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【摘 要】有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实验、自主探究是学生学习数学的重要方式。本文通过对“实验型”预学作业的“实验内容”选择、“实验型”预学作业的“实验类型”的设计及“实验型”预学作业的 “课堂使用” 三方面的研究，使“实验型”预学作业成为预学作业的重要内容之一，学生通过课前实验探究，让学生的实践能力和创新能力得到加强、自学能力得到提升、整体素质得到提高，从而达到全面提高学生数学核心素养的目的。
【关键词】初中数学；预学作业；实验类型
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】1671-8437（2018）10-0116-03
1 问题的提出
大数学家欧拉说：数学这门科学需要观察，也需要实验。著名数学家G.波利亚也指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学”。 在平时教学中既要重视数学内容形式化、抽象化，又要重视数学发现、数学创造过程中具体化、经验化的一面，在初中阶段，而后者显得更为重要[1]。
2 有关理论界定
2.1 课前预学作业
它是教师编制用于引导学生自主学习、自主探究的学习方案。预学任务是教师精心指导学生进行自主学习、自主探究、自主创新的材料依据，是一种创造性劳动。
2.2 数学实验
就是指为获得某种数学理论，检验某个数学猜想，解决某类问题，根据学生认知结构及数学思想发展的脉络，创造问题情境，充分利用实践手段，在教学思维活动的参与下引导学生从直观现象到发现、猜测、归纳，引导学生通过操作，主动、积极、批判地思考，然后给出验证与理论证明的一种数学探索活动[2]。这是一种思维实验和操作实验相结合的实验。
2.3 “实验型” 预学作业设计和使用的基本操作流程
3 “实验型”预习作业设计的实践研究
3.1 “实验型”预学作业的“实验内容”选择和设计
要使任务起到应有的激发作用，就應做到内容简单可操作，形式类型多样化，并能不断激发学生的学习兴趣，提高他们探究问题、分析问题、解决问题的能力，所以我选择以下内容：
3.1.1 简易实验器材加入预学，激发学生兴趣
实验是吸引学生注意力，然后产生联想、概括和抽象的最好方法。在初中阶段有很多这样的内容可以利用让学生自然实验器材辅助学生预学。
案例1：七年级 “等式性质”和八年级上“不等式性质”探究时，教材安排了利用天平探求等式性质的实验；设计预学作业，利用天平探求等式性质。
预学案：
【预习】使用天平，左右托盘放上A物体和B物体，使天平保持平衡。
1.实验一：同时在两边托盘放上C物体，你发现了什么？如果开始状态记为a=b，那么，此结论记为 。
2.实验二：左边的托盘再放3个A物体，右边的托盘再放3个B物体，观察天平，你又发现什么？
在等式性质铺垫下，不等式的性质探究，同样可以借助天平进行实验。这些简单实验器材，不仅提高学生的有意注意力，更重要的是让学生较生动、具体地体验等式性质的“来历”。像这样的案例还有很多，比如常见实验器材如计算器，我们常常可以使用计算器找寻计算规律。又如在七年级一元一次方程解决生活实际问题的例4的等积变形问题。可以让学生带自制的长方体盒子和量筒（或烧杯）等用水灌装，这样边玩边学习，尽管是教材的难点，学生也会从直观形象中理解了各类应用题中基本的数量关系，弄清了各个量在不同过程中的变化。而且感觉到了数学应用的真实性，理解数学反过来指导我们的生活实践，体会到数学是一个现代人的必备素质。
