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【摘要】资金分配最优化是当前金融市场永恒的话题，目前的投资理论一般都是以均值方差理论作为其根本依据，本文将尝试从Kelly公式出发，建立不同市场行情下的交易策略中的最优资金分配组合，通过分析研究Kelly理论，选择出最优的资金分配方案，并对Kelly理论存在的盲点进行研究，找出更深入的研究方向。
【关键词】Kelly公式 资金分配模型 研究发展
Kelly公式最初应用于赌场，用来计算每次博弈中应投入的资金比例。经过不断的演化，Kelly公式被广泛应用于风险投资领域。而在金融投资领域，核心的焦点在于如何以低风险、低投入换得高回报。Kelly公式从数学上证明了这一点的可行性。因此基于Kelly理论，我们可以求得最优资金分配。
一、Kelly公式综述
（一）国内外关于Kelly公式的研究
Kelly公式最初诞生于美国著名的贝尔实验室，以长途电话中的杂音规律为基础，并且由该实验室的工程师J.L.Kelly第一次提出了Kelly理论，即：能使资金得到最快增长的投资比例理论，并建立了Kelly公式。在最初的论文《信息率的全新诠释》里，Kelly被应用于赌博游戏，通过资金的管理，从而在获得最大收益的同时，将破产风险降至最低，甚至为零。在随后的发展中，一些学者从不断的研究中掌握了Kelly理论的精华所在，并将此理论应用于期货投资、股票投资等金融投资领域。因为金融投资领域有着跟赌博相似的特点，投资者不断希望的到最大的收益，与此同时，也希望降低破产的几率。
在对Kelly理论的不断实践中，也有很多学者对其进行了延展。其中最为著名的就是科学家Thorp所提出的“Kelly赌博系统”和Breiman提出的“长期投资最优方法”。除此之外，还有很多学者论述了Kelly理论在金融投资领域的最優性，这也极大的促进了Kelly公式的快速发展和广泛应用。
（二）分散化投资策略
所有的鸡蛋不能放在同一个篮子里，这是一个广为人知的、能够降低风险的方式之一。这个道理同样适用于金融投资领域，因而便产生了分散化投资策略。而所谓分散化投资的理论基础，指的就是通过投资组合形式，将资金分散到不同的资产上，以此来降低投资风险。比如，在实际应用中，投资者往往选择多种股票组成投资组合，他们的收益就是以这些股票的加权平均数作为评判标准，但是需要承担的风险，却要比这些股票的加权平均风险小得多，所以，组合投资所承担的总风险也会随之降低。正是因为这样，为了将单个“鸡蛋”由于各方面的不确定因素而打碎的意外风险减低，人们一般会采用分散化投资的理论，将“鸡蛋”放到不同的“篮子”里。
从最优Kelly公式：f=2p-1可以看出，投资比例f取决于获胜率p，当p小于0.5时，f小于0，投资者选择卖空；当p大于1时，f也大于1，投资者选择从其他方借钱，用以继续投资。在这个公式中，我们可以直观的看出：Kelly理论适用于只有一个变量的情况。当资金分配的过程中，只有单一风险的情况下，通过公式，我们就可以求出最优投资比例。但是，当有多个变量时，需要求解的最优投资比例的方程式也必然是一个多维的并且相当复杂的方程式，此时若想求解，相对来说比较困难。而Whitrow采用蒙特卡洛方法来求解方程式，为Kelly公式在实际当中的运用提供了相当不错的解决方法。
二、基于Kelly公式和市场行情预测的交易策略资金分配组合
（一）不考虑市场行情的资金分配组合
