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【内容摘要】函数是高中学习的重点，指数函数是进入高中阶段的第一类基本初等函数，将APOS理论应用于指数函数的课堂教学中，有助于改善学生的学习状态，促进学生的实践性学习。
【关键词】APOS理论 指数函数 教学活动
20世纪80年代针对数学学习的特点，在建构主义背景下杜宾斯基等人提出了APOS理论。APOS理论提出概念心理图式的建构要经历以下四个阶段：第一阶段：操作（Action）阶段。这是个体对数学概念借助外部刺激，通过学习活动指示来获得。第二阶段：过程（Process）阶段。当活动不断地被个体进行反复思考，经历内化压缩的过程；学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质。第三阶段：对象（Object）阶段。当个体将“过程”看作一个整体，并可以对它变形。第四阶段：图式（Scheme）阶段。此时的概念，以综合心理图式存在于脑海，有具体实例，抽象过程，完整定义，以及和其他概念相区别和联系的心理图式，在数学知识体系中占有特定的地位。在实际应用中，APOS理论中的后两个阶段通常需要经过多次实践才能完成对知识的心理图式，进而达到高的认知水平。
一、操作（Action）阶段
活动1：古印度国王要褒奖他的聪明能干的宰相达依尔（国际象棋的发明者），问他要什么。达依尔回答：“殿下只要在棋盘上第一个格子放两粒麦粒，在第二个格子放四粒，在第三个格子放八粒，以后的格子都是前一格的两倍。如此放满64格，我就心满足足了。”国王想，这不难办到。但一袋麦子很快就用完了，一仓库也用完了，全印度的麦子也远远不够……
问题1：达依尔用了一个简单又神秘的函数使数据发生了爆炸性的增长。如何用这个函数计算出棋盘上第64个格子里应该放多少颗麦粒？
问题2：假设棋盘上第x格子里应该放的麦子粒为y粒，如何用一个式子来表示y与x之间的函数关系？
活动2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x次后，木锤剩余量y与x的关系式。
二、过程（Process）阶段
活动3：分析实例说说它们有什么共同特征？
活动4：它们能否构成函数？
活动5：它们是我们所学过的哪一类函数？如果不是，能否根据它的特征起一个名字？
总结：如果用字母a代替其中的底数，那么上述两式子就可以表示成y=ax的形式。自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。
三、对象（Object）阶段
活动6：学生讨论给出指数函数的定义。
活动7：为什么要a>0且a≠1呢？
问题1：若a<0，会有什么问题？
问题2：若a=0，会有什么问题？
问题3：若a=1，会有什么问题？
活动8：教师用几何画板做出两组函数的图象，让学生对这两组图象形状的变化加以观察与讨论。
（1）y=2x，y=3x，y=7x，y=9x.
（2）y=0.2x，y=0.5x，y=0.7x，y=0.9x
问题1：猜想出y=5x与y=0.3x的图像形状，并描述其特征。
问题2：一般指数函数图像分为几类？
问题3：分别满足什么样的条件图象大致是图1与图2？
活动9：教师用几何画板做出y=ax （a>0且a≠1）的图象，任意改变a的值来展示底数变化对函数图像的影响。
活动10：对图1，图2进行分析，引导学生由图形中得出指数函数在不同底数下，指数函数的定义域、值域、恒过定点、单调性、奇偶性等性质。最后通过课本56页的表格进行归纳分类，进行知识点的总结。
四、图式（Scheme）阶段
例1：函数f（x）是指数函数，經过（3，8）点，求f（0），f（2），f（-3）的值。
通过本例加深学生对指数函数的理解，明确底数是确定指数函数的重要因素，同时向学生渗透方程的思想。
例2：比较下列各题中数值的大小
（1）1.72.5，1.73
（2）0.8-0.1，0.8-0.2
（3）1.70.3，0.93.1
本例教师可以用图像法和定义法两种方法讲解，有助于加深学生对指数函数单调性的理解。在第3道小题时引入中间量“1”比较大小也是一种常用的比较大小的方法。
本文在操作阶段主要是为了增强数学的趣味性以及引出指数函数。过程阶段提出了指数函数的定义，并形象的描述了指数函数的特征。对象阶段讨论了指数函数定义中底数的范围，准确地认识指数函数；通过几何画板和多媒体形象生动地展示指数函数的性质。图式阶段中设计了两个例题，涉及了指数函数的定义及其单调性的应用。图式阶段是认知发展的核心，通常要经过长期的数学活动不断完善和建构。
【参考文献】
[1] 唐艳. 基于APOS理论的数学概念教学设计[J]. 上海中学数学，2005（12）：22-24.
[2] 鞠海燕、陆书环. APOS理论视域下函数极限概念教学设计的探讨[A]. 曲阜师范大学学报，2011.
[3] 沈淼楠. 基于APOS理论的高中函数概念的教学活动[A]. 中学教育，2016.
