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摘要：深化普通高中课程改革高三数学教师培训活动中，笔者有幸上了一节有关“排列组合”内容的高三复习展示课，得到了与会专家与同行的一致认可。排列组合，在高考中一般以选择题或填空题的形式出现，属于中档题。在考纲中则要求“会用排列数和组合式公式解决简单的实际问题”。但这道题的得分率很低，究其原因，是学生忽视了最基本的思想方法——分类，或者不知道如何分类。下面对这节课作一个简要的回顾，与大家探讨。
关键词：高中数学；突破思维；形成思维；迁移思维；巩固思维
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）06-0108
本节课的主题是“排列组合的核心思想”，关键词是核心思想，即遇到排列组合问题首先应该想到的、最重要的思想。本节课的教学目标只有一个——学会分类，学会数数。
一、导入新课，突破思维困境
首先，展示一张“垃圾分类”的宣传图片，揭示广告语——垃圾分类，让生活更美好。由此，引出本节课的核心思想——分类，让数学变简单。其次，复习排列组合的基本思想和基本方法。
基本思想：1.分清分类和分步；2.分类数数最有效；3.特殊优先；4.正难则反。
基本方法：（1）相邻问题捆绑法；（2）间隔问题插空法；（3）分配名额插板法；（4）均匀分组要除序；（5）顺序一定自动排。
分析近几年的高考真题及各地的模考题，可以发现，高考重视的是对基础的考查。就排列组合题而言，核心思想有两条：①分类数数最有效；②特殊优先。
二、例题精讲，形成思维
例1. （2019.4金华十校联考）5位同学分成3组，参加3个不同的志愿者活动，每组至少1人，其中甲乙两人不能分在同一组，则不同的分配方案有_______种。
解析：看到排列组合题，首先应该想到两条核心思想：①分类数数最有效；②特殊优先。
而分类的核心在于找分类点，即想不清楚的地方。如例1，有两个地方我们想不清楚：甲乙两人分别在哪两个组？三个组的人数分别是多少？若能弄清楚以上两个问题，这个复杂的问题就简单了。因此，我们先对特殊元素甲乙的位置进行分类，共有以下6类（将甲在第一组乙在第二组，简记为甲1乙2）：甲1乙2、甲1乙3、甲2乙1、甲2乙3、甲3乙1、甲3乙2。根据甲乙对称性（地位相等），6种情况等价。不妨设甲1乙2。接着，再对各组的人数进行分类，共有以下6类（若第一、二、三组的人数分别为1，1，3，简记为（1，1，3）：（1，1，3）（1，2，2）（1，3，1）（2，1，2）（ 2，2，1）（3，1，1）。至此，通过分类到极致，该题就变成简单的实际问题。
所以，分配方案的种数为6×（1 3 3 3 6 3） = 114。
例2.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案有______种。
解析：排列组合的核心在于分类，甲、乙、丙3个小组的人数我们不清楚，是分类点。抓住这个分类点，我们可以快速解决问题。
①当甲组3人，乙组1人，丙组1人时，方案种数为C35C12= 20。
②当甲组2人，乙组1人，丙组2人时，方案种数为C25C13= 30。
③当甲组2人，乙组2人，丙组1人时，方案种数为C25C23= 30。
所以，分配方案的种数为20 30 30 = 80。
错误解法：第一步，保证甲组2人，乙、丙组各1人；第二步，剩余1人随机分配。此时，分配方案的种数为C25C13C12·C13= 180。错误的原因在于某一组的人分两次进入，存在先后顺序重复。
通过错误解法，让学生实实在在地感受到分类的好处，不仅能够化复杂为简单，而且容易检验不重不漏，保证正确率。
三、习题演练，迁移思维
练习1.标有1，2，3，4，5数字的五个小球，放入标有1，2，3，4数字的四个不同的盒子中，要求每个盒子都有球，且恰有两个球的标号与所放的盒子标号相同，求其放法种数。