3.1.2 制作数学实物模型，分解课堂难点
教师讲，学生听，学生接受15%。如果既看又听，效果不止是两者的代数和，而是65%，若不仅用耳听，用眼看，而且动手做，特别是多动脑筋，收获更好。让学生制作数学模型，是培养了学生的动手操作能力，而且在做前的准备工作上，仔细地学习，仔细地观察，仔细地琢磨，甚至测量和计算，使在制作中体会到了其中内在的规律性。
案例2： 如七年级学生接触数轴的概念时，数轴是一个数形结合的模型，是一个很抽象的概念。为了解决这一难点，便于学生理解，教师可以设计如下预学案让学生提前做数学模型。
预学案：
1.观察温度计
①温度计是否有刻度（包括零刻度线）？
②刻度是否均匀？
③刻度标法顺序是怎样的？
④在相邻的两条刻度线之间能否再刻上更小的刻度线？
⑤温度计上的刻度排列是否有方向性？
⑥这个温度计能否做得很长很长，刻度标得更多些？
2.你可否模仿温度计做一个和温度及有类似功能的模具？你想这个模具应具备怎样的条件？
像这种的模具制作还有很多比如：在学习圆柱、圆锥的表面积和侧面积展开图和扇形间的关系时时，概念众多，教师可布置让学生做出实物模型；还有比如求立方体不同面上两点之间的最短路线。又比如学习SSS，SAS，ASA这些基本事实时可以让学生回家制作模具，比如SSS时让同学们回家取三根长度分别是5厘米，6厘米，7厘米的小棒搭成三角形，找一个你喜欢的尺寸搭一个三角形，（学生在实验室就会去思考喜欢的尺寸是不是什么样的都可以，是否要满足一定的条件，条件就是较短两边的和大于最长边），学生带好自己模具的在课堂上交流。通过制作模型，学会了其中的测量，画图，计算，进一步理解了公式的来历及它们之间的内在联系。数学同样回到了实际应用中去。 制作学具也是数学实验教学的一部分，身体多器官的同时活动，开发了学生的智力，培养了学生的能力，让数学真正的看得见，摸得着，有切肤之感，才有心灵之通，促进了学生数学思维的发展[3]。 3.1.3 自行设计实验方案，前置课堂活动
由于活动器材、学生水平差异等因素，许多教材中活动仅局限于教师演示或者PPT投影，而无法让学生全员参与体验。在这种情况下可积极利用现有资源，设计课堂活动的替换活动，使实验探究前置到课前预学中，让学生在课前充分体验。课中教师只要再演示教材中的活动，结合课前活动，辅助教材活动，相得益彰，以此提升教学效率。
案例3：九年级用频率来估计概率时，前置预学作业。
预学案：
做掷硬币的游戏20次。
要求：（1）掷同一个硬币（2）记录数据（3）借助计算器，计算正面朝上的频率和反面朝上的频率，并填在下面表格上：
在统计与概率内容有很多这样的实验内容，还有我们的七年级和八年级的几何以实验几何为主。等腰三角形三线的轴对称性，圆的轴对称性、中心对称性、旋转不变性等内容的教学，都可以采用设计前置活动法.正如列夫·托尔斯泰所说：“知识，只有当它靠积极的思维得来，而不是凭记忆得来的时候，才是真正的知识。”
3.1.4 利用计算机网络，辅助模拟实验
计算机模拟实验教学是指借助于计算机的快速运算功能和图形处理能力，模擬再现问题情境，引导学生自主探索数学知识、检验数学结论（或假设）的数学活动。计算机多媒体技术能为教学活动提供并展示各种与教学内容相适应的情境，为抽象的数学思维提供了直观模型，为学生的学习和发展提供了丰富多彩的学习情境和有力的学习工具。
案例4：在研究中垂线性质和角平分线性质及反比例函数和二次函数图像性质时可以利用计算机《几何画板》画出函数图像，利用几何画板来探求中垂线上的点有怎样的性质，学生通过计算机辅助实验，直观形象看到比例系数k决定图像所在的象限，及通过图像看到图像的发展趋势。
