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从数学自身的发展过程来看,变量与函数概念的引入,标志着数学由常量数学向变量数学的迈进,尽管初中函数内容只是讲述了函数的一些最基本、最初步的知识,但是其中蕴含的数学思想和方法,对培养学生观察问题、研究问题和解决问题的能力都是十分有益的。不仅如此,函数概念还是高中代数的核心部分,学好初中函数的有关知识,可以为研究高中数学中的各种初等函数奠定一定的基础。所以说,初中函数概念的基础性作用是显而易见的。那么,如何正确理解函数的概念,掌握好函数的特征和性质呢?本人认为,在初中函数的教学中,要把握好“四个一”。
一、树立“运动变化”的观点。
函数概念是中学数学的一个重要的基本概念,标志着常量数学向变量数学的迈进,其核心的意义是反映出了在某一个变化过程中,两个变量之间的依赖关系,即一个量的变化随着另一个量的变化而变化,因此,原本静止的数的概念之间便产生了一种动感的联系,例如,我们生活中熟悉的行程问题中的路程、时间和速度的“一定两变”的规律,工程问题中的总量、效率和时间的“一定两变”的规律等,都让我们产生了一种运动数学的感觉;再如,一颗石子投在平静的水面上,将激起一圈圈的波纹。它们是一组同心圆,这组圆圈的周长或面积在逐渐增大,由于圆的半径决定了圆的大小,因而我们可以说圆的周长或面积随着半径的增大而增大,这一事项可以用式子c=2πR或s=πR2进行抽象地描述。
在实际的教学过程中,我启发学生们自己去寻找、发现类似的变量关系,许多同学很容易举出身边的事例:生长期时身高随着年龄的变化而变化;一天中的气温随着时间的变化而变化;工厂的收入随着产量的增加而增加;也有少数同学想到了二元一次方程的无数解,在方程3x-2y=1中,当x的取值发生变化时,y的值随着x的变化而变化……。
二、用好“平面直角坐标系”。
在理解函数概念的基础上,要启发学生明白研究函数的意义和方法,研究函数性质的必要性,为了更好地体现不同函数关系式的不同特性,我们可以通过研究函数的图像来反映函数的性质差异,那么怎样建立函数的图像呢?我们可以依赖于一种工具——“平面直角坐标系”,它是各类不同的函数展示各自特性的一个平台,在这个平台上,以另一种方式反映了变量之间的关系,可以更为形象直观地了解不同函数的性质。其实在实际的学习过程中,有很多同学直到初中毕业以后,也没明白函数的解析式与函数图像的关系,不知道为什么要进行列表、描点和连线,不知道函数解析式怎么就过渡成为函数的图像,而只是一味地死记它的画图步骤和老师强调的注意点,缺乏知其所以然的认识。其实我们的教学过程中,在学生理解了有序实数对和平面内点的坐标之间的一一对应关系以后,有必要告诉学生,我们在画函数图像的列表、描点过程中,都是对函数中的两个变量的顺序作了人为的规定,规定了’自变量的取值作为点的横坐标,而与之对应的因变量的值作为点的纵坐标。我在指导学生画函数图像的过程中,列表以后,我又增加了一个步骤:得到的点的坐标是:………、、、、、……,学生在完成了这一步骤以后,大多数能认识到由数到形过渡的自然性和合理性。当然,“平面直角坐标系”这一平台的作用,还要在今后的解题应用中逐步去体会。
三、培养“数形结合”的思想。
数学的精髓——数学思想方法已经被九年制义务教育《数学课程标准》纳入了基础知识的范畴,这不仅体现了数学思想方法在初中数学教学中的重要作用,同时也对加强数学素质教育提出了更高的要求。数学教学过程应该体现明暗两条线:一条是明线,即数学知识内容的教学;另一条是暗线,即数学思想方法的形成。由于数学思想方法既是数学的基础知识,又是将知识转化为能力的桥梁,用好了就是能力,因此我们数学老师在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结,要重视数学思想方法在解题中的指导意义。
数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。何为数形结合的思想方法?我们知道,数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学,数和形是数学知识体系中两大基础概念,把刻划数量关系的数和具体直观的图形有机结合,将抽象思维与形象思维有机结合,根据研讨问题的需要,把数量关系的比较转化为图形性质或其位置关系的讨论,或把图形间的待定关系转化为相关元素的数量计算,即数与形的灵活转换、相互作用,进而探求问题的解答,就是数形结合的思想方法。它能扬数之长、取形之优,使得“数量关系”与“空间形式”珠连壁合,相映生辉。
四、掌握“待定系数法”。
在函数这部分内容中,还体现了一些基本的数学方法。如配方法、公式法、待定系数法等,其中待定系数法在确定各种函数解析式中有着重要的意义,不论是正、反比例函数,还是一次函数、二次函数,确定解析式时都离不开用待定系数法。在用待定系数法求函数的解析式时,需要启发学生注意以下两点:
1、明确求函数解析式的一般步骤:
(1)、写出函数解析式的一般式,其中包括未知的系数;
(2)、把自变量与函数的对应值代人函数解析式中,得到关于待定系数的方程或方程组。
(3)、解方程(组)求出待定系数的值,从而写出函数解析式。