师：看到排列组合题，首先应该想到的是什么？
生：分类。
师：對，分类让问题变简单。那么，分类点是什么？也就是什么地方让你想不清楚？
生1：我不清楚哪两个球的标号和盒子是相同的。
师：对，哪两个标号相同想不清楚，需要分类。还有什么想不清楚？
生2：还有哪个盒子放两个球不清楚。
师：也对，这些都是分类点。抓住这两个分类点，问题就变简单了。分类数一数，轻松搞定。
首先，对哪两个球与盒子标号相同进行分类：1，2相同；1，3相同；1，4相同；2，3相同；2，4相同；3，4相同。由对称性可知，六种情况等价，只需算其中一种即可，不妨设1，2相同。
①当1号盒子有两个球时，共有3种放法。
②当2号盒子有两个球时，共有3种放法。
③当3号盒子有两个球时，共有1种放法。
④当4号盒子有两个球时，共有1种放法。
所以，放法的种数为6×（3 3 1 1） = 48。
练习2.（2017浙江高考）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法。
师：有什么方法可以把这个问题变简单？
生3：对服务队中女生的人数进行分类：女生有1人或者女生有2人。这样，这个问题就变简单了。
师：对，这就是分类点，也是这个题的关键点。抓住这一点，该题就迎刃而解了。请大家自己动手算一下，最后答案为多少？
学生完成后，电子白板上展示生3的书写过程并给予表扬。
①当女生有1人时，C12C36·C14C13C22= 480。
②当女生有2人时，C22C26·C14C13C22= 180。
选法种数为480 180 = 660。
四、归纳小结，巩固思维
基本的数学概念、基本的思想方法是高考数学的根，始终是考查的重点。就排列组合题而言，通过分类，可以使数学问题一点一点变简单。通过本节课的学习，希望学生学会分类，让数学变简单，让生活更美好。
参考文献：
[1]王逸凡.高中数学分类讨论方法的思考[J].高考，2017（36）.
[2]杨娇娜.简析分类讨论思想在高中数学教学中的应用[J].课程教育研究：学法教法研究，2016（23）：122-122.
（作者单位：浙江省东阳中学322100）
关键词：高中数学；突破思维；形成思维；迁移思维；巩固思维
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）06-0108
本节课的主题是“排列组合的核心思想”，关键词是核心思想，即遇到排列组合问题首先应该想到的、最重要的思想。本节课的教学目标只有一个——学会分类，学会数数。
一、导入新课，突破思维困境
首先，展示一张“垃圾分类”的宣传图片，揭示广告语——垃圾分类，让生活更美好。由此，引出本节课的核心思想——分类，让数学变简单。其次，复习排列组合的基本思想和基本方法。
基本思想：1.分清分类和分步；2.分类数数最有效；3.特殊优先；4.正难则反。
基本方法：（1）相邻问题捆绑法；（2）间隔问题插空法；（3）分配名额插板法；（4）均匀分组要除序；（5）顺序一定自动排。
分析近几年的高考真题及各地的模考题，可以发现，高考重视的是对基础的考查。就排列组合题而言，核心思想有两条：①分类数数最有效；②特殊优先。
二、例题精讲，形成思维
例1. （2019.4金华十校联考）5位同学分成3组，参加3个不同的志愿者活动，每组至少1人，其中甲乙两人不能分在同一组，则不同的分配方案有_______种。
解析：看到排列组合题，首先应该想到两条核心思想：①分类数数最有效；②特殊优先。