学生自己动手实验、观察、比较、归纳，亲自经历数学知识的发现过程，使得图形的性质这一数学知识很自然地纳入到已有的知识结构中，改变了以讲授“现成结果”为特征的传统数学教学模式，体现了以教师为主导，学生为主体的教学原则。
3.2 “实验型”预学作业的“课堂使用”说明
3.2.1 良好课堂氛围，给“实验型”预学作业反馈提供保障
由于学生的基础不同、思维不同、努力负责程度不同，“实验型”预学作业所得到的实验结果也会不同，教师把预学作业设计合理到位，让实验可操作进行非常重要。同时班级中营造好宽松平等的学习氛围，给同学们发表自己的实验结果 ，交流自己的实验体会，创造良好的平台。
3.2.2 小组合作交流，让“实验型”预学作业开拓学生思维
在几何中有一些“实验型”为了更好地拓展学生思维，特别是几何的一题多解，教师根据具体情况在班级里组建由孩子组成的4人小组，组织学生在小组内进行预学作业的交流，再在课堂中派代表交流。
案例5：如浙教版九上第四章相似三角形有关知识时，请你用所学知识测量出学校旗杆的高度，要求画出示意图，简单说明测量原理；此例学生实验预学以后一个人只有一种方法，在小组合作交流以后各小组在纸上总结出了如下各种方法示意图：
方法1：利用阳光下的影子
说明：AB表示旗杆，CD表示竹竿，图3、4、5运用太阳光线互相平行，构造相似三角形，量得竹竿及其影子、旗杆的影子长度，由相似三角形的性质，通过线段成比例，计算得到旗杆AB的高度，并明确图3最易操作。
方法2：阴雨天时利用标杆
图6，注意的问题：观测者的眼睛C必须与标杆的顶端E和旗杆的顶端A“三点共线”；
需测量的数据：观测者的脚D到旗杆底部B的距离，B到标杆底部F的距离，EF的高，CD的高。作CG⊥AB于G，构造相似三角形。
图7，EF表示竖立放置于眼睛（O）前的直尺，根据相似三角形对应高线的比等于相似比，得到答案。或将人与旗杆拍摄在同一照片中，运用线段成比例计算。
方法3：利用镜子的反射
图8，H表示镜子，△ABH∽△CDH，则通过小组活动与实验，锻炼每一个学生的社会协作能力，养成良好的学习习惯，形成自信以及相互尊重的良好心理品质，有利于学生非智力因素的发展，有利于学生健康人格的形成。从而为创新能力的培养打下良好的心理基础[4]。
3.2.3 自主讨论交流，让“实验型”预学作业培养学生能力
自主交流，这也是开展数学实验预学作业反馈必不可少的环节，也是培养学生表达能力以及创新能力的重要环节。让学生积极主动地参与到数学实验活动反馈中去，对知识的掌握，思维能力的发展，学业成绩的提高以及学习兴趣、态度、意志品质都具有积极的意义。在学生积极参与全班的数学交流和讨论的过程中，通过发言、提问和总结等多种机会培养学生数学思维的条理性，鼓励学生把自己的数学思维活动进行整理，明确表达出来，这是培养学生逻辑思维能力和语言表达能力的一个重要途径。
4 实践的成效与思考
4.1 调动学生参与学习的热情
对照以往上课都是老师提问题，学生回答，现在通过实验预学作业，学生善于发现问题，勇于提出问题，并创造性地解决问题，各种新问题、新思路不断涌现，经常下课后还有许多学生紧追老师不放，问个不停，出乎意料的创造性想法常给老师予新的启迪，师与生、生与生之间合作性大大提高，真正实现教学相长。教师教得轻松，学生学得愉快。
4.2 培养学生的数学素养
“实验型”预学作业的设计，有效提高了学生学习数学的兴趣和自信心，学生的“潜创造力”得到开发，形成了科学的学习策略和方法，创新素质明显提高。学生在学习中能自主地探索新知识，善于一题多解，一题多变，举一反三，对开放性问题能突破思维定势，从不同角度进行大胆探索。
【参考文献】
[1]韦辉梁.数学实验的学习环境和教学方法，2005（01）.
