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我们知道，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）是轴对称图形，它的对称轴是直线x=-，顶点在对称轴上. 在解决有关抛物线的问题时，若能巧用抛物线的对称性，常可收到出奇制胜、简捷明快之效.
一、比较大小
例1 若二次函数y=x2-6x+c的图像过A（-1， y），B（2， y），C（3+， y）三点，则y，y，y大小关系正确的是（ ）.
A. y>y>y B. y>y>y C. y>y>y D. y>y>y
分析：二次函数y=x2-6x+c的对称轴为x=3，点A、B都在对称轴的左侧，而点C在对称轴的右侧，不便利用二次函数的性质比较y值大小. 因此应设法将点A、B、C转化成对称轴同侧的点，然后再利用二次函数的性质比较y值大小.
解：由于二次函数y=x2-6x+c的对称轴为x=3，因此C（3+，y）关于对称轴x=3的对称点C′（3-，y），而点A、B和C′都在对称轴左侧，且-1<3-<2，又a=1>0，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，所以y>y>y，答案选B.
点评：由于已知三点中有两点都在对称轴左侧，故将另一点也利用抛物线的对称性转移到对称轴的左侧，然后再利用二次函数的性质比较大小.
二、求抛物线与x轴的一交点坐标
例2 二次函数y=-x2+2x+k的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解是x=3，另一个解x=（ ）.
A. 1 B. -1 C. -2 D. 0
分析：观察图像可知抛物线的对称轴为x=1，且抛物线与x轴的一交点横坐标为3，利用抛物线的对称性不难求出抛物线与x轴的另一交点横坐标.
解：抛物线的对称轴为x=1，且与x轴的一交点横坐标为3，由抛物线的对称性不难求出与x轴的另一交点的横坐标为-1，即一元二次方程-x2+2x+k=0的另一个解x=-1，答案选B.
点评：本题的常规解法是利用一元二次方程解的定义，将x=3代入一元二次方程-x2+2x+k=0求出k的值，然后利用一元二次方程根与系数的关系求出另一解，但不如利用抛物线的对称性求解简捷，因为这样相当于少用“抛物线的对称轴为x=1”这个已知条件.
三、求二次函数的解析式
例3 抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
从上表可知，下列说法中正确的是？摇？摇 ？摇？摇.（填写序号）
①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）
②函数y=ax2+bx+c的最大值为6
③抛物线的对称轴是x=
④在对称轴左侧，y随x增大而增大
分析：除①③④外，②需要求出二次函数的解析式. 先从表格中找出y值相等的两对数值（即抛物线上的一对对称点坐标），这样可以求出抛物线的对称轴. 又从表格中可以找到抛物线与x轴的一交点坐标，利用对称性容易求出与x轴的另一交点坐标.
解：由（-1， 4）、（2， 4）可知抛物线的对称轴为x==. 由（-2， 0）结合抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）.
设二次函数的解析式为y=a（x-2）（x+3），将（0， 6）代入，得-6a=6，∴a=-1.
∴二次函数的解析式为y=-（x-2）（x+3），即y=-x2+x+6.
正确说法为①③④.
点评：如果从表格中仅能找到y值相等的两对数值（即抛物线上的一对对称点坐标），而不能找到抛物线与x轴的一交点坐标，又该如何利用抛物线的对应性呢？以（-1， 4）、（2， 4）为例，受两点式的启发，此时可设y=a[x-（-1）]（x-2）+4，即y=a（x+1）（x-2）+4，过程留给同学们完成.
四、判断函数值的正负
例4 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，现有下列结论：①b2-4ac>0；②a>0；③b>0；④c>0；⑤9a+3b+c<0，则其中结论正确的个数是（ ）个.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
分析：本题主要考查二次函数的图像与系数符号间的关系. 可根据抛物线的开口方向、与坐标轴的交点情况、对称轴的位置等确定.
解：由抛物线的开口向上可知a>0；抛物线交y轴负半轴可知c<0；抛物线与x轴有两个交点可知b2-4ac>0；对称轴为x=1，得-=1，所以b=-2a<0. 注意到9a+3b+c是x=3时的函数值. 由抛物线的对称性可知，这个值与x=-1时的值相等. 观察图像可知，当x=-1时函数值小于0，从而9a+3b+c<0. 所以正确的结论为①②⑤，答案选B.