我们假设在股票市场中选定其中一支股票投入全部的资金，不考虑市场行情因素，这支股票的收益稳定，我们希望在长期投资下可以稳赚不赔，在长期的投资下，为了获得最大化的收益，我们假设投资者的初始资产为W0，而第N次投资后的资产为WN，则投资的收益率由公式R=（WN-W0）/W0可以求得，则当N次投资后，投资者的最终财富值为对WN的求和，E（WN）=W0E（1+f*R）N=W0[1+（2p-1）f]N，由此公式可以看出：投资者只需要确定每次的投资比例f即可。排出卖空和借款的情况，我们只考虑当p处于0.5-1之间的情况，为了获得最大的投资收益，只有当投资比例f=1时，E（WN）有最大值。即将所有“鸡蛋”放在同一个篮子里，将获得最大回报。但是这样一来，如果出现一次投资失败，则会导致资产清零。根据统计学的定义，如果N次投资都获胜，那么连续获胜的概率则以pN来表示，而破产的概率则用1-pN来表示，由于p处于0-1之间，根据对数函数特征，随着投资次数N的不断增加，连续获胜的概率pN随着N的增加而单调递减，破产的概率1-pN则单调递增。当N趋近于无穷大时，破产的概率将会无限接近于1，即成为必然事件，不可避免。
在现实市场上，投资者所面对的情况是基于上述单一情况下，包含更多的不确定因素，交易成本、无风险利率等更加复杂的因素，将这些因素加入到上述基本模型中，将会更大的发挥出Kelly公式的实际意义。
（二）考虑随机市场环境下的资金分配组合
考虑到市场行情的随时变化，为了尽可能的减小风险，我们尝试将“鸡蛋”分散放在不同的“篮子”里，即选择多种投资组合的模式进行资金分配。图1为1994年1月3日到2013年12月31日的时间内，上证综合指数每日收盘价的波动图。
图1 上证综合指数波动图（1994 年-2013 年）
根据上一小节的假设数据，可以得到财富平均指数增长率：
其中WN仍然指第N次投资后的资产，W0仍然为投资者的初始资产，N即指投资次数，通过此方程式，来求解最优投资比例，将方程式简化为：
同时，我们假设，每次投资都是相互独立的，即风险资产是独立且分布的，其收益率也服从同一个的二项分布，那么基于每次投资的期望对数收益率为：
我们以图1所示的上证综合指数作为数据背景，在此背景下计算风险资产的收益率用以分析，在考虑市场行情的条件下交易策略的资金分配。根据图1的数据，省略中间的计算过程，我们可以得到风险资产的年收益率均值为0.1117，而标准差为0.41。设上证指数的收益率服从正态分布，故为了获得最大收益率，则需要使函数G（f）取得最大值。此时，函数G（f）的表达式为：
其中，r是无风险收益率，我们暂时以银行一年定存利率这一无风险资产收益率作为依据，取r=0.03，R为风险资产上证综合指数的收益率，即R=0.1117。对G（f）求导，以此来得到最优解，即Kelly最优投资比例：
在这个公式中，μ指的是风险资产年收益率的均值，σ则指的是标准差。通过图1模拟数据得出的结果：μ=0.1117，σ=0.41，r=0.03。将这组具体的数字带入上述公式，可以计算得出f*=0.49，即最优投资比例为0.49。假如，这里求得的f*小于1，那么投资者的最佳策略为卖空，即投入全部资产；当f*大于1时，则投资者不仅要将全部资产投入上证指数，而且还要在无风险资产上借款买入上证指数。
通过以上模拟实验我们可以验证Kelly公式在风险投资领域的确具有最优性，但是由于市场行情预测的不同情况，我们无法得出准确的资金分配方案，但有一点毋庸置疑，那就是分散化投资将会比单一风险投资更有收益保障。
三、总结
通过对不考虑市场行情和考虑市场行情的条件下，对于Kelly公式的最优化求解，我们都可以验证Kelly公式的最优性，但是真实市场的市场行情瞬息万变，对于市场行情的正确判断以及在这种条件下对于资金分配组合进行及时调整，是保证收益最大化的重要措施之一。在以上的最优化组合中，我们并未考虑交易成本，然而，在实际的金融市场中，交易成本也是不可忽略的重要因素，而且在国内外的研究成果中，也并没有针对交易成本产生的影响列入考虑范围，因此，交易成本将成为对Kelly理论更加深入研究的重要方向。
参考文献
[1]张良.基于Kelly模型的投资组合优化[D].电子科技大学，2011.