[2]《义务教育数学课程标准》北京大学出版社，2011.
[3]魏玉华.《初中数学实验的理论探索与教学设计研究》，2014（01）.
[4]薛广忠.《中学课程辅导》，2017（09）.
【关键词】初中数学；预学作业；实验类型
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】1671-8437（2018）10-0116-03
1 问题的提出
大数学家欧拉说：数学这门科学需要观察，也需要实验。著名数学家G.波利亚也指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学”。 在平时教学中既要重视数学内容形式化、抽象化，又要重视数学发现、数学创造过程中具体化、经验化的一面，在初中阶段，而后者显得更为重要[1]。
2 有关理论界定
2.1 课前预学作业
它是教师编制用于引导学生自主学习、自主探究的学习方案。预学任务是教师精心指导学生进行自主学习、自主探究、自主创新的材料依据，是一种创造性劳动。
2.2 数学实验
就是指为获得某种数学理论，检验某个数学猜想，解决某类问题，根据学生认知结构及数学思想发展的脉络，创造问题情境，充分利用实践手段，在教学思维活动的参与下引导学生从直观现象到发现、猜测、归纳，引导学生通过操作，主动、积极、批判地思考，然后给出验证与理论证明的一种数学探索活动[2]。这是一种思维实验和操作实验相结合的实验。
2.3 “实验型” 预学作业设计和使用的基本操作流程
3 “实验型”预习作业设计的实践研究
3.1 “实验型”预学作业的“实验内容”选择和设计
要使任务起到应有的激发作用，就應做到内容简单可操作，形式类型多样化，并能不断激发学生的学习兴趣，提高他们探究问题、分析问题、解决问题的能力，所以我选择以下内容：
3.1.1 简易实验器材加入预学，激发学生兴趣
实验是吸引学生注意力，然后产生联想、概括和抽象的最好方法。在初中阶段有很多这样的内容可以利用让学生自然实验器材辅助学生预学。
案例1：七年级 “等式性质”和八年级上“不等式性质”探究时，教材安排了利用天平探求等式性质的实验；设计预学作业，利用天平探求等式性质。
预学案：
【预习】使用天平，左右托盘放上A物体和B物体，使天平保持平衡。
1.实验一：同时在两边托盘放上C物体，你发现了什么？如果开始状态记为a=b，那么，此结论记为 。
2.实验二：左边的托盘再放3个A物体，右边的托盘再放3个B物体，观察天平，你又发现什么？
在等式性质铺垫下，不等式的性质探究，同样可以借助天平进行实验。这些简单实验器材，不仅提高学生的有意注意力，更重要的是让学生较生动、具体地体验等式性质的“来历”。像这样的案例还有很多，比如常见实验器材如计算器，我们常常可以使用计算器找寻计算规律。又如在七年级一元一次方程解决生活实际问题的例4的等积变形问题。可以让学生带自制的长方体盒子和量筒（或烧杯）等用水灌装，这样边玩边学习，尽管是教材的难点，学生也会从直观形象中理解了各类应用题中基本的数量关系，弄清了各个量在不同过程中的变化。而且感觉到了数学应用的真实性，理解数学反过来指导我们的生活实践，体会到数学是一个现代人的必备素质。
3.1.2 制作数学实物模型，分解课堂难点
教师讲，学生听，学生接受15%。如果既看又听，效果不止是两者的代数和，而是65%，若不仅用耳听，用眼看，而且动手做，特别是多动脑筋，收获更好。让学生制作数学模型，是培养了学生的动手操作能力，而且在做前的准备工作上，仔细地学习，仔细地观察，仔细地琢磨，甚至测量和计算，使在制作中体会到了其中内在的规律性。
