论文部分内容阅读
[摘 要]模型思想是课程标准新增的核心概念。问题情境——建立模型——求解验证的数学活动过程体现了课程标准中模型思想的基本要求，让学生经历“数学化”和“再创造”的自我实践过程，感悟模型思想的本质。“例题建模”的重点在于“建模”，教师应从多个角度对例题进行教学设计，从而为“建模”教学找到事实原点、生成适宜环境和破解数学结构。
[关键词]小学数学 例题教学 数学建模 思维
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）29-061
课堂教学是一种师生的互动过程，是学生走向自主探索、合作交流和实践创新的发展过程。在这个过程中，教师由单纯的知识传递者转变为学生数学学习的组织者、引导者和合作者，学生从单纯的知识接受者转变为数学学习的主人。模型思想的重点在于模型构建，课本例题只是教材提供的问题材料，犹如瓦匠盖房子一样，是由一块砖、一抹泥、一标尺、一踱步摸索出来的，倾注实践者一思维、一行动的全部经历，是自身智慧劳动的成果，从初始的构思到活动的过程再到成功的创作都是自己的亲身经历，日后运用起来才能得心应手。
一、例题盘活，还原数学起点
苏教版数学课本教学材料虽趋于灵活，但与“鲜活”还有一定距离，究其原因，主客观的因素都有。主观因素在于，从编者编写到教者教学已有一段时间跨度，这期间，时、空、物都发生了变化，编者无法左右。客观因素在于，教材施用的范围较广，做不到因地制宜、因人而异。其实，教材上的东西只是平面的、静态的材料，真的要活跃纸上，由“死”变“活”，还需要教师的艺术加工。
1.多媒体课件还原真实
现代教育技术为教学活动提供了很大的便利，甚至以往无法实现、仅凭想象的空间变化图形，通过多媒体课件制作，能逼真清晰地演示变化过程，给学生“运动”的数学思维。
例如，在教学“平面图形的链接、转化以及长方形、平行四边形、三角形、梯形面积之间的关系演变”“图形密铺的奥秘揭示”“立体图形、球体、渠道的剖面图”“平行四边形有无数条高”“角度的大小变化”“行程类应用题的相遇与追击的路线变化”“展示数学文化史”时，这些知识点在现实生活中很难再现，画平面图相对繁琐且立体感不强，想象的东西学生又不好捉摸，最关键的是难以给学生运动变化的视觉。而通过多媒体课件能给学生“鲜活”的演绎、归纳，得出抽象的定义、定理、定律。
2.简单教具直观现象
视觉给人的是运动的路线，触觉给人的是差异的感受。教学方法没有好坏之分，教具学具也没有优劣之分，主要看学生是否能深入其中，把知识和实验联系起来理解。
例如，在教学“角的顶点”时，可以让学生摸摸桌角、书角，感受角是尖尖的；在教学“正方体的6个面、8个顶点、12条棱”时，不妨给每个学生发一个小正方体，让他们自己去找、去摸、去数，特别是分析透视图形、平面展开图形时，更需要利用小方木的叠加观察和拼接图形的模型图展开演示；在教学“数位以及进位加、退位减”时，计算器是最直观的教具；在教学“建立圆周率公式的模型”时，圆形360度平均拆、拼成近似长方形或平行四边形是最好的方法；在教学“1～10数字”时，数小棒是简易而不简单的教学方法，不仅得出数字，还得出这个数字在序列中的位置，是动手、动嘴、动眼、动脑的最好教具。
例题被盘活了，其实就是还原数学原点，是合情推理，是在运动中建立数学模型，是最自然的定理、定律。
二、例题改造，生成适宜场景
数学本身具有抽象性，它是对事物、现象的高度概括、提炼，抽象出可供实践的步骤、方法。可观的、可摸的、有形的事实是不多的，数学教材中的资料，更多的是粗线条的、提示性的数字信息和问题，一般独立存在，很难深层展现相互间的联系，学生要透彻理解还是比较困难的，数学模型建构又谈何容易？因此，教师要对比较抽象的问题适当进行改造，给原本的例题辅以情境，使其具有现实性、趣味性或挑战性。