[2]卫淑芝.随机市场环境下动态最优投资组合模型研究[D].上海交通大学，2009.
[3]王康.基于Kelly公式在“极小投资模型”下的投资策略研究[D].华南理工大学，2012.
【关键词】Kelly公式 资金分配模型 研究发展
Kelly公式最初应用于赌场，用来计算每次博弈中应投入的资金比例。经过不断的演化，Kelly公式被广泛应用于风险投资领域。而在金融投资领域，核心的焦点在于如何以低风险、低投入换得高回报。Kelly公式从数学上证明了这一点的可行性。因此基于Kelly理论，我们可以求得最优资金分配。
一、Kelly公式综述
（一）国内外关于Kelly公式的研究
Kelly公式最初诞生于美国著名的贝尔实验室，以长途电话中的杂音规律为基础，并且由该实验室的工程师J.L.Kelly第一次提出了Kelly理论，即：能使资金得到最快增长的投资比例理论，并建立了Kelly公式。在最初的论文《信息率的全新诠释》里，Kelly被应用于赌博游戏，通过资金的管理，从而在获得最大收益的同时，将破产风险降至最低，甚至为零。在随后的发展中，一些学者从不断的研究中掌握了Kelly理论的精华所在，并将此理论应用于期货投资、股票投资等金融投资领域。因为金融投资领域有着跟赌博相似的特点，投资者不断希望的到最大的收益，与此同时，也希望降低破产的几率。
在对Kelly理论的不断实践中，也有很多学者对其进行了延展。其中最为著名的就是科学家Thorp所提出的“Kelly赌博系统”和Breiman提出的“长期投资最优方法”。除此之外，还有很多学者论述了Kelly理论在金融投资领域的最優性，这也极大的促进了Kelly公式的快速发展和广泛应用。
（二）分散化投资策略
所有的鸡蛋不能放在同一个篮子里，这是一个广为人知的、能够降低风险的方式之一。这个道理同样适用于金融投资领域，因而便产生了分散化投资策略。而所谓分散化投资的理论基础，指的就是通过投资组合形式，将资金分散到不同的资产上，以此来降低投资风险。比如，在实际应用中，投资者往往选择多种股票组成投资组合，他们的收益就是以这些股票的加权平均数作为评判标准，但是需要承担的风险，却要比这些股票的加权平均风险小得多，所以，组合投资所承担的总风险也会随之降低。正是因为这样，为了将单个“鸡蛋”由于各方面的不确定因素而打碎的意外风险减低，人们一般会采用分散化投资的理论，将“鸡蛋”放到不同的“篮子”里。
从最优Kelly公式：f=2p-1可以看出，投资比例f取决于获胜率p，当p小于0.5时，f小于0，投资者选择卖空；当p大于1时，f也大于1，投资者选择从其他方借钱，用以继续投资。在这个公式中，我们可以直观的看出：Kelly理论适用于只有一个变量的情况。当资金分配的过程中，只有单一风险的情况下，通过公式，我们就可以求出最优投资比例。但是，当有多个变量时，需要求解的最优投资比例的方程式也必然是一个多维的并且相当复杂的方程式，此时若想求解，相对来说比较困难。而Whitrow采用蒙特卡洛方法来求解方程式，为Kelly公式在实际当中的运用提供了相当不错的解决方法。
二、基于Kelly公式和市场行情预测的交易策略资金分配组合
（一）不考虑市场行情的资金分配组合
我们假设在股票市场中选定其中一支股票投入全部的资金，不考虑市场行情因素，这支股票的收益稳定，我们希望在长期投资下可以稳赚不赔，在长期的投资下，为了获得最大化的收益，我们假设投资者的初始资产为W0，而第N次投资后的资产为WN，则投资的收益率由公式R=（WN-W0）/W0可以求得，则当N次投资后，投资者的最终财富值为对WN的求和，E（WN）=W0E（1+f*R）N=W0[1+（2p-1）f]N，由此公式可以看出：投资者只需要确定每次的投资比例f即可。排出卖空和借款的情况，我们只考虑当p处于0.5-1之间的情况，为了获得最大的投资收益，只有当投资比例f=1时，E（WN）有最大值。即将所有“鸡蛋”放在同一个篮子里，将获得最大回报。但是这样一来，如果出现一次投资失败，则会导致资产清零。根据统计学的定义，如果N次投资都获胜，那么连续获胜的概率则以pN来表示，而破产的概率则用1-pN来表示，由于p处于0-1之间，根据对数函数特征，随着投资次数N的不断增加，连续获胜的概率pN随着N的增加而单调递减，破产的概率1-pN则单调递增。当N趋近于无穷大时，破产的概率将会无限接近于1，即成为必然事件，不可避免。