案例2： 如七年级学生接触数轴的概念时，数轴是一个数形结合的模型，是一个很抽象的概念。为了解决这一难点，便于学生理解，教师可以设计如下预学案让学生提前做数学模型。
预学案：
1.观察温度计
①温度计是否有刻度（包括零刻度线）？
②刻度是否均匀？
③刻度标法顺序是怎样的？
④在相邻的两条刻度线之间能否再刻上更小的刻度线？
⑤温度计上的刻度排列是否有方向性？
⑥这个温度计能否做得很长很长，刻度标得更多些？
2.你可否模仿温度计做一个和温度及有类似功能的模具？你想这个模具应具备怎样的条件？
像这种的模具制作还有很多比如：在学习圆柱、圆锥的表面积和侧面积展开图和扇形间的关系时时，概念众多，教师可布置让学生做出实物模型；还有比如求立方体不同面上两点之间的最短路线。又比如学习SSS，SAS，ASA这些基本事实时可以让学生回家制作模具，比如SSS时让同学们回家取三根长度分别是5厘米，6厘米，7厘米的小棒搭成三角形，找一个你喜欢的尺寸搭一个三角形，（学生在实验室就会去思考喜欢的尺寸是不是什么样的都可以，是否要满足一定的条件，条件就是较短两边的和大于最长边），学生带好自己模具的在课堂上交流。通过制作模型，学会了其中的测量，画图，计算，进一步理解了公式的来历及它们之间的内在联系。数学同样回到了实际应用中去。 制作学具也是数学实验教学的一部分，身体多器官的同时活动，开发了学生的智力，培养了学生的能力，让数学真正的看得见，摸得着，有切肤之感，才有心灵之通，促进了学生数学思维的发展[3]。 3.1.3 自行设计实验方案，前置课堂活动
由于活动器材、学生水平差异等因素，许多教材中活动仅局限于教师演示或者PPT投影，而无法让学生全员参与体验。在这种情况下可积极利用现有资源，设计课堂活动的替换活动，使实验探究前置到课前预学中，让学生在课前充分体验。课中教师只要再演示教材中的活动，结合课前活动，辅助教材活动，相得益彰，以此提升教学效率。
案例3：九年级用频率来估计概率时，前置预学作业。
预学案：
做掷硬币的游戏20次。
要求：（1）掷同一个硬币（2）记录数据（3）借助计算器，计算正面朝上的频率和反面朝上的频率，并填在下面表格上：
在统计与概率内容有很多这样的实验内容，还有我们的七年级和八年级的几何以实验几何为主。等腰三角形三线的轴对称性，圆的轴对称性、中心对称性、旋转不变性等内容的教学，都可以采用设计前置活动法.正如列夫·托尔斯泰所说：“知识，只有当它靠积极的思维得来，而不是凭记忆得来的时候，才是真正的知识。”
3.1.4 利用计算机网络，辅助模拟实验
计算机模拟实验教学是指借助于计算机的快速运算功能和图形处理能力，模擬再现问题情境，引导学生自主探索数学知识、检验数学结论（或假设）的数学活动。计算机多媒体技术能为教学活动提供并展示各种与教学内容相适应的情境，为抽象的数学思维提供了直观模型，为学生的学习和发展提供了丰富多彩的学习情境和有力的学习工具。
案例4：在研究中垂线性质和角平分线性质及反比例函数和二次函数图像性质时可以利用计算机《几何画板》画出函数图像，利用几何画板来探求中垂线上的点有怎样的性质，学生通过计算机辅助实验，直观形象看到比例系数k决定图像所在的象限，及通过图像看到图像的发展趋势。
学生自己动手实验、观察、比较、归纳，亲自经历数学知识的发现过程，使得图形的性质这一数学知识很自然地纳入到已有的知识结构中，改变了以讲授“现成结果”为特征的传统数学教学模式，体现了以教师为主导，学生为主体的教学原则。
3.2 “实验型”预学作业的“课堂使用”说明