1.数学生活化，增强现实性
生活是数学的原型，知识模型的获得离不开生活。倘若将例题转变成生活情景，不仅可以激发学生参与的热情，还能发挥学生的创新意识和创造能力。
【课堂实录】比较数的大小
师：课间老师看到很多同学在跳绳，这节课，老师想找两个同学比一比，看半分钟内谁跳得最多。（请一个同学上来）老师计时，大家一起数（42个），板书：42。再请一个同学（36个），板书：36。一个同学跳了42个，另一个同学跳了36个，他俩谁跳得多？（42个多）。为什么呢？
生：因为42比36大。
师：对，比较他们两人谁跳得多，其实就是比较42和36的大小。
从学生的课间活动——跳绳来引出两个需要比较的数字，既自然又贴近学生的生活，能让学生积极参与到课堂教学中来。而教材中设计的让小松鼠和小兔拾贝壳的例题，脱离学生的生活，不现实。
2.激发好奇心，增强趣味性
在教学苏教版小学数学二年级“统计”时，教材中设计了动物运动会的情境，根据动物和参赛项目的不同来进行分类统计。但是这种有关动物的主题图在一年级时已经用过，图片上的动物种类也显得单调，学生很难提起兴趣，又何谈去探索“模型”呢？
【课堂实录】两位数加两位数（进位加）
教师先给学生复习百以内的加法，如：27 41=？接着出示教材中的例题：56 18=？并结合生活实际设计了学生喜欢的玩具图片展示在黑板上：小汽车18元，飞机56元，手枪5元，狗熊34元，洋娃娃25元。教师让学生提出加法问题，并尝试计算，再请学生对列出的算式进行分类，抽取其中一例进位加法算式展开讨论，思考用哪种算法最简便。将学习内容趣味化，不但激发了学生的学习兴趣，还调动了学生的积极性和主动性，两位数加两位数（进位加）模型很快得到建构。 3.预设层次感，增强挑战性
挑战可以激发人的思维发展，促进人对问题的深入思考，从中获得成功的快感。在教学中，教师在课堂上也会提出许多问题，这些问题之间环环相扣，学生一步一步跟着走下来，答案就在眼前。因为知识模型是由教师建立或是由教师牵着学生建立的，所以学生普遍缺乏思考能力。
学生的发展在一定程度上取决于他是否具有思考的能力。数学学科的特殊价值就在于培养学生数学的思考能力和运用数学解决问题的能力。如“这节课我们要来研究成反比例的量。你认为成反比例的量会有怎样的变化特点？”“你能把这两个例子中反比例的例子找出来吗？”这些问题的提出就具有一定的挑战性，需要学生去深入思考、实际操作。
挑战性问题的实质在于激起学生强烈的思维活动，通过思维活动促进外部知识与内部认知结构之间产生实质性的互动，从而促进认知结构、认知能力不断发展。教师只有巧妙地设计挑战，才能更有效地组织学生进行探究。在探究过程中，外显的是学生的积极参与、主动探究、动态生成，内隐的是学生思维的不断深刻发展和知识模型的建立。
例题改造了，也就是给问题找到适合的生存环境，使学生易于接受、乐于接受，并把问题引向深入，提高思考能力，形成属于自己的数学模型。
三、例题迁移，破解数学结构
课程标准要求“不同的学生学有不同的数学”。数学教科书中提供的是普适材料，也是原材料，虽然经过外环境的优化能让大部分学生易于接受，但要让潜能生吃饱、优等生吃好，还需要对例题的本质做适当改变，细化、整合内部结构。即通过“分解”“解剖”“拷贝”，给予不同学生不同的口味，享有不同的营养，殊途同归，最终形成属于自己的数学模型。
【例证分析】建立“两步计算解决实际问题”的数学模型
1.“分解”，平面划分模型
老猴说：“我采了3筐桃子，每筐12个。”小猴说：“我采了6个。”问：两只猴子一共采了多少个桃子？
这是“两步列式，两步计算”的模型。它是一步列式计算到三步列式计算的过渡，是以一步为基础、以三步为目标，同时也是分步列式计算的起始。因此，这个模型既是基础的关键，也是过渡的关键。
