公元前300年前后,埃及国王托密勒一世建成了亚里山大里亚博物馆，希腊和东方的许多著名科学家，如欧几里得等都云集到这里。阿基米德也在亚里山大里亚学习过。学了一段时间后，他思乡情切，便回到了自己的祖国--西西里岛的叙拉古。国王艾希罗和阿基米德是亲戚，一见面就给他出了个难题。
　　原来艾希罗国王交给金匠一块纯金，命令他制出一顶非常精巧、华丽的王冠。王冠制成后，国王拿在手里掂了掂，觉得有点轻。他叫来金匠问是否掺了假。金匠以生命担保，并当面拿秤来称，确实与原来金块的重量一两不差。
　　可是，掺上别的东西也是可以凑足重量的。国王既不能肯定有假，又不相信金匠的誓言，于是把阿基米德找来，要他解此难题。
　　一连几天，阿基米德闭门谢客，反复琢磨，因为实心的金块与镂空的王冠外形不同，不砸碎王冠重新铸成金块，便无法求算其体积，也就无法验证是否掺了假。他绞尽脑汁却不得其解。
　　阿基米德有一个习惯，家里桌上有了灰尘，从不许别人擦去，以便他在上面画图计算。炉灰掏出来也不让马上倒掉，他要把灰摊在地上画个半天。因为当时并没有现在这样方便的纸笔。更有甚者，他常会痴痴呆呆地在自己身上涂画。当时人们用一种特殊的泥团当肥皂。一天他准备洗澡，可是刚脱了上衣，就抓起一团泥皂在肚子上、胸脯上涂画起来，画了个三角又画圆，边画边思考那难解的王冠难题。这时他的妻子走进来，一看就知道他又计算入迷了，二话没说，便把他推入浴室。他一面挣扎，一面喊道：“不要湿了我的图形！不要湿了我的图形！”但是不由分说，他还未喊完，已被夫人“扑通”一声推入池中，夫人掩门而去。谁知这一跌倒使他的思路从那些图形的死胡同里解脱出来，他注视着池沿。原来池水很满，他身子往里一泡，水就顺着池沿往外溢，地上的鞋子也淹在水里，他急忙探身去取。而他一起身水又立即缩回池里，这一下他连鞋也不取了，又再泡到水里，就这样一出一入，水一涨一落。再说夫人刚走出门外，正要去干别的事，忽听那水池里啪啦啪啦地响，水唰唰啦啦地在地上乱流。她停步返身，正要喊：“连洗澡也不会啊！”忽然阿基米德浑身一丝不挂，湿淋淋地冲出门来把她碰了一个趔趄，她忙伸手，滑溜溜地没有抓住。阿基米德已冲到街上，高喊着“优勒加！优勒加！”（意即“发现了”）夫人这回可真着了急，嘴里嘟囔着“疯了，真是疯了”，便随后也追了出去。街上的人不知发生了什么事情，也都跟在后边追着看。阿基米德头也不回地向王宫一路跑去。
　　原来，阿基米德由澡盆溢水联想到王冠也可以泡在水里，溢出水的体积便是王冠的体积，而这体积与同等重量的金块的体积应该是相同的，否则王冠里肯定有假。就是说，同等质量的东西泡进水里而溢出的水不一样，肯定它们就是不同的物质。
　　每一种物质和相同体积的水都有一个固定的质量比，这就是比重。直到现在，物理实验室里还有一种叫“优勒加”的求比重的仪器，其名就是这样得来的。
　　阿基米德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里。白银溢出的水比黄金溢出的水几乎要多一倍。把王冠和金块分别泡进水盆里，王冠溢出的水比金块多，这时金匠不得不低头承认，王冠里是掺了白银。
　　这件事使国王对阿基米德的学问佩服至极，阿基米德也因为对难解的王冠问题的研究，得出一个结论“物体在液体中所受到的浮力，等于它所排开的同体积的液重。”