新课程倡导自主学习、合作学习、探究学习，重视操作实践.要让学生亲自参与丰富生动的思维活动，经历实践和创新的过程，主动构建知识获得经验，提高能力.新棵标及近几年中考题中不断出现探索、研究性题型.现举例说明如何引导学生进行探究学习，从而提高解题能力.
　　例1图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层.将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为:1+2+3+…+n=n(n+1)2.
　　如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，……，则最底层最右边这个圆圈中的数是；最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，……，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和.
　　分析(1)由图3容易观察出正三角形图案第n层最右边的数值正好等于前n层所有圆圈个数之和，即:1+2+3+4+…+n=n(n+1)2.将n=12代入可求得最底层最右边这个圆圈中的数是78.
　　图1图2图3图4
　　求最底层最左边这个圆圈中的数有两种方法：
　　方法一可利用题中的结论先求出第11层最右边的数,即n=11时，第11层最右边的数是66,然后加1即可得出结果为67.或者:将n=12代入n(n+1)2-(n-1)=67（即78-11=67）.
　　方法二用a1,a2,a3,…，an分别表示第1层,第2层,第3层，…，第n层最左边这个圆圈中的数.
　　由图观察易得下表：
　　
　　则由上表可得：a2-a1=1，a3-a2=2，a4-a3=3，……，猜想：an-an-1=n-1.
　　将上面各式两边分别相加得：an-a1=1+2+3+…+（n-1）=n(n-1)2，即：第n层最左边这个圆圈中的数是an=n(n-1)2+1.将n=12代入即可求得结果为67.
　　（2）利用（1）结论可知图4圆圈中共有78个数，这些数按从小到大的顺序排列为：-23，-22，-21，…，-1，0，1，2，…，54，各数的绝对值排成的数列为：23，22，21，…，1，0，1，2，…，54.它们的和=（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+54）=1761.
　　例2如图，由等圆组成的一组图中，第一个图由1个圆组成，第二个图由7个圆组成，第三个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第九个图形由个圓组成.
　　（1）（2）（3）（4）
　　方法一猜:根据图中数据规律，猜想通项公式，求出结果.
　　分析由图形之间的关系可列出下表：
　　
　　由表很容易猜想出第n个图形共有圆圈：
　　1+6×1+6×2+6×3+…+6×(n-1)=1+6［1+2+3+…+(n-1)］=1+6×n(n-1)2=1+3n(n-1).
　　将n=9代入可求得第九个图中共有圆圈217个.
　　方法二求:根据图形规律，求其通项公式.
　　分析由图观察易得下表：
　　图形
　　序号1234…n圆圈
　　个数12+3+23+4+5+4+34+5+6+7+6+5+4…n+(n+1)+…+(2n-1)+…+(n+1)+n观察表中数据可知第n个图中共有圆圈:
　　n+(n+1)+(n+2)+…+(2n-2)+(2n-1)+(2n-2)+…+(n+1)+n=1+3n(n-1).
　　将n=9代入求值即可求得结果为217.
　　此题也可直接求第九个图中圆圈的个数为：
　　9+10+11+12+…+16+17+16+…+10+9=217.