教学时，平面“分解”既可以解决关键，又可以照顾到潜能生。首先，分解问题：①老猴采了多少个桃子？小猴呢？②老猴和小猴一共采了多少个桃子？其次，分步解答：①老猴：12×3=36（个）。②小猴：6（个）。再次，解决问题：老猴 小猴=36 6=42（个）。最后，写出答案：两只猴子一共采了42个桃子。
因为这些问题的分解、分步的解答都是学生独立完成的，所以在学生的头脑中清晰地留下模型的阶级结构。为了加深对“线性模型”的把握，也为以后“三步计算解决实际问题”的学习做好铺垫，还可以向后延伸：如果小猴采了2筐呢？逐步提高学生的思维深度。
2.“解剖”，立体切割模型
对于一种模型，线性的属直线思维，因为前、后有内在联系，一般教师稍加引导，学生就能顺着方向思考。但其本身就带有启发性，容易形成惯性思维。要想克服惯性，培养变异思维，就要将问题向左、右打开，形成本质相同，形式多样的并列模型，经过反复比较，加深理解，巩固模型结构，实现灵活应用。
●第一题例题。老猴说：“我采了3筐桃子，每筐12个。”小猴说：“我采了6个。”问：两只猴子一共采了多少个桃子？
解：12×3=36（个），36 6=42（个）。
●第二题练习。小明、小华一共要浇4行树苗，每行14棵。小华已经浇了38棵。还有多少棵没有浇？
解：14×4=56（棵），56-38=18（棵）。
●第三题拓展。大白兔已经拔了2篮萝卜，每篮16个。小白兔先拔了10个，休息一会儿后又拔了9个。问：①两只兔子一共拔了多少个？②小白兔比大白兔少拔了多少个？
解：2×16=32（个），10 9=19（个），32 19=51（个）；
2×16=32（个），10 9=19（个），32-19=13（个）。
教师将题目并列展开，比较归纳，学生逐步形成“两步”概念，拓展了思维宽度。
建立数学模型，是一个把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。建模思想的有效应用，能够使学生的创新思维能力、合作交流能力和实践探究能力得到有效的培养，学会以数学的理论和方法去分析和解决问题。
（责编 李琪琦）
[关键词]小学数学 例题教学 数学建模 思维
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）29-061
课堂教学是一种师生的互动过程，是学生走向自主探索、合作交流和实践创新的发展过程。在这个过程中，教师由单纯的知识传递者转变为学生数学学习的组织者、引导者和合作者，学生从单纯的知识接受者转变为数学学习的主人。模型思想的重点在于模型构建，课本例题只是教材提供的问题材料，犹如瓦匠盖房子一样，是由一块砖、一抹泥、一标尺、一踱步摸索出来的，倾注实践者一思维、一行动的全部经历，是自身智慧劳动的成果，从初始的构思到活动的过程再到成功的创作都是自己的亲身经历，日后运用起来才能得心应手。
一、例题盘活，还原数学起点
苏教版数学课本教学材料虽趋于灵活，但与“鲜活”还有一定距离，究其原因，主客观的因素都有。主观因素在于，从编者编写到教者教学已有一段时间跨度，这期间，时、空、物都发生了变化，编者无法左右。客观因素在于，教材施用的范围较广，做不到因地制宜、因人而异。其实，教材上的东西只是平面的、静态的材料，真的要活跃纸上，由“死”变“活”，还需要教师的艺术加工。
1.多媒体课件还原真实
现代教育技术为教学活动提供了很大的便利，甚至以往无法实现、仅凭想象的空间变化图形，通过多媒体课件制作，能逼真清晰地演示变化过程，给学生“运动”的数学思维。
例如，在教学“平面图形的链接、转化以及长方形、平行四边形、三角形、梯形面积之间的关系演变”“图形密铺的奥秘揭示”“立体图形、球体、渠道的剖面图”“平行四边形有无数条高”“角度的大小变化”“行程类应用题的相遇与追击的路线变化”“展示数学文化史”时，这些知识点在现实生活中很难再现，画平面图相对繁琐且立体感不强，想象的东西学生又不好捉摸，最关键的是难以给学生运动变化的视觉。而通过多媒体课件能给学生“鲜活”的演绎、归纳，得出抽象的定义、定理、定律。