3.2.1 良好课堂氛围，给“实验型”预学作业反馈提供保障
由于学生的基础不同、思维不同、努力负责程度不同，“实验型”预学作业所得到的实验结果也会不同，教师把预学作业设计合理到位，让实验可操作进行非常重要。同时班级中营造好宽松平等的学习氛围，给同学们发表自己的实验结果 ，交流自己的实验体会，创造良好的平台。
3.2.2 小组合作交流，让“实验型”预学作业开拓学生思维
在几何中有一些“实验型”为了更好地拓展学生思维，特别是几何的一题多解，教师根据具体情况在班级里组建由孩子组成的4人小组，组织学生在小组内进行预学作业的交流，再在课堂中派代表交流。
案例5：如浙教版九上第四章相似三角形有关知识时，请你用所学知识测量出学校旗杆的高度，要求画出示意图，简单说明测量原理；此例学生实验预学以后一个人只有一种方法，在小组合作交流以后各小组在纸上总结出了如下各种方法示意图：
方法1：利用阳光下的影子
说明：AB表示旗杆，CD表示竹竿，图3、4、5运用太阳光线互相平行，构造相似三角形，量得竹竿及其影子、旗杆的影子长度，由相似三角形的性质，通过线段成比例，计算得到旗杆AB的高度，并明确图3最易操作。
方法2：阴雨天时利用标杆
图6，注意的问题：观测者的眼睛C必须与标杆的顶端E和旗杆的顶端A“三点共线”；
需测量的数据：观测者的脚D到旗杆底部B的距离，B到标杆底部F的距离，EF的高，CD的高。作CG⊥AB于G，构造相似三角形。
图7，EF表示竖立放置于眼睛（O）前的直尺，根据相似三角形对应高线的比等于相似比，得到答案。或将人与旗杆拍摄在同一照片中，运用线段成比例计算。
方法3：利用镜子的反射
图8，H表示镜子，△ABH∽△CDH，则通过小组活动与实验，锻炼每一个学生的社会协作能力，养成良好的学习习惯，形成自信以及相互尊重的良好心理品质，有利于学生非智力因素的发展，有利于学生健康人格的形成。从而为创新能力的培养打下良好的心理基础[4]。
3.2.3 自主讨论交流，让“实验型”预学作业培养学生能力
自主交流，这也是开展数学实验预学作业反馈必不可少的环节，也是培养学生表达能力以及创新能力的重要环节。让学生积极主动地参与到数学实验活动反馈中去，对知识的掌握，思维能力的发展，学业成绩的提高以及学习兴趣、态度、意志品质都具有积极的意义。在学生积极参与全班的数学交流和讨论的过程中，通过发言、提问和总结等多种机会培养学生数学思维的条理性，鼓励学生把自己的数学思维活动进行整理，明确表达出来，这是培养学生逻辑思维能力和语言表达能力的一个重要途径。
4 实践的成效与思考
4.1 调动学生参与学习的热情
对照以往上课都是老师提问题，学生回答，现在通过实验预学作业，学生善于发现问题，勇于提出问题，并创造性地解决问题，各种新问题、新思路不断涌现，经常下课后还有许多学生紧追老师不放，问个不停，出乎意料的创造性想法常给老师予新的启迪，师与生、生与生之间合作性大大提高，真正实现教学相长。教师教得轻松，学生学得愉快。
4.2 培养学生的数学素养
“实验型”预学作业的设计，有效提高了学生学习数学的兴趣和自信心，学生的“潜创造力”得到开发，形成了科学的学习策略和方法，创新素质明显提高。学生在学习中能自主地探索新知识，善于一题多解，一题多变，举一反三，对开放性问题能突破思维定势，从不同角度进行大胆探索。
【参考文献】
[1]韦辉梁.数学实验的学习环境和教学方法，2005（01）.
[2]《义务教育数学课程标准》北京大学出版社，2011.
[3]魏玉华.《初中数学实验的理论探索与教学设计研究》，2014（01）.
[4]薛广忠.《中学课程辅导》，2017（09）.