在现实市场上，投资者所面对的情况是基于上述单一情况下，包含更多的不确定因素，交易成本、无风险利率等更加复杂的因素，将这些因素加入到上述基本模型中，将会更大的发挥出Kelly公式的实际意义。
（二）考虑随机市场环境下的资金分配组合
考虑到市场行情的随时变化，为了尽可能的减小风险，我们尝试将“鸡蛋”分散放在不同的“篮子”里，即选择多种投资组合的模式进行资金分配。图1为1994年1月3日到2013年12月31日的时间内，上证综合指数每日收盘价的波动图。
图1 上证综合指数波动图（1994 年-2013 年）
根据上一小节的假设数据，可以得到财富平均指数增长率：
其中WN仍然指第N次投资后的资产，W0仍然为投资者的初始资产，N即指投资次数，通过此方程式，来求解最优投资比例，将方程式简化为：
同时，我们假设，每次投资都是相互独立的，即风险资产是独立且分布的，其收益率也服从同一个的二项分布，那么基于每次投资的期望对数收益率为：
我们以图1所示的上证综合指数作为数据背景，在此背景下计算风险资产的收益率用以分析，在考虑市场行情的条件下交易策略的资金分配。根据图1的数据，省略中间的计算过程，我们可以得到风险资产的年收益率均值为0.1117，而标准差为0.41。设上证指数的收益率服从正态分布，故为了获得最大收益率，则需要使函数G（f）取得最大值。此时，函数G（f）的表达式为：
其中，r是无风险收益率，我们暂时以银行一年定存利率这一无风险资产收益率作为依据，取r=0.03，R为风险资产上证综合指数的收益率，即R=0.1117。对G（f）求导，以此来得到最优解，即Kelly最优投资比例：
在这个公式中，μ指的是风险资产年收益率的均值，σ则指的是标准差。通过图1模拟数据得出的结果：μ=0.1117，σ=0.41，r=0.03。将这组具体的数字带入上述公式，可以计算得出f*=0.49，即最优投资比例为0.49。假如，这里求得的f*小于1，那么投资者的最佳策略为卖空，即投入全部资产；当f*大于1时，则投资者不仅要将全部资产投入上证指数，而且还要在无风险资产上借款买入上证指数。
通过以上模拟实验我们可以验证Kelly公式在风险投资领域的确具有最优性，但是由于市场行情预测的不同情况，我们无法得出准确的资金分配方案，但有一点毋庸置疑，那就是分散化投资将会比单一风险投资更有收益保障。
三、总结
通过对不考虑市场行情和考虑市场行情的条件下，对于Kelly公式的最优化求解，我们都可以验证Kelly公式的最优性，但是真实市场的市场行情瞬息万变，对于市场行情的正确判断以及在这种条件下对于资金分配组合进行及时调整，是保证收益最大化的重要措施之一。在以上的最优化组合中，我们并未考虑交易成本，然而，在实际的金融市场中，交易成本也是不可忽略的重要因素，而且在国内外的研究成果中，也并没有针对交易成本产生的影响列入考虑范围，因此，交易成本将成为对Kelly理论更加深入研究的重要方向。
参考文献
[1]张良.基于Kelly模型的投资组合优化[D].电子科技大学，2011.
[2]卫淑芝.随机市场环境下动态最优投资组合模型研究[D].上海交通大学，2009.
[3]王康.基于Kelly公式在“极小投资模型”下的投资策略研究[D].华南理工大学，2012.