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在课题报告中,几次明确提出问题解决?模拟化和应用必须成为从中学到大学的所有数学课程的一部份。这样,在美国和国际数学教育会议的推动下,问题解决受到了世界各国数学界普遍重视,不仅成为国际数学教育界研究的重要课题,而且是继「新数运动」和「回到基础」之后兴起的80年代和90年代国际数学教育发展的潮流。
一、对「问题」的理解
对「问题」的理解与关于甚么是「问题解决」的分析直接相关,讨论和研究「问题解决」的一个主要困难就在于对甚么是真正的「问题」缺少明晰的一致意见。
当代美国著名数学家哈尔莫斯(P.R.Halmos)曾说:「问题是数学的心脏。」美籍匈牙利著名数学教育家波利亚(G.Polya)在《数学的发现》一书中曾给出问题明确含义,并从数学角度对问题作了分类。他指出,所谓「问题」就是意味着要去寻找适当的行动,以达到一个可见而不立即可及的目标。《牛顿大词典》对「问题」的解释是:指那些并非可以立即求解或较困难的问题 (question),那种需要探索、思考和讨论的问题,那种需要积极思维活动的问题。
在1988年的第六屇国际数学教育大会上,「问题解决、模型化及应用」课题组提交的课题报告中,对「问题」给出了更为明确而富有启发意义的界定,指出一个问题是对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的待解问题情境。该课题组主席奈斯 (M.Niss) 还进一步把「数学问题解决」中的「问题」具体分为两类:一类是非常规的数学问题;另一类是数学应用问题。这种界定现已经逐渐为人们所接受。
我国的张奠宙、刘鸿坤教授在他们的《数学教育学》里的 "数学教育中的问题解决"中,对甚么是问题及问题与习题的区别作了很好的探讨,根据他们的思想观点,我们可对「问题」作以下几个方面的理解和认识。
二、一个好问题的「标准」
以问题解决作为数学教育的中心事实上集中体现了数学观和数学思想的重要变化,也即意味着数学教育的一个根本性的变革,正是在这样的意义上,著名数学教育家伦伯格指出:解决非单纯练习题式的问题正是美国数学教育改革的一个中心论题。那么,从数学教育的角度看,究竟甚么是一个 "好"的问题,它的标准该是甚么?一般来说,一个好问题标准应体现在以下三个方面:
其一、 一个好问题应该具有较强的探究性。这就是说,好问题能启迪思维,激发和调动探究意识,展现思维过程。如同波利亚所指出的「我们这里所指的问题,不仅是寻常的,它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神」。这里的「探究性(或创造精神)」的要求应当是与学生实际水平相适应的,既然我们的数学教育是面向大多数学生的。 其二、 一个好问题,应该具有一定的启发性和可发展空间。一个好问题的启发性不仅指问题的解答中包含着重要的数学原理,对于这些问题或者能启发学生寻找应该能够识别的模式,或者通过基本技巧的某种运用很快地得到解决。同时,「问题解决」还能够促进学生对于数学基本知识和技能的掌握,有利于学生掌握有关的数学知识和思想方法,这就与所谓的「偏题」、「怪题」划清了界线。一个好问题的可发展空间是说问题并不一定在找到解答时就会结束,所寻求的解答可能暗示着对原问题的各部份作种种变化,由此可以引出新的问题和进一步的结论。问题的发展性可以把问题延伸、拓广、扩充到一般情形或其他特殊情形,它将给学生一个充分自由思考、充分展现自己思维的空间。其三、 一个好问题应该具有一定的「开放性」。好问题的「开放性」,首先表现在问题来源的「开放」。问题应具有一定的现实意义,与现实社会、生活实际有着直接关系,这种对社会、生活的「开放」,能够使学生体现出数学的价值和开展「问题解决」的意义。
三、数学问题解决的心理分析