点评：在判断9a+3b+c的正负性时，一般方法是将b=-2a代入9a+3b+c，化简得3a+c. 然后再根据x=-1时函数值小于0，得a-b+c<0，再将b=-2a代入a-b+c，化简得3a+c. 从而3a+c<0，即9a+3b+c<0. 这样做显然麻烦，且具有一定的盲目性. 不如利用抛物线的对称性求解简便. 不过在利用抛物线的对称性判断9a+3b+c的正负性时，首先要能够观察出9a+3b+c是x=3时的函数值.
五、求阴影部分的面积
例5 如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成八部分. 则图中阴影部分的面积是？摇？摇？摇 ？摇.
分析：本题主要考查正方形和抛物线的对称性. 可根据正方形和抛物线的对称性对阴影部分的面积进行转化.
解：两条坐标轴把正方形的面积分为左上、左下、右上、右下四个部分. 由正方形和抛物线的对称性可知，左上阴影部分与右上空白部分关于y轴对称；左下空白部分与右下阴影部分也关于y轴对称，因此左上阴影部分与右上阴影部分的面积和等于正方形面积的四分之一，左下阴影部分与右下阴影部分的面积和也等于正方形面积的四分之一，整个图形中阴影部分的面积和等于正方形面积的一半，即×22=2.
点评：实际上，左上阴影部分与左下空白部分也关于y轴对称，右上阴影部分与右下空白部分也关于y轴对称，也可以据此求解.
六、求最值
例6 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（-2，-4），OB=2. 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点M是抛物线对称轴上的一点，试求MO+MA的最小值.
分析：（1）OB=2知点B（2， 0），又抛物线过原点和点 A（-2， -4），利用待定系数法不难求其解析式；（2）利用抛物线的对称性对MO+MA进行转化，然后利用两点之间线段最短和勾股定理求解.
解：（1）由OB=2知点B（2， 0）. 将A（-2， -4），B（2， 0），O（0， 0）代入y=ax2+bx+c，得4a-2b+c=-4，4a+2c+c=0，c=0. 解得a=-，b=1，c=0.
所以抛物线的函数表达式为y=-x2+x.
（2）如图，设抛物线的对称轴为直线l，则O、B关于直线l对称.
所以MB=MO. 所以MO+MA=MB+MA.
连接AB，交直线l于点M，则线段AB的长即为MO+MA的最小值.
过点A作AN⊥x轴，垂足为点N，则AN=4，BN=2-（-2）=4.
由勾股定理，得AB===4.
点评：在求MO+MA的最小值时，也可做出点A关于直线l的对称点A′，则OA′即为MO+MA的最小值.
一、比较大小
例1 若二次函数y=x2-6x+c的图像过A（-1， y），B（2， y），C（3+， y）三点，则y，y，y大小关系正确的是（ ）.
A. y>y>y B. y>y>y C. y>y>y D. y>y>y
分析：二次函数y=x2-6x+c的对称轴为x=3，点A、B都在对称轴的左侧，而点C在对称轴的右侧，不便利用二次函数的性质比较y值大小. 因此应设法将点A、B、C转化成对称轴同侧的点，然后再利用二次函数的性质比较y值大小.
解：由于二次函数y=x2-6x+c的对称轴为x=3，因此C（3+，y）关于对称轴x=3的对称点C′（3-，y），而点A、B和C′都在对称轴左侧，且-1<3-<2，又a=1>0，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，所以y>y>y，答案选B.
点评：由于已知三点中有两点都在对称轴左侧，故将另一点也利用抛物线的对称性转移到对称轴的左侧，然后再利用二次函数的性质比较大小.
二、求抛物线与x轴的一交点坐标
例2 二次函数y=-x2+2x+k的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解是x=3，另一个解x=（ ）.
A. 1 B. -1 C. -2 D. 0
分析：观察图像可知抛物线的对称轴为x=1，且抛物线与x轴的一交点横坐标为3，利用抛物线的对称性不难求出抛物线与x轴的另一交点横坐标.
解：抛物线的对称轴为x=1，且与x轴的一交点横坐标为3，由抛物线的对称性不难求出与x轴的另一交点的横坐标为-1，即一元二次方程-x2+2x+k=0的另一个解x=-1，答案选B.
点评：本题的常规解法是利用一元二次方程解的定义，将x=3代入一元二次方程-x2+2x+k=0求出k的值，然后利用一元二次方程根与系数的关系求出另一解，但不如利用抛物线的对称性求解简捷，因为这样相当于少用“抛物线的对称轴为x=1”这个已知条件.