2.简单教具直观现象
视觉给人的是运动的路线，触觉给人的是差异的感受。教学方法没有好坏之分，教具学具也没有优劣之分，主要看学生是否能深入其中，把知识和实验联系起来理解。
例如，在教学“角的顶点”时，可以让学生摸摸桌角、书角，感受角是尖尖的；在教学“正方体的6个面、8个顶点、12条棱”时，不妨给每个学生发一个小正方体，让他们自己去找、去摸、去数，特别是分析透视图形、平面展开图形时，更需要利用小方木的叠加观察和拼接图形的模型图展开演示；在教学“数位以及进位加、退位减”时，计算器是最直观的教具；在教学“建立圆周率公式的模型”时，圆形360度平均拆、拼成近似长方形或平行四边形是最好的方法；在教学“1～10数字”时，数小棒是简易而不简单的教学方法，不仅得出数字，还得出这个数字在序列中的位置，是动手、动嘴、动眼、动脑的最好教具。
例题被盘活了，其实就是还原数学原点，是合情推理，是在运动中建立数学模型，是最自然的定理、定律。
二、例题改造，生成适宜场景
数学本身具有抽象性，它是对事物、现象的高度概括、提炼，抽象出可供实践的步骤、方法。可观的、可摸的、有形的事实是不多的，数学教材中的资料，更多的是粗线条的、提示性的数字信息和问题，一般独立存在，很难深层展现相互间的联系，学生要透彻理解还是比较困难的，数学模型建构又谈何容易？因此，教师要对比较抽象的问题适当进行改造，给原本的例题辅以情境，使其具有现实性、趣味性或挑战性。
1.数学生活化，增强现实性
生活是数学的原型，知识模型的获得离不开生活。倘若将例题转变成生活情景，不仅可以激发学生参与的热情，还能发挥学生的创新意识和创造能力。
【课堂实录】比较数的大小
师：课间老师看到很多同学在跳绳，这节课，老师想找两个同学比一比，看半分钟内谁跳得最多。（请一个同学上来）老师计时，大家一起数（42个），板书：42。再请一个同学（36个），板书：36。一个同学跳了42个，另一个同学跳了36个，他俩谁跳得多？（42个多）。为什么呢？
生：因为42比36大。
师：对，比较他们两人谁跳得多，其实就是比较42和36的大小。
从学生的课间活动——跳绳来引出两个需要比较的数字，既自然又贴近学生的生活，能让学生积极参与到课堂教学中来。而教材中设计的让小松鼠和小兔拾贝壳的例题，脱离学生的生活，不现实。
2.激发好奇心，增强趣味性
在教学苏教版小学数学二年级“统计”时，教材中设计了动物运动会的情境，根据动物和参赛项目的不同来进行分类统计。但是这种有关动物的主题图在一年级时已经用过，图片上的动物种类也显得单调，学生很难提起兴趣，又何谈去探索“模型”呢？
【课堂实录】两位数加两位数（进位加）
教师先给学生复习百以内的加法，如：27 41=？接着出示教材中的例题：56 18=？并结合生活实际设计了学生喜欢的玩具图片展示在黑板上：小汽车18元，飞机56元，手枪5元，狗熊34元，洋娃娃25元。教师让学生提出加法问题，并尝试计算，再请学生对列出的算式进行分类，抽取其中一例进位加法算式展开讨论，思考用哪种算法最简便。将学习内容趣味化，不但激发了学生的学习兴趣，还调动了学生的积极性和主动性，两位数加两位数（进位加）模型很快得到建构。 3.预设层次感，增强挑战性
挑战可以激发人的思维发展，促进人对问题的深入思考，从中获得成功的快感。在教学中，教师在课堂上也会提出许多问题，这些问题之间环环相扣，学生一步一步跟着走下来，答案就在眼前。因为知识模型是由教师建立或是由教师牵着学生建立的，所以学生普遍缺乏思考能力。