(一)从学习心理学看「问题解决」。从学习心理学角度来看,问题解决一般理解为一种认知操作过程或心理活动过程。所谓「问题解决」指的是一系列有目的指向认知操作过程,是以思考为内涵、以问题为目标定向的心理活动过程。具体来说,问题解决是指人们面临新的问题情境、新课题,发现它与主客观需要的矛盾而自己缺少现成对策时,所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动过程。问题解决是一种带有创造性的高级心理活动,其核心是思考与探索。认知心理学家认为,问题解决有两种基本类型:一是需要产生新的程序的问题解决,属于创造性问题解决;一是运用已知或现成程序的问题解决,是常规性问题解决。数学中的问题解决一般属于创造性问题解决,不仅需要构建适当的程序达到问题的目标,而且更侧重于探索达到目标的过程。
(二)数学问题解决心理过程。现代学习心理学探究表明,问题分为三种状态,即初始状态、中间状态和目的状态。问题解决就是从问题的初始状态开始,寻求适当的途径和方法达到目的状态的过程。因此,问题解决实质上是运用已有的知识经验,通过思考探索新情境中问题结果和达到问题的目的状态的过程。
以数学对象和数学课题为研究客体的问题解决叫做数学问题解决。一般来说,数学问题解决是在一定的问题情境中开始。所谓问题情境,是指问题的刺激模式,即问题是以甚么样的形态、方式组成和出现的,其内涵包括三个方面:第一、个体试图达到某一目标;第二、个体与目标之间存在一定的距离,它将引起学生内部的认知矛盾冲突;第三、能激起个体积极心理状态,即产生思考、探索和达到目标的心向,从而刺激学生积极主动的思维活动。因此,数学问题解决是从问题情境开始,运用已有的知识经验,克服认知矛盾冲突,积极主动地寻求和达到问题结果的过程。著名数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中指出:「数学问题解决过程必须经过下列四个步骤,即理解问题、明确任务;拟定求解计划;实现求解计划;检验和回顾。」根据上述分析,数学问题解决过程可用框图示如下: 以上关于问题解决的过程讨论,数学问题解决在一定的问题情境中开始,要求教师根据问题的性质、学生的认识规律和学生所学知识的内部联系,创造一种教学中问题情境,以引起学生内部的认知矛盾冲突,激发起学生积极、主动的思维活动,再经过教师启发和帮助,通过学生主动地分析、探索并提出解决问题方法、检验这种方法等思维活动,从而达到掌握知识、发展能力的教学目的。
参考文献:
[1]张奠宙等:《教学教育学》,江西教育出版社,1991年
[2]李铭心.数学教育学,青岛海洋大学出版社,1994年
一、对「问题」的理解
对「问题」的理解与关于甚么是「问题解决」的分析直接相关,讨论和研究「问题解决」的一个主要困难就在于对甚么是真正的「问题」缺少明晰的一致意见。
当代美国著名数学家哈尔莫斯(P.R.Halmos)曾说:「问题是数学的心脏。」美籍匈牙利著名数学教育家波利亚(G.Polya)在《数学的发现》一书中曾给出问题明确含义,并从数学角度对问题作了分类。他指出,所谓「问题」就是意味着要去寻找适当的行动,以达到一个可见而不立即可及的目标。《牛顿大词典》对「问题」的解释是:指那些并非可以立即求解或较困难的问题 (question),那种需要探索、思考和讨论的问题,那种需要积极思维活动的问题。
在1988年的第六屇国际数学教育大会上,「问题解决、模型化及应用」课题组提交的课题报告中,对「问题」给出了更为明确而富有启发意义的界定,指出一个问题是对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的待解问题情境。该课题组主席奈斯 (M.Niss) 还进一步把「数学问题解决」中的「问题」具体分为两类:一类是非常规的数学问题;另一类是数学应用问题。这种界定现已经逐渐为人们所接受。
我国的张奠宙、刘鸿坤教授在他们的《数学教育学》里的 "数学教育中的问题解决"中,对甚么是问题及问题与习题的区别作了很好的探讨,根据他们的思想观点,我们可对「问题」作以下几个方面的理解和认识。
二、一个好问题的「标准」
以问题解决作为数学教育的中心事实上集中体现了数学观和数学思想的重要变化,也即意味着数学教育的一个根本性的变革,正是在这样的意义上,著名数学教育家伦伯格指出:解决非单纯练习题式的问题正是美国数学教育改革的一个中心论题。那么,从数学教育的角度看,究竟甚么是一个 "好"的问题,它的标准该是甚么?一般来说,一个好问题标准应体现在以下三个方面:
