞的问题情境中，有学生提出疑问：如果考虑该货船上的货物，比如船上搭载的货物高度为2米，则应该怎样进行思考与解答？
师：他的问题你们听懂了吗？
生：我听懂了！我认为这个问题提得很好，货船上装载货物是很常见的现象。
生：我觉得这才是一个很好的生活实际问题。
师：是啊！带着数学的眼光到生活中观察、思考，真好！那么，这样一来，货船在水中就会……
生：往下沉一点。
师：也就是水面与船面的距离也发生了变化，吃水量更多了。在通过桥洞之前，我们在测量时发现货箱底与水平面持平，根据图中提供的数据，请你算一算，这艘货船能顺利通过吗？
……
教师首先给予提问的学生高度的赞扬，这个具有现实化气息的问题，具有很深刻的挖掘价值。教师敏锐地把握了学生在学习过程中生成的价值，避免了课堂上由教师唱独角戏的现象，吸引全体学生的参与，扩大了课堂对话面，让学生体验到课堂教学进程中自身的能动性，激发了学生独立思考、全面思考的热情。同时从课堂教学实际出发进行统筹，将生成的变化进行调整，在本课的最后总结测试阶段再次予以出示，使得整节课首尾呼应，浑然一体。
四、别样变式——提升灵活运用
在数学概念的运用阶段，教师应充分利用变式，变换问题的表面特征如角度、层次、背景等，突出问题的内在实质，以问题的渐进性逐步培养学生思维的灵活性，提升学生对于概念掌握的深刻程度。同时，为避免机械重复训练，应根据学生的学习情况和自身需要，进行有针对性的编排，在变化中反复多维理解，保持练习的新鲜感，激起学生练习的热情。
在教学中，笔者设计了以阶梯状层次分布的练习题组，帮助学生由浅入深地掌握本课的学习内容。
层次一：如图①，在⊙O中，△ABC是一个顶角为40°的等腰三角形，求∠B的度数。
层次二：如图②，⊙O的直径有AD、BE、CF，且∠1=∠2=∠3。弦AB、CD、EF相等吗？为什么？
层次三：如图③，点A、B、C、D均在⊙O上，已知AB=DC，试证明AC=BD。
通过调整图中三角形的形状、位置和个数，让学生在变化中体会不变，帮助学生熟练运用圆心角、弧、弦之间的关系，能应用垂径定理等解决有关问题。为了让学生摆脱单纯纸面练习的枯燥和单调，笔者进一步加强了习题与生活之间的贯通联系，促进学生在知识实际运用中的灵活变通——
层次四：在生活中我们经常要确定圆形的圆心。有这样一个工具（如图⑤），MN所在的直线与AB相互垂直且平分AB，用这个工具最少只要两次就能找到圆心，你能说明其中的数学道理吗？
层次五：如图⑥，张强家圆形餐桌上的玻璃碎了。要配与一块原来的圆形玻璃一样大小的坡璃，张强应该带哪一块玻璃去商店呢？请说明理由。
开展概念教学时，兼顾“合情合理”和“出乎意料”，使得学生在概念的建立与运用过程中，既让概念的学习过程扎实而稳固，同时又充满各种惊奇和挑战。在两者的平衡之间行走，概念教学就可以摆脱呆板单一的教学套路。
（责编 林 剑）
课堂教学
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2014）02A-
0073-02
在数学概念的教学中，我们往往会在不经意间“遭遇”各种意料之外的情形。正确处理情理之中与意料之外的生成，不仅促使学生对于数学概念的理解更加透彻，也凸显了学生在课堂教学活动中的主体地位，帮助学生在探究活动中获得更为全面的发展。
一、合情引入——从实际需要起始
数学概念的建立过程，是建立在学生对一类事物的具体感知基础上的，只有积累了足够的感性体验，并以问题导向为指引，帮助学生从中抽象出其本质属性，数学概念才能清晰地烙在学生的脑海中。在教学实践中，教师要创设与教学内容紧密相连，便于学生进行抽象思考的具体场景，使学生感到抽象的必要性，认识到概念建立的有效价值。
如，在教学人教版九年级数学上册《圆的对称性》一课的导入阶段，笔者首先出示了赵州桥的图片，以简短的语言向学生介绍了赵州桥的历史渊源，让学生产生强烈的探究欲望。同时，结合赵州桥的具体形状，让学生形象地感知跨度（弧所对的弦长）、拱高（弧的中点到弦的距离），为学生对概念的理解建立一个具体的表象。接着笔者提出探究活动的起始问题：现有一艘货船，已知船长8米，船宽4米，能否从桥下通过呢？以经过实际情境包装下的问题引发学生思考。
师：如果你是船长，你打算怎样确定能否安全通过？
生：我要知道桥拱最高的地方离水面有多少米，防止货船的最上面擦到桥拱。
生：还有船身的宽度要比桥墩的跨度小。
……
最后笔者让学生动手操作，进一步拉近学生与学习内容之间的距离，组织学生在一系列的实践活动中思考并探究——
1.画一画：在一张半透明的纸上画一个圆，并通过圆心O作一条直径。
2.折一折：将圆沿着直径折叠，你有什么发现？
3.连一连：将圆O的直径标为AB，作出弦CD并与AB相垂直，垂足为E。
4.想一想：思考弧AC与弧AD之间有什么关系？弧BC与弧BD之间又有什么关系？
