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“越位”本是足球运动中的术语，但在数学课堂教学行为中也存在越位，主要是指有的教师为追求所谓的效率，课堂上替代学生，提前或盲目补充内容的现象。
一位教师执教《搭配中的学问》中的例2：2件上装和3件下装一一搭配，一共有多少种穿法？教师用一问一答的方式引导学生，组织学生通过同伴交流、画一画、连一连等活动理解搭配的方法，得出6种穿法。最后，教师让学生观察不同的连线方式并提问：“你发现了什么规律？”一名学生通过观察上装数、下装数归纳出一个计算公式：上装数×下装数=搭配数。在练习环节，教师口头提问同类型的问题，学生直接就用这个公式解决问题。课后，学生用这个公式顺利解答了做一做的第2题和练习二十二的第4题，却无法用这个公式解答练习二十二的第5、6题。原来这两道题和例2的问题尽管计数原理相同，也是考查分类计数的思想，但是结构并不相同，侧重在锻炼学生用有序思考来解决问题，不能直接套用上面归纳的公式。
为什么会这样？原来都是公式惹的祸。《教师教学用书》上对本单元的教学建议的第3点是“把握教学要求，到位而不越位”，具体写道：“教学中，既要指导学生根据实际问题采取枚举、连线等形式有序地、不重不漏地找出事物的排列数和组合数。还要注意：只要求学生用图示的方式把所有的排列和组合情况列举出来（即有哪些排列或组合）。不要拔高要求。”可见，教学中归纳公式，然后用公式进行抽象的计算，是教学越位的表现。
教师之所以出现教学越位，有以下原因。
一是教材解读不到位，教学重点把握不准。本单元的教学重点是引导学生用更简洁、更抽象的方式把思考的过程和结果表达出来，培养学生有序、全面思考问题的能力。例2的教学重点是初步掌握搭配的方法、体会有序思考的价值。因此，计算出排列数或组合数不是本教学内容的重点，也不是训练的重点。虽然以三年级学生的知识基础，通过观察上、下装数与搭配数之间的关系，大胆猜测出这个公式，这样的探究精神是值得肯定和鼓励的，但教师没有及时正确引导，反而用同类型的题目强化训练了这个公式的运用，让学生把思考的注意力聚焦到公式上，导致指导学生根据实际问题采取枚举、连线等形式有序地、不重不漏地找出事物排列数和组合数这个教学重点被忽视了，也就使得练习中学生有序、全面地思考问题的过程缺失，当学生遇到不能套用公式的题目也就不会思考了。
二是教师存在保守观念和应试心理，教学定位出现偏差。部分教师觉得只要教材中关于基础知识和基本技能的内容学生掌握了，考试便胜券在握。有关搭配的内容在考试时往往只考有多少排列数或组合数这个结果，有时运用所谓的公式能够很快得出结果，所以都喜欢教公式，而完全忽视了对思维能力的培养，忽视“基本思想和基本活动经验”，从而导致学生对数学的学习缺少思考、缺少方法，一直徘徊在记忆、模仿或凭经验炮制的阶段。
三是数学教学的科学性和严谨性不够。案例中学生猜想公式、教师引导学生套用公式、总结得出解决搭配问题方法，对于小学生的知识建构来说是不科学的，容易让学生产生误解，养成不科学的思维习惯。从两个角度来分析，这个公式的意义都是不科学严谨的：首先，从乘法的意义来分析，在教学二年级上册《乘法的初步认识》时，学生建立的乘法意义是“求几个相同加数的和”的简便运算，那么上装数×下装数所表达的意义是什么呢？其次，《教师教学用书》对本节课的教学建议第一点中提到“上装件数m不变，有一件下装就有m种搭配方法，有n件下装就有mn种搭配方法”。這句话中的mn种指的是当上装件数是m时，n件下装就有n个m种搭配方式，所以用mn表示。
那么，在具体教学中如何做到“到位”而不“越位”呢？
一、读懂教材，把握到位
读懂教材是数学教师的必修课，是教学的基本功，是教师之所以成为教师的必备能力。二年级上册的《教师教学用书》第八单元数学广角的内容安排及其特点中阐述了“数学广角”的内容和作用：“数学广角”是人教版教材独有的内容。其意图在于系统而有步骤地把一些重要的数学思想方法通过学生可以理解的、日常生活中常见的最简单的事例呈现出来，借助一些动手操作等直观手段进行渗透。由此看来，“数学广角”既不等同于“综合与实践”活动，又不像“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三大领域的内容那样承担着知识与技能教学的刚性任务。它所强调的数学思想方法源于“双基”、高于“双基”，“数学广角”中的思想方法不应直接传授，而应通过渗透，重在“体悟”。基于以上理解，在教学《搭配（二）》时，建议教学重点侧重于初步掌握搭配的方法，体会有序思考的价值；经历数学化的过程，感受符号化思想。