学生的发展在一定程度上取决于他是否具有思考的能力。数学学科的特殊价值就在于培养学生数学的思考能力和运用数学解决问题的能力。如“这节课我们要来研究成反比例的量。你认为成反比例的量会有怎样的变化特点？”“你能把这两个例子中反比例的例子找出来吗？”这些问题的提出就具有一定的挑战性，需要学生去深入思考、实际操作。
挑战性问题的实质在于激起学生强烈的思维活动，通过思维活动促进外部知识与内部认知结构之间产生实质性的互动，从而促进认知结构、认知能力不断发展。教师只有巧妙地设计挑战，才能更有效地组织学生进行探究。在探究过程中，外显的是学生的积极参与、主动探究、动态生成，内隐的是学生思维的不断深刻发展和知识模型的建立。
例题改造了，也就是给问题找到适合的生存环境，使学生易于接受、乐于接受，并把问题引向深入，提高思考能力，形成属于自己的数学模型。
三、例题迁移，破解数学结构
课程标准要求“不同的学生学有不同的数学”。数学教科书中提供的是普适材料，也是原材料，虽然经过外环境的优化能让大部分学生易于接受，但要让潜能生吃饱、优等生吃好，还需要对例题的本质做适当改变，细化、整合内部结构。即通过“分解”“解剖”“拷贝”，给予不同学生不同的口味，享有不同的营养，殊途同归，最终形成属于自己的数学模型。
【例证分析】建立“两步计算解决实际问题”的数学模型
1.“分解”，平面划分模型
老猴说：“我采了3筐桃子，每筐12个。”小猴说：“我采了6个。”问：两只猴子一共采了多少个桃子？
这是“两步列式，两步计算”的模型。它是一步列式计算到三步列式计算的过渡，是以一步为基础、以三步为目标，同时也是分步列式计算的起始。因此，这个模型既是基础的关键，也是过渡的关键。
教学时，平面“分解”既可以解决关键，又可以照顾到潜能生。首先，分解问题：①老猴采了多少个桃子？小猴呢？②老猴和小猴一共采了多少个桃子？其次，分步解答：①老猴：12×3=36（个）。②小猴：6（个）。再次，解决问题：老猴 小猴=36 6=42（个）。最后，写出答案：两只猴子一共采了42个桃子。
因为这些问题的分解、分步的解答都是学生独立完成的，所以在学生的头脑中清晰地留下模型的阶级结构。为了加深对“线性模型”的把握，也为以后“三步计算解决实际问题”的学习做好铺垫，还可以向后延伸：如果小猴采了2筐呢？逐步提高学生的思维深度。
2.“解剖”，立体切割模型
对于一种模型，线性的属直线思维，因为前、后有内在联系，一般教师稍加引导，学生就能顺着方向思考。但其本身就带有启发性，容易形成惯性思维。要想克服惯性，培养变异思维，就要将问题向左、右打开，形成本质相同，形式多样的并列模型，经过反复比较，加深理解，巩固模型结构，实现灵活应用。
●第一题例题。老猴说：“我采了3筐桃子，每筐12个。”小猴说：“我采了6个。”问：两只猴子一共采了多少个桃子？
解：12×3=36（个），36 6=42（个）。
●第二题练习。小明、小华一共要浇4行树苗，每行14棵。小华已经浇了38棵。还有多少棵没有浇？
解：14×4=56（棵），56-38=18（棵）。
●第三题拓展。大白兔已经拔了2篮萝卜，每篮16个。小白兔先拔了10个，休息一会儿后又拔了9个。问：①两只兔子一共拔了多少个？②小白兔比大白兔少拔了多少个？
解：2×16=32（个），10 9=19（个），32 19=51（个）；
2×16=32（个），10 9=19（个），32-19=13（个）。
教师将题目并列展开，比较归纳，学生逐步形成“两步”概念，拓展了思维宽度。
建立数学模型，是一个把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。建模思想的有效应用，能够使学生的创新思维能力、合作交流能力和实践探究能力得到有效的培养，学会以数学的理论和方法去分析和解决问题。
（责编 李琪琦）