2、在设定解析式时,要注意不同类型的函数其待定系数的个数是不同的,因而所需要的独立条件的个数是不一样的。如正比例函数y=kx和反比例函数y=,分别只有一个未知的系数,因此只需要一个独立的已知条件来建立方程,一次函数y=kx b中有两个未知的系数,因此需要两个独立的已知条件来建立方程组,而二次函数的形式丰富多样,有一般式、顶点式,甚至有的还可以借助两根式来设定,在一般式中还有几种特殊式,因此要根据具体情况来设定。
一、树立“运动变化”的观点。
函数概念是中学数学的一个重要的基本概念,标志着常量数学向变量数学的迈进,其核心的意义是反映出了在某一个变化过程中,两个变量之间的依赖关系,即一个量的变化随着另一个量的变化而变化,因此,原本静止的数的概念之间便产生了一种动感的联系,例如,我们生活中熟悉的行程问题中的路程、时间和速度的“一定两变”的规律,工程问题中的总量、效率和时间的“一定两变”的规律等,都让我们产生了一种运动数学的感觉;再如,一颗石子投在平静的水面上,将激起一圈圈的波纹。它们是一组同心圆,这组圆圈的周长或面积在逐渐增大,由于圆的半径决定了圆的大小,因而我们可以说圆的周长或面积随着半径的增大而增大,这一事项可以用式子c=2πR或s=πR2进行抽象地描述。
在实际的教学过程中,我启发学生们自己去寻找、发现类似的变量关系,许多同学很容易举出身边的事例:生长期时身高随着年龄的变化而变化;一天中的气温随着时间的变化而变化;工厂的收入随着产量的增加而增加;也有少数同学想到了二元一次方程的无数解,在方程3x-2y=1中,当x的取值发生变化时,y的值随着x的变化而变化……。
二、用好“平面直角坐标系”。
在理解函数概念的基础上,要启发学生明白研究函数的意义和方法,研究函数性质的必要性,为了更好地体现不同函数关系式的不同特性,我们可以通过研究函数的图像来反映函数的性质差异,那么怎样建立函数的图像呢?我们可以依赖于一种工具——“平面直角坐标系”,它是各类不同的函数展示各自特性的一个平台,在这个平台上,以另一种方式反映了变量之间的关系,可以更为形象直观地了解不同函数的性质。其实在实际的学习过程中,有很多同学直到初中毕业以后,也没明白函数的解析式与函数图像的关系,不知道为什么要进行列表、描点和连线,不知道函数解析式怎么就过渡成为函数的图像,而只是一味地死记它的画图步骤和老师强调的注意点,缺乏知其所以然的认识。其实我们的教学过程中,在学生理解了有序实数对和平面内点的坐标之间的一一对应关系以后,有必要告诉学生,我们在画函数图像的列表、描点过程中,都是对函数中的两个变量的顺序作了人为的规定,规定了’自变量的取值作为点的横坐标,而与之对应的因变量的值作为点的纵坐标。我在指导学生画函数图像的过程中,列表以后,我又增加了一个步骤:得到的点的坐标是:………、、、、、……,学生在完成了这一步骤以后,大多数能认识到由数到形过渡的自然性和合理性。当然,“平面直角坐标系”这一平台的作用,还要在今后的解题应用中逐步去体会。
三、培养“数形结合”的思想。
数学的精髓——数学思想方法已经被九年制义务教育《数学课程标准》纳入了基础知识的范畴,这不仅体现了数学思想方法在初中数学教学中的重要作用,同时也对加强数学素质教育提出了更高的要求。数学教学过程应该体现明暗两条线:一条是明线,即数学知识内容的教学;另一条是暗线,即数学思想方法的形成。由于数学思想方法既是数学的基础知识,又是将知识转化为能力的桥梁,用好了就是能力,因此我们数学老师在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结,要重视数学思想方法在解题中的指导意义。
数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。何为数形结合的思想方法?我们知道,数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学,数和形是数学知识体系中两大基础概念,把刻划数量关系的数和具体直观的图形有机结合,将抽象思维与形象思维有机结合,根据研讨问题的需要,把数量关系的比较转化为图形性质或其位置关系的讨论,或把图形间的待定关系转化为相关元素的数量计算,即数与形的灵活转换、相互作用,进而探求问题的解答,就是数形结合的思想方法。它能扬数之长、取形之优,使得“数量关系”与“空间形式”珠连壁合,相映生辉。
四、掌握“待定系数法”。
在函数这部分内容中,还体现了一些基本的数学方法。如配方法、公式法、待定系数法等,其中待定系数法在确定各种函数解析式中有着重要的意义,不论是正、反比例函数,还是一次函数、二次函数,确定解析式时都离不开用待定系数法。在用待定系数法求函数的解析式时,需要启发学生注意以下两点:
1、明确求函数解析式的一般步骤:
(1)、写出函数解析式的一般式,其中包括未知的系数;
(2)、把自变量与函数的对应值代人函数解析式中,得到关于待定系数的方程或方程组。
(3)、解方程(组)求出待定系数的值,从而写出函数解析式。
2、在设定解析式时,要注意不同类型的函数其待定系数的个数是不同的,因而所需要的独立条件的个数是不一样的。如正比例函数y=kx和反比例函数y=,分别只有一个未知的系数,因此只需要一个独立的已知条件来建立方程,一次函数y=kx b中有两个未知的系数,因此需要两个独立的已知条件来建立方程组,而二次函数的形式丰富多样,有一般式、顶点式,甚至有的还可以借助两根式来设定,在一般式中还有几种特殊式,因此要根据具体情况来设定。