其一、 一个好问题应该具有较强的探究性。这就是说,好问题能启迪思维,激发和调动探究意识,展现思维过程。如同波利亚所指出的「我们这里所指的问题,不仅是寻常的,它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神」。这里的「探究性(或创造精神)」的要求应当是与学生实际水平相适应的,既然我们的数学教育是面向大多数学生的。 其二、 一个好问题,应该具有一定的启发性和可发展空间。一个好问题的启发性不仅指问题的解答中包含着重要的数学原理,对于这些问题或者能启发学生寻找应该能够识别的模式,或者通过基本技巧的某种运用很快地得到解决。同时,「问题解决」还能够促进学生对于数学基本知识和技能的掌握,有利于学生掌握有关的数学知识和思想方法,这就与所谓的「偏题」、「怪题」划清了界线。一个好问题的可发展空间是说问题并不一定在找到解答时就会结束,所寻求的解答可能暗示着对原问题的各部份作种种变化,由此可以引出新的问题和进一步的结论。问题的发展性可以把问题延伸、拓广、扩充到一般情形或其他特殊情形,它将给学生一个充分自由思考、充分展现自己思维的空间。其三、 一个好问题应该具有一定的「开放性」。好问题的「开放性」,首先表现在问题来源的「开放」。问题应具有一定的现实意义,与现实社会、生活实际有着直接关系,这种对社会、生活的「开放」,能够使学生体现出数学的价值和开展「问题解决」的意义。
三、数学问题解决的心理分析
(一)从学习心理学看「问题解决」。从学习心理学角度来看,问题解决一般理解为一种认知操作过程或心理活动过程。所谓「问题解决」指的是一系列有目的指向认知操作过程,是以思考为内涵、以问题为目标定向的心理活动过程。具体来说,问题解决是指人们面临新的问题情境、新课题,发现它与主客观需要的矛盾而自己缺少现成对策时,所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动过程。问题解决是一种带有创造性的高级心理活动,其核心是思考与探索。认知心理学家认为,问题解决有两种基本类型:一是需要产生新的程序的问题解决,属于创造性问题解决;一是运用已知或现成程序的问题解决,是常规性问题解决。数学中的问题解决一般属于创造性问题解决,不仅需要构建适当的程序达到问题的目标,而且更侧重于探索达到目标的过程。
(二)数学问题解决心理过程。现代学习心理学探究表明,问题分为三种状态,即初始状态、中间状态和目的状态。问题解决就是从问题的初始状态开始,寻求适当的途径和方法达到目的状态的过程。因此,问题解决实质上是运用已有的知识经验,通过思考探索新情境中问题结果和达到问题的目的状态的过程。
以数学对象和数学课题为研究客体的问题解决叫做数学问题解决。一般来说,数学问题解决是在一定的问题情境中开始。所谓问题情境,是指问题的刺激模式,即问题是以甚么样的形态、方式组成和出现的,其内涵包括三个方面:第一、个体试图达到某一目标;第二、个体与目标之间存在一定的距离,它将引起学生内部的认知矛盾冲突;第三、能激起个体积极心理状态,即产生思考、探索和达到目标的心向,从而刺激学生积极主动的思维活动。因此,数学问题解决是从问题情境开始,运用已有的知识经验,克服认知矛盾冲突,积极主动地寻求和达到问题结果的过程。著名数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中指出:「数学问题解决过程必须经过下列四个步骤,即理解问题、明确任务;拟定求解计划;实现求解计划;检验和回顾。」根据上述分析,数学问题解决过程可用框图示如下: 以上关于问题解决的过程讨论,数学问题解决在一定的问题情境中开始,要求教师根据问题的性质、学生的认识规律和学生所学知识的内部联系,创造一种教学中问题情境,以引起学生内部的认知矛盾冲突,激发起学生积极、主动的思维活动,再经过教师启发和帮助,通过学生主动地分析、探索并提出解决问题方法、检验这种方法等思维活动,从而达到掌握知识、发展能力的教学目的。
参考文献:
[1]张奠宙等:《教学教育学》,江西教育出版社,1991年
[2]李铭心.数学教育学,青岛海洋大学出版社,1994年