【本文为甘肃省教育科学“十三五”规划2017年度立项课题“民族地区APOS 理论的教学实践——以基本初等函数为例”（课题立项号：GS[2017]GHB2631）阶段成果。】
（作者单位：甘肃省永靖县移民中学）
【关键词】APOS理论 指数函数 教学活动
20世纪80年代针对数学学习的特点，在建构主义背景下杜宾斯基等人提出了APOS理论。APOS理论提出概念心理图式的建构要经历以下四个阶段：第一阶段：操作（Action）阶段。这是个体对数学概念借助外部刺激，通过学习活动指示来获得。第二阶段：过程（Process）阶段。当活动不断地被个体进行反复思考，经历内化压缩的过程；学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质。第三阶段：对象（Object）阶段。当个体将“过程”看作一个整体，并可以对它变形。第四阶段：图式（Scheme）阶段。此时的概念，以综合心理图式存在于脑海，有具体实例，抽象过程，完整定义，以及和其他概念相区别和联系的心理图式，在数学知识体系中占有特定的地位。在实际应用中，APOS理论中的后两个阶段通常需要经过多次实践才能完成对知识的心理图式，进而达到高的认知水平。
一、操作（Action）阶段
活动1：古印度国王要褒奖他的聪明能干的宰相达依尔（国际象棋的发明者），问他要什么。达依尔回答：“殿下只要在棋盘上第一个格子放两粒麦粒，在第二个格子放四粒，在第三个格子放八粒，以后的格子都是前一格的两倍。如此放满64格，我就心满足足了。”国王想，这不难办到。但一袋麦子很快就用完了，一仓库也用完了，全印度的麦子也远远不够……
问题1：达依尔用了一个简单又神秘的函数使数据发生了爆炸性的增长。如何用这个函数计算出棋盘上第64个格子里应该放多少颗麦粒？
问题2：假设棋盘上第x格子里应该放的麦子粒为y粒，如何用一个式子来表示y与x之间的函数关系？
活动2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x次后，木锤剩余量y与x的关系式。
二、过程（Process）阶段
活动3：分析实例说说它们有什么共同特征？
活动4：它们能否构成函数？
活动5：它们是我们所学过的哪一类函数？如果不是，能否根据它的特征起一个名字？
总结：如果用字母a代替其中的底数，那么上述两式子就可以表示成y=ax的形式。自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。
三、对象（Object）阶段
活动6：学生讨论给出指数函数的定义。
活动7：为什么要a>0且a≠1呢？
问题1：若a<0，会有什么问题？
问题2：若a=0，会有什么问题？
问题3：若a=1，会有什么问题？
活动8：教师用几何画板做出两组函数的图象，让学生对这两组图象形状的变化加以观察与讨论。
（1）y=2x，y=3x，y=7x，y=9x.
（2）y=0.2x，y=0.5x，y=0.7x，y=0.9x
问题1：猜想出y=5x与y=0.3x的图像形状，并描述其特征。
问题2：一般指数函数图像分为几类？
问题3：分别满足什么样的条件图象大致是图1与图2？
活动9：教师用几何画板做出y=ax （a>0且a≠1）的图象，任意改变a的值来展示底数变化对函数图像的影响。
活动10：对图1，图2进行分析，引导学生由图形中得出指数函数在不同底数下，指数函数的定义域、值域、恒过定点、单调性、奇偶性等性质。最后通过课本56页的表格进行归纳分类，进行知识点的总结。
四、图式（Scheme）阶段
例1：函数f（x）是指数函数，經过（3，8）点，求f（0），f（2），f（-3）的值。
通过本例加深学生对指数函数的理解，明确底数是确定指数函数的重要因素，同时向学生渗透方程的思想。
例2：比较下列各题中数值的大小
（1）1.72.5，1.73
（2）0.8-0.1，0.8-0.2
（3）1.70.3，0.93.1
本例教师可以用图像法和定义法两种方法讲解，有助于加深学生对指数函数单调性的理解。在第3道小题时引入中间量“1”比较大小也是一种常用的比较大小的方法。
本文在操作阶段主要是为了增强数学的趣味性以及引出指数函数。过程阶段提出了指数函数的定义，并形象的描述了指数函数的特征。对象阶段讨论了指数函数定义中底数的范围，准确地认识指数函数；通过几何画板和多媒体形象生动地展示指数函数的性质。图式阶段中设计了两个例题，涉及了指数函数的定义及其单调性的应用。图式阶段是认知发展的核心，通常要经过长期的数学活动不断完善和建构。
【参考文献】
[1] 唐艳. 基于APOS理论的数学概念教学设计[J]. 上海中学数学，2005（12）：22-24.
[2] 鞠海燕、陆书环. APOS理论视域下函数极限概念教学设计的探讨[A]. 曲阜师范大学学报，2011.
[3] 沈淼楠. 基于APOS理论的高中函数概念的教学活动[A]. 中学教育，2016.
【本文为甘肃省教育科学“十三五”规划2017年度立项课题“民族地区APOS 理论的教学实践——以基本初等函数为例”（课题立项号：GS[2017]GHB2631）阶段成果。】
（作者单位：甘肃省永靖县移民中学）