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一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70分）
1． 若A∈α,Bα,A∈l,B∈l，则直线l与平面α有 个公共点．
2． 设AA1是正方体的一条棱，则正方体中与AA1平行的棱共有 条．
3． 若a,b是异面直线，直线c与a,b都相交，则由a,b,c中任意两条所确定的平面共有 个．
4． 用一张长4π cm，宽2π cm的矩形铁皮围成圆柱（接缝忽略不记），则圆柱的体积为 (cm)3．
5． 若四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则在由四棱锥的任意两条棱确定的平面中，相互垂直的平面共有 对．
6． 若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为 ．
7． 已知正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，侧面积为12，则这个正三棱柱的体积是 ．
8． 三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于 ．
9． 已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=23，则棱锥OABCD的体积为 ．
10． 线段AB的端点到平面α的距离分别是5 cm和2 cm，AB在平面α上的射影A′B′的长为4 cm，则线段AB的长为 cm．
11． 已知四棱锥SABCD的高为24，底面是边长为1的正方形，若点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 ．
12． 已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则CD等于 ．
13． 已知a,b,c是三个相互平行的平面．平面a,b之间的距离为d，平面b,c之间的距离为2，直线l与a,b,c分别相交于A,B,C，那么AB=BC的充要条件是 ．
14． 已知命题
①若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线∥平面β；
②若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线⊥平面β；
③若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，则l⊥平面γ；
④若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都⊥平面β.
则其中错误命题的序号为 ．
二、 解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15． （本小题满分14分）
如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=a,BC=b,AA1=c，并且a>b>c>0，一只蚂蚁沿着长方体表面从顶点A爬到顶点C1，求蚂蚁运动的最短距离．
16． （本小题满分14分）
某单位设计一个高不超过100 cm的正四棱锥型冷水塔，若底面边长比高的二倍少20 cm，试求高为何值时，该四棱锥的体积最大？
17. （本小题满分14分）
如图,在四棱锥PABCD中,PD垂直于长方形ABCD所在的平面,E是PA的中点.
(1) 求证：PC∥平面EBD；
(2) 若D在PC上的射影为F,求证:平面DEF⊥平面PBC．
18． （本小题满分16分）
在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，E为CC1的中点．求证：
（1） AC1∥平面BDE；
（2） A1E⊥平面BDE．
19． （本小题满分16分）
如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=2，∠CDA=45°．
（1） 求证：平面PAB⊥平面PAD；
（2） 设AB=AP．若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长．
20． （本小题满分16分）
如图，在三棱锥PABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．
（1） 证明：AP⊥BC；
（2） 在线段AP上是否存在点M，使得二面角AMCB为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
1． 若A∈α,Bα,A∈l,B∈l，则直线l与平面α有 个公共点．
2． 设AA1是正方体的一条棱，则正方体中与AA1平行的棱共有 条．
3． 若a,b是异面直线，直线c与a,b都相交，则由a,b,c中任意两条所确定的平面共有 个．
4． 用一张长4π cm，宽2π cm的矩形铁皮围成圆柱（接缝忽略不记），则圆柱的体积为 (cm)3．
5． 若四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则在由四棱锥的任意两条棱确定的平面中，相互垂直的平面共有 对．
6． 若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为 ．
7． 已知正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，侧面积为12，则这个正三棱柱的体积是 ．
8． 三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于 ．
9． 已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=23，则棱锥OABCD的体积为 ．
10． 线段AB的端点到平面α的距离分别是5 cm和2 cm，AB在平面α上的射影A′B′的长为4 cm，则线段AB的长为 cm．
11． 已知四棱锥SABCD的高为24，底面是边长为1的正方形，若点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 ．
12． 已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则CD等于 ．
13． 已知a,b,c是三个相互平行的平面．平面a,b之间的距离为d，平面b,c之间的距离为2，直线l与a,b,c分别相交于A,B,C，那么AB=BC的充要条件是 ．
14． 已知命题
①若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线∥平面β；
②若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线⊥平面β；
③若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，则l⊥平面γ；
④若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都⊥平面β.
则其中错误命题的序号为 ．
二、 解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15． （本小题满分14分）
如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=a,BC=b,AA1=c，并且a>b>c>0，一只蚂蚁沿着长方体表面从顶点A爬到顶点C1，求蚂蚁运动的最短距离．
16． （本小题满分14分）
某单位设计一个高不超过100 cm的正四棱锥型冷水塔，若底面边长比高的二倍少20 cm，试求高为何值时，该四棱锥的体积最大？
17. （本小题满分14分）
如图,在四棱锥PABCD中,PD垂直于长方形ABCD所在的平面,E是PA的中点.
(1) 求证：PC∥平面EBD；
(2) 若D在PC上的射影为F,求证:平面DEF⊥平面PBC．
18． （本小题满分16分）
在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，E为CC1的中点．求证：
（1） AC1∥平面BDE；
（2） A1E⊥平面BDE．
19． （本小题满分16分）
如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=2，∠CDA=45°．
（1） 求证：平面PAB⊥平面PAD；
（2） 设AB=AP．若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长．
20． （本小题满分16分）
如图，在三棱锥PABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．
（1） 证明：AP⊥BC；
（2） 在线段AP上是否存在点M，使得二面角AMCB为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．