而分类的核心在于找分类点，即想不清楚的地方。如例1，有两个地方我们想不清楚：甲乙两人分别在哪两个组？三个组的人数分别是多少？若能弄清楚以上两个问题，这个复杂的问题就简单了。因此，我们先对特殊元素甲乙的位置进行分类，共有以下6类（将甲在第一组乙在第二组，简记为甲1乙2）：甲1乙2、甲1乙3、甲2乙1、甲2乙3、甲3乙1、甲3乙2。根据甲乙对称性（地位相等），6种情况等价。不妨设甲1乙2。接着，再对各组的人数进行分类，共有以下6类（若第一、二、三组的人数分别为1，1，3，简记为（1，1，3）：（1，1，3）（1，2，2）（1，3，1）（2，1，2）（ 2，2，1）（3，1，1）。至此，通过分类到极致，该题就变成简单的实际问题。
所以，分配方案的种数为6×（1 3 3 3 6 3） = 114。
例2.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案有______种。
解析：排列组合的核心在于分类，甲、乙、丙3个小组的人数我们不清楚，是分类点。抓住这个分类点，我们可以快速解决问题。
①当甲组3人，乙组1人，丙组1人时，方案种数为C35C12= 20。
②当甲组2人，乙组1人，丙组2人时，方案种数为C25C13= 30。
③当甲组2人，乙组2人，丙组1人时，方案种数为C25C23= 30。
所以，分配方案的种数为20 30 30 = 80。
错误解法：第一步，保证甲组2人，乙、丙组各1人；第二步，剩余1人随机分配。此时，分配方案的种数为C25C13C12·C13= 180。错误的原因在于某一组的人分两次进入，存在先后顺序重复。
通过错误解法，让学生实实在在地感受到分类的好处，不仅能够化复杂为简单，而且容易检验不重不漏，保证正确率。
三、习题演练，迁移思维
练习1.标有1，2，3，4，5数字的五个小球，放入标有1，2，3，4数字的四个不同的盒子中，要求每个盒子都有球，且恰有两个球的标号与所放的盒子标号相同，求其放法种数。
师：看到排列组合题，首先应该想到的是什么？
生：分类。
师：對，分类让问题变简单。那么，分类点是什么？也就是什么地方让你想不清楚？
生1：我不清楚哪两个球的标号和盒子是相同的。
师：对，哪两个标号相同想不清楚，需要分类。还有什么想不清楚？
生2：还有哪个盒子放两个球不清楚。
师：也对，这些都是分类点。抓住这两个分类点，问题就变简单了。分类数一数，轻松搞定。
首先，对哪两个球与盒子标号相同进行分类：1，2相同；1，3相同；1，4相同；2，3相同；2，4相同；3，4相同。由对称性可知，六种情况等价，只需算其中一种即可，不妨设1，2相同。
①当1号盒子有两个球时，共有3种放法。
②当2号盒子有两个球时，共有3种放法。
③当3号盒子有两个球时，共有1种放法。
④当4号盒子有两个球时，共有1种放法。
所以，放法的种数为6×（3 3 1 1） = 48。
练习2.（2017浙江高考）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法。
师：有什么方法可以把这个问题变简单？
生3：对服务队中女生的人数进行分类：女生有1人或者女生有2人。这样，这个问题就变简单了。
师：对，这就是分类点，也是这个题的关键点。抓住这一点，该题就迎刃而解了。请大家自己动手算一下，最后答案为多少？
学生完成后，电子白板上展示生3的书写过程并给予表扬。
①当女生有1人时，C12C36·C14C13C22= 480。
②当女生有2人时，C22C26·C14C13C22= 180。
选法种数为480 180 = 660。
四、归纳小结，巩固思维
基本的数学概念、基本的思想方法是高考数学的根，始终是考查的重点。就排列组合题而言，通过分类，可以使数学问题一点一点变简单。通过本节课的学习，希望学生学会分类，让数学变简单，让生活更美好。
参考文献：
[1]王逸凡.高中数学分类讨论方法的思考[J].高考，2017（36）.
[2]杨娇娜.简析分类讨论思想在高中数学教学中的应用[J].课程教育研究：学法教法研究，2016（23）：122-122.
（作者单位：浙江省东阳中学322100）