从“小步快进”中，让学生在观察、操作和小组合作交流中，逐步形成对垂径定理的具体感知，以在操作过程中的问题指向引领学生不断思考，从而拉动学生的思维一步步地前行。
二、合理形成——确定抽象表达
概念的形成过程，往往是建立在数学符号的具体表达上的。数学符号兼具简明性和直观性，教师在引导学生进行抽象思维的过程中，及时进行点拨和指导，启发学生通过自我探究和感悟，透析概念背后蕴含的具体内涵，了解并列和从属关系下事物之间的联系和区别，使得概念的形成更为牢固。运用符号语言或图形语言，帮助学生明确表达概念的内涵和外延，体现了数学概念中的概括性和浓缩性，展现了数学的简洁美。同时，让学生真正掌握概念符号的意义，学会运用符号语言对概念定义进行描述，能够促进学生压缩思维过程，使得思考更为顺畅。
如，在引导学生对垂径定理进行理解时，教师具有针对性地对下面几点进行了点拨：
（一）适当提炼，方便记忆
垂径定理可以通过“两个条件”和“三个结论”进行记忆和理解，为了避免学生形成机械式记忆，教师以图表的样式，引导学生归纳和总结。
让学生对垂径定理进行剖析，挖掘其中的内涵，教师适当点拨，最终形成下表：
（二）依托图形，公式记忆
以一般对图形中字母的规范用法，对半径、弦心距及弓高的关系进行记忆，使得学生在应用知识中提取相关记忆内容时，能即时在脑海中浮现出相关图形的信息。如在记忆弓高时，结合两种不同情况下弓高的计算公式，学生能迅速在脑中提取图形（如右图）：
以图表或图形的方式，在帮助学生理解识记的过程中提供“扶手”的作用，使得学生学有依托、记有凭借。同时教师有意识地拉伸了概念建立的过程，帮助学生经历在教师引导下的“二次发现”，便于学生梳理自身的知识结构，使得新知与旧知之间能够建立联系，形成知识脉络，避免死记硬背。
三、意外生成——促进深化理解
在实际探究过程中，因为学生的个性体验和多样化认知基础，他们会提出各种旁逸斜出的问题，给出各种彰显另类的想法。教师要尊重学生思维的独特性，挖掘他们表达背后所经历的观察、猜想和思考过程，为课堂上的有效生成搭建合理的框架，在各种纠偏和拓展中深化学生对于数学概念的理解。
在货船通过桥洞的问题情境中，有学生提出疑问：如果考虑该货船上的货物，比如船上搭载的货物高度为2米，则应该怎样进行思考与解答？
师：他的问题你们听懂了吗？
生：我听懂了！我认为这个问题提得很好，货船上装载货物是很常见的现象。
生：我觉得这才是一个很好的生活实际问题。
师：是啊！带着数学的眼光到生活中观察、思考，真好！那么，这样一来，货船在水中就会……
生：往下沉一点。
师：也就是水面与船面的距离也发生了变化，吃水量更多了。在通过桥洞之前，我们在测量时发现货箱底与水平面持平，根据图中提供的数据，请你算一算，这艘货船能顺利通过吗？
……
教师首先给予提问的学生高度的赞扬，这个具有现实化气息的问题，具有很深刻的挖掘价值。教师敏锐地把握了学生在学习过程中生成的价值，避免了课堂上由教师唱独角戏的现象，吸引全体学生的参与，扩大了课堂对话面，让学生体验到课堂教学进程中自身的能动性，激发了学生独立思考、全面思考的热情。同时从课堂教学实际出发进行统筹，将生成的变化进行调整，在本课的最后总结测试阶段再次予以出示，使得整节课首尾呼应，浑然一体。
四、别样变式——提升灵活运用
在数学概念的运用阶段，教师应充分利用变式，变换问题的表面特征如角度、层次、背景等，突出问题的内在实质，以问题的渐进性逐步培养学生思维的灵活性，提升学生对于概念掌握的深刻程度。同时，为避免机械重复训练，应根据学生的学习情况和自身需要，进行有针对性的编排，在变化中反复多维理解，保持练习的新鲜感，激起学生练习的热情。
在教学中，笔者设计了以阶梯状层次分布的练习题组，帮助学生由浅入深地掌握本课的学习内容。
层次一：如图①，在⊙O中，△ABC是一个顶角为40°的等腰三角形，求∠B的度数。
层次二：如图②，⊙O的直径有AD、BE、CF，且∠1=∠2=∠3。弦AB、CD、EF相等吗？为什么？
层次三：如图③，点A、B、C、D均在⊙O上，已知AB=DC，试证明AC=BD。
通过调整图中三角形的形状、位置和个数，让学生在变化中体会不变，帮助学生熟练运用圆心角、弧、弦之间的关系，能应用垂径定理等解决有关问题。为了让学生摆脱单纯纸面练习的枯燥和单调，笔者进一步加强了习题与生活之间的贯通联系，促进学生在知识实际运用中的灵活变通——
层次四：在生活中我们经常要确定圆形的圆心。有这样一个工具（如图⑤），MN所在的直线与AB相互垂直且平分AB，用这个工具最少只要两次就能找到圆心，你能说明其中的数学道理吗？
层次五：如图⑥，张强家圆形餐桌上的玻璃碎了。要配与一块原来的圆形玻璃一样大小的坡璃，张强应该带哪一块玻璃去商店呢？请说明理由。
开展概念教学时，兼顾“合情合理”和“出乎意料”，使得学生在概念的建立与运用过程中，既让概念的学习过程扎实而稳固，同时又充满各种惊奇和挑战。在两者的平衡之间行走，概念教学就可以摆脱呆板单一的教学套路。
（责编 林 剑）