二、精巧点拨，设问到位
课堂教学中，教师要精心设计有思维价值、能引发学生深入思考的问题，同时提供与之匹配的学习材料，让学生自学、自究，然后得出结论。这样才能保证“教不越位而学到位”。例如在教学《搭配（二）》时，教师可以提出以下三个问题：第一，同学们能用自己想到的方法，把找到全部搭配的过程表示出来吗？此问题意在把学生从仅关注答案引导到关注寻找答案的过程上，从而生成丰富的教学资源。第二，大家寻找到的搭配方法有这么多种，且表达的形式不同（图画、文字、符号等），但是都做到了不重不漏，这中间一定有共同的经验，想一想是什么？此问题意在从不同的方法中揭示出问题的本质——有序思考，引导学生关注有序思考的价值。第三，科学家们都十分看重有序思考，如爱因斯坦就说过：“对称和有序是宇宙的根本大法。”有序思考在我们的生活和学习中也经常用到，你能举例说说吗？此问题意在深化学生对有序思考的认识，并让学生经历“实践—认识—再实践”的过程。
三、创设留白，思维到位
数学教学的核心是发展思维，优化思维。确保学生的思维到位，必须将引发思考贯穿教学的始终，让全体学生参与知识发生发展的全过程。为此，必须懂得什么该讲，什么留着不讲完。不讲完的东西，就好比是学生思维的“引爆器”。教师在积极钻研教材教法，充分了解学生的认知水平及心理特点的基础上，根据课堂氛围、学生思维的变化，恰到好处地进行艺术的“留白”，把握好学生思维的“引爆器”，才能激发学生的学习积极性，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动的经验，并能主动尝试着从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题的策略；才能使学生的探究意识、主体精神和创造潜能得到更好的发展，才能使学生的核心素养落地。
（作者单位：肖艳，襄阳市樊城区教研室；焦莉，襄阳市荆州街小学）
责任编辑 陈建军
一位教师执教《搭配中的学问》中的例2：2件上装和3件下装一一搭配，一共有多少种穿法？教师用一问一答的方式引导学生，组织学生通过同伴交流、画一画、连一连等活动理解搭配的方法，得出6种穿法。最后，教师让学生观察不同的连线方式并提问：“你发现了什么规律？”一名学生通过观察上装数、下装数归纳出一个计算公式：上装数×下装数=搭配数。在练习环节，教师口头提问同类型的问题，学生直接就用这个公式解决问题。课后，学生用这个公式顺利解答了做一做的第2题和练习二十二的第4题，却无法用这个公式解答练习二十二的第5、6题。原来这两道题和例2的问题尽管计数原理相同，也是考查分类计数的思想，但是结构并不相同，侧重在锻炼学生用有序思考来解决问题，不能直接套用上面归纳的公式。
为什么会这样？原来都是公式惹的祸。《教师教学用书》上对本单元的教学建议的第3点是“把握教学要求，到位而不越位”，具体写道：“教学中，既要指导学生根据实际问题采取枚举、连线等形式有序地、不重不漏地找出事物的排列数和组合数。还要注意：只要求学生用图示的方式把所有的排列和组合情况列举出来（即有哪些排列或组合）。不要拔高要求。”可见，教学中归纳公式，然后用公式进行抽象的计算，是教学越位的表现。
教师之所以出现教学越位，有以下原因。
一是教材解读不到位，教学重点把握不准。本单元的教学重点是引导学生用更简洁、更抽象的方式把思考的过程和结果表达出来，培养学生有序、全面思考问题的能力。例2的教学重点是初步掌握搭配的方法、体会有序思考的价值。因此，计算出排列数或组合数不是本教学内容的重点，也不是训练的重点。虽然以三年级学生的知识基础，通过观察上、下装数与搭配数之间的关系，大胆猜测出这个公式，这样的探究精神是值得肯定和鼓励的，但教师没有及时正确引导，反而用同类型的题目强化训练了这个公式的运用，让学生把思考的注意力聚焦到公式上，导致指导学生根据实际问题采取枚举、连线等形式有序地、不重不漏地找出事物排列数和组合数这个教学重点被忽视了，也就使得练习中学生有序、全面地思考问题的过程缺失，当学生遇到不能套用公式的题目也就不会思考了。