三、求二次函数的解析式
例3 抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
从上表可知，下列说法中正确的是？摇？摇 ？摇？摇.（填写序号）
①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）
②函数y=ax2+bx+c的最大值为6
③抛物线的对称轴是x=
④在对称轴左侧，y随x增大而增大
分析：除①③④外，②需要求出二次函数的解析式. 先从表格中找出y值相等的两对数值（即抛物线上的一对对称点坐标），这样可以求出抛物线的对称轴. 又从表格中可以找到抛物线与x轴的一交点坐标，利用对称性容易求出与x轴的另一交点坐标.
解：由（-1， 4）、（2， 4）可知抛物线的对称轴为x==. 由（-2， 0）结合抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）.
设二次函数的解析式为y=a（x-2）（x+3），将（0， 6）代入，得-6a=6，∴a=-1.
∴二次函数的解析式为y=-（x-2）（x+3），即y=-x2+x+6.
正确说法为①③④.
点评：如果从表格中仅能找到y值相等的两对数值（即抛物线上的一对对称点坐标），而不能找到抛物线与x轴的一交点坐标，又该如何利用抛物线的对应性呢？以（-1， 4）、（2， 4）为例，受两点式的启发，此时可设y=a[x-（-1）]（x-2）+4，即y=a（x+1）（x-2）+4，过程留给同学们完成.
四、判断函数值的正负
例4 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，现有下列结论：①b2-4ac>0；②a>0；③b>0；④c>0；⑤9a+3b+c<0，则其中结论正确的个数是（ ）个.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
分析：本题主要考查二次函数的图像与系数符号间的关系. 可根据抛物线的开口方向、与坐标轴的交点情况、对称轴的位置等确定.
解：由抛物线的开口向上可知a>0；抛物线交y轴负半轴可知c<0；抛物线与x轴有两个交点可知b2-4ac>0；对称轴为x=1，得-=1，所以b=-2a<0. 注意到9a+3b+c是x=3时的函数值. 由抛物线的对称性可知，这个值与x=-1时的值相等. 观察图像可知，当x=-1时函数值小于0，从而9a+3b+c<0. 所以正确的结论为①②⑤，答案选B.
点评：在判断9a+3b+c的正负性时，一般方法是将b=-2a代入9a+3b+c，化简得3a+c. 然后再根据x=-1时函数值小于0，得a-b+c<0，再将b=-2a代入a-b+c，化简得3a+c. 从而3a+c<0，即9a+3b+c<0. 这样做显然麻烦，且具有一定的盲目性. 不如利用抛物线的对称性求解简便. 不过在利用抛物线的对称性判断9a+3b+c的正负性时，首先要能够观察出9a+3b+c是x=3时的函数值.
五、求阴影部分的面积
例5 如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成八部分. 则图中阴影部分的面积是？摇？摇？摇 ？摇.
分析：本题主要考查正方形和抛物线的对称性. 可根据正方形和抛物线的对称性对阴影部分的面积进行转化.
解：两条坐标轴把正方形的面积分为左上、左下、右上、右下四个部分. 由正方形和抛物线的对称性可知，左上阴影部分与右上空白部分关于y轴对称；左下空白部分与右下阴影部分也关于y轴对称，因此左上阴影部分与右上阴影部分的面积和等于正方形面积的四分之一，左下阴影部分与右下阴影部分的面积和也等于正方形面积的四分之一，整个图形中阴影部分的面积和等于正方形面积的一半，即×22=2.
点评：实际上，左上阴影部分与左下空白部分也关于y轴对称，右上阴影部分与右下空白部分也关于y轴对称，也可以据此求解.
六、求最值
例6 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（-2，-4），OB=2. 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点M是抛物线对称轴上的一点，试求MO+MA的最小值.
分析：（1）OB=2知点B（2， 0），又抛物线过原点和点 A（-2， -4），利用待定系数法不难求其解析式；（2）利用抛物线的对称性对MO+MA进行转化，然后利用两点之间线段最短和勾股定理求解.
解：（1）由OB=2知点B（2， 0）. 将A（-2， -4），B（2， 0），O（0， 0）代入y=ax2+bx+c，得4a-2b+c=-4，4a+2c+c=0，c=0. 解得a=-，b=1，c=0.
所以抛物线的函数表达式为y=-x2+x.
（2）如图，设抛物线的对称轴为直线l，则O、B关于直线l对称.
所以MB=MO. 所以MO+MA=MB+MA.
连接AB，交直线l于点M，则线段AB的长即为MO+MA的最小值.
过点A作AN⊥x轴，垂足为点N，则AN=4，BN=2-（-2）=4.
由勾股定理，得AB===4.
点评：在求MO+MA的最小值时，也可做出点A关于直线l的对称点A′，则OA′即为MO+MA的最小值.