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摘要： 文章中引入了一个含有系统参数乘积项的三维光滑自治混沌系统。其基本的动力学行为用相图、最大李氏指数、poincaré 截面及分岔图分别进行了详细的分析。由于系统中的参数含有乘积项当系统参数未知时，可以预见控制系统会比较困难。基于自适应控制和李亚谱诺夫稳定理论，设计了一个新颖自适应控制器成功地将混沌系统控制到不稳定的平衡点原点，并且能准确估计出未知参数的值。最后，用一个数值仿真验证了所给出的理论正确性。
关键词：混沌系统 ； 自适应； 不定参数； 李亚谱诺夫稳定理论 ； 数值仿真
中图分类号：TP29 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）15-0232-03
Abstract： This paper introduces a three-dimensional smooth autonomous chaotic system including a product term of system parameters. Basic dynamical properties of the system are analyzed by means of maximum Lyapunov exponent， poincaré mapping and bifurcation diagram. Owing to a product term of system parameters it can be predicted that chaotic control of the system becomes more difficulty by taking account of uncertain system parameters. Based on adaptive control and Lyapunov stability theory， a novel daptive controllers were designed to stabilize the chaotic system to its unstable equilibrium at the origin and estimate the values of the unknown parameters. At last ， numerical simulations are presented to confirm the theoretical result。
Keywords ： chaotic system； adaptive ； uncertain parameters； Lyapunov stability theory； simulation
1 概述
自从Lorenz在1963年研究大气实验发现了第一个经典的混沌系统，即Lorenz系统[1]。混沌就在生物工程、化学反应、信息加密等工程方面得以广泛应用，这引起了国内外学者的广泛关注，成为当前研究的一个重要的热点问题。不但有新的混沌系统相继被发现[2-4]，而且作为混沌应用的重要手段，混沌控制和同步也得到了飞速发展。如各种先进的控制理论引入到实现混沌控制和同步[5-8]。然而到目前为止，还没有一篇有关有乘积耦合项的混沌系统控制的报道，实事上要实现当系统参数未知，即实现系统控制，又估计出耦合项系统的参数，还是具有一定的难度。下面将首次研究这类混沌系统的性质和控制问题。
5结论
该文首先引进一个有立方非线性项，且含有一个系统参数乘积项。对其基本的动力学行为进行了分析，并且用一个新颖的自适应控制器将受控的混沌系统控制到不稳定的平衡点原点，系统的未知参数也能被估计出来。最后数值进一步难证了所提出的理论的正确性。
参考文献：
[1] Lorenz E N. Deterministic no-periods flow[J. Journal of the atmospheric sicence，1963，20（2）：130-148.
[2] Rossler O E. An equation for continuous chaos[J].Physics Letter A，1976，57（5）： 397-398.
[3] Sprott J C. Some simple chaotic flows [J]. Physical Review E，1984 50（2）：647-650.
[4] Chen G R， Ueta A. Yet another chaotic Attractor[J]. International Journal of Bifurcation and chaos， 1999 9（7）：1465- 1466.
[5] Yassen， M T. Chaos Control of Chaotic Dynamical Systems Using Backstepping Design[J]. Chaos Solitons and Fractals， （2006）， 27（2）： 537-548.
[6] Hung， Y C， Liao， T L， Yan， J J. Adaptive Variable Structure Control for Chaos Suppression of Unified Chaotic Systems[J]. Applied Mathematics and Computation， （2009）， 209（2）： 391-398.
[7] 赵丹青. 反控制实现Lorenz系统混沌同步[J]. 电脑知识与技术， （2009）， 5（4）：950-953.
[8] 张峰， 蒋坤， 陈向春， 等. 统一超混沌系统自适应非线性广义同步研究[J]. 电脑知识与技术， （2014）， 10（2）： 359-362.
关键词：混沌系统 ； 自适应； 不定参数； 李亚谱诺夫稳定理论 ； 数值仿真
中图分类号：TP29 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）15-0232-03
Abstract： This paper introduces a three-dimensional smooth autonomous chaotic system including a product term of system parameters. Basic dynamical properties of the system are analyzed by means of maximum Lyapunov exponent， poincaré mapping and bifurcation diagram. Owing to a product term of system parameters it can be predicted that chaotic control of the system becomes more difficulty by taking account of uncertain system parameters. Based on adaptive control and Lyapunov stability theory， a novel daptive controllers were designed to stabilize the chaotic system to its unstable equilibrium at the origin and estimate the values of the unknown parameters. At last ， numerical simulations are presented to confirm the theoretical result。
Keywords ： chaotic system； adaptive ； uncertain parameters； Lyapunov stability theory； simulation
1 概述
自从Lorenz在1963年研究大气实验发现了第一个经典的混沌系统，即Lorenz系统[1]。混沌就在生物工程、化学反应、信息加密等工程方面得以广泛应用，这引起了国内外学者的广泛关注，成为当前研究的一个重要的热点问题。不但有新的混沌系统相继被发现[2-4]，而且作为混沌应用的重要手段，混沌控制和同步也得到了飞速发展。如各种先进的控制理论引入到实现混沌控制和同步[5-8]。然而到目前为止，还没有一篇有关有乘积耦合项的混沌系统控制的报道，实事上要实现当系统参数未知，即实现系统控制，又估计出耦合项系统的参数，还是具有一定的难度。下面将首次研究这类混沌系统的性质和控制问题。
5结论
该文首先引进一个有立方非线性项，且含有一个系统参数乘积项。对其基本的动力学行为进行了分析，并且用一个新颖的自适应控制器将受控的混沌系统控制到不稳定的平衡点原点，系统的未知参数也能被估计出来。最后数值进一步难证了所提出的理论的正确性。
参考文献：
[1] Lorenz E N. Deterministic no-periods flow[J. Journal of the atmospheric sicence，1963，20（2）：130-148.
[2] Rossler O E. An equation for continuous chaos[J].Physics Letter A，1976，57（5）： 397-398.
[3] Sprott J C. Some simple chaotic flows [J]. Physical Review E，1984 50（2）：647-650.
[4] Chen G R， Ueta A. Yet another chaotic Attractor[J]. International Journal of Bifurcation and chaos， 1999 9（7）：1465- 1466.
[5] Yassen， M T. Chaos Control of Chaotic Dynamical Systems Using Backstepping Design[J]. Chaos Solitons and Fractals， （2006）， 27（2）： 537-548.
[6] Hung， Y C， Liao， T L， Yan， J J. Adaptive Variable Structure Control for Chaos Suppression of Unified Chaotic Systems[J]. Applied Mathematics and Computation， （2009）， 209（2）： 391-398.
[7] 赵丹青. 反控制实现Lorenz系统混沌同步[J]. 电脑知识与技术， （2009）， 5（4）：950-953.
[8] 张峰， 蒋坤， 陈向春， 等. 统一超混沌系统自适应非线性广义同步研究[J]. 电脑知识与技术， （2014）， 10（2）： 359-362.