二是教师存在保守观念和应试心理，教学定位出现偏差。部分教师觉得只要教材中关于基础知识和基本技能的内容学生掌握了，考试便胜券在握。有关搭配的内容在考试时往往只考有多少排列数或组合数这个结果，有时运用所谓的公式能够很快得出结果，所以都喜欢教公式，而完全忽视了对思维能力的培养，忽视“基本思想和基本活动经验”，从而导致学生对数学的学习缺少思考、缺少方法，一直徘徊在记忆、模仿或凭经验炮制的阶段。
三是数学教学的科学性和严谨性不够。案例中学生猜想公式、教师引导学生套用公式、总结得出解决搭配问题方法，对于小学生的知识建构来说是不科学的，容易让学生产生误解，养成不科学的思维习惯。从两个角度来分析，这个公式的意义都是不科学严谨的：首先，从乘法的意义来分析，在教学二年级上册《乘法的初步认识》时，学生建立的乘法意义是“求几个相同加数的和”的简便运算，那么上装数×下装数所表达的意义是什么呢？其次，《教师教学用书》对本节课的教学建议第一点中提到“上装件数m不变，有一件下装就有m种搭配方法，有n件下装就有mn种搭配方法”。這句话中的mn种指的是当上装件数是m时，n件下装就有n个m种搭配方式，所以用mn表示。
那么，在具体教学中如何做到“到位”而不“越位”呢？
一、读懂教材，把握到位
读懂教材是数学教师的必修课，是教学的基本功，是教师之所以成为教师的必备能力。二年级上册的《教师教学用书》第八单元数学广角的内容安排及其特点中阐述了“数学广角”的内容和作用：“数学广角”是人教版教材独有的内容。其意图在于系统而有步骤地把一些重要的数学思想方法通过学生可以理解的、日常生活中常见的最简单的事例呈现出来，借助一些动手操作等直观手段进行渗透。由此看来，“数学广角”既不等同于“综合与实践”活动，又不像“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三大领域的内容那样承担着知识与技能教学的刚性任务。它所强调的数学思想方法源于“双基”、高于“双基”，“数学广角”中的思想方法不应直接传授，而应通过渗透，重在“体悟”。基于以上理解，在教学《搭配（二）》时，建议教学重点侧重于初步掌握搭配的方法，体会有序思考的价值；经历数学化的过程，感受符号化思想。
二、精巧点拨，设问到位
课堂教学中，教师要精心设计有思维价值、能引发学生深入思考的问题，同时提供与之匹配的学习材料，让学生自学、自究，然后得出结论。这样才能保证“教不越位而学到位”。例如在教学《搭配（二）》时，教师可以提出以下三个问题：第一，同学们能用自己想到的方法，把找到全部搭配的过程表示出来吗？此问题意在把学生从仅关注答案引导到关注寻找答案的过程上，从而生成丰富的教学资源。第二，大家寻找到的搭配方法有这么多种，且表达的形式不同（图画、文字、符号等），但是都做到了不重不漏，这中间一定有共同的经验，想一想是什么？此问题意在从不同的方法中揭示出问题的本质——有序思考，引导学生关注有序思考的价值。第三，科学家们都十分看重有序思考，如爱因斯坦就说过：“对称和有序是宇宙的根本大法。”有序思考在我们的生活和学习中也经常用到，你能举例说说吗？此问题意在深化学生对有序思考的认识，并让学生经历“实践—认识—再实践”的过程。
三、创设留白，思维到位
数学教学的核心是发展思维，优化思维。确保学生的思维到位，必须将引发思考贯穿教学的始终，让全体学生参与知识发生发展的全过程。为此，必须懂得什么该讲，什么留着不讲完。不讲完的东西，就好比是学生思维的“引爆器”。教师在积极钻研教材教法，充分了解学生的认知水平及心理特点的基础上，根据课堂氛围、学生思维的变化，恰到好处地进行艺术的“留白”，把握好学生思维的“引爆器”，才能激发学生的学习积极性，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动的经验，并能主动尝试着从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题的策略；才能使学生的探究意识、主体精神和创造潜能得到更好的发展，才能使学生的核心素养落地。
（作者单位：肖艳，襄阳市樊城区教研室；焦莉，襄阳市荆州街小学）
责任编辑 陈建军