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摘 要： 数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。数形结合的思想是数学的重要思想之一。本文介绍了这种思想的应用及掌握。
关键词： 数形结合思想 数学教学 应用
1.引言
数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也就是说，数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学。数形结合的思想是数学的重要思想之一。
数形结合的思想，就是将复杂或抽象的数量关系与直观形象的图形在方法上相互渗透，并在一定条件下相互补充、转化的思想。恩格斯曾说过：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，‘数’和‘形’是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形作出直观的反映和描述。”数形结合的实质就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数性质解决几何问题［１］。因此，数形结合思想应用分为两种情况：一是借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数论形”，比如给出一个三角形三边为3、4、5，则我们要想到这个三角形是直角三角形；二是借助于形的几何直观性来表示数之间的某些关系，即“以形促数”，这样的例子数不胜数。
在数学教学中，数形结合思想偏重于将某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，这样就有助于把握数学问题本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解且解法简洁。数形结合的思想方法应用广泛，常见的如求函数的值域、最值问题，解方程及解不等式，或是求复数和三角函数方面。运用数形结合思想，不仅容易直观地发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，很大程度上简化了解题过程，这在解选择、填空题时更显其优越。因此，教师要帮助学生逐步树立起数形结合的观点，将这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思维工具。
以下从四个方面说明如何熟练地运用数形结合思想来解决数学中的许多问题。
2.数形结合的应用
2.1函数与图像的对应关系
例1：x，y满足25x+9(y-2)≤225，求函数μ=的值域。
分析：由题设可知，动点P(x，y)在椭圆+=1内部（包括边界），在直角坐标系中取定点C(0，-5)。由图1可知，μ可以看作是点P与点C的距离。当点P与椭圆的上顶点B重合时，μ取得最大值12；当点P与椭圆的下顶点B重合时，μ取得最小值2。故原函数值域是2≤μ≤12。
2.2方程与曲线的对应关系
例2：a为何值时，方程y=与x+y-2ax+a-1=0只有三组公共解，并求其解。
分析：本题单纯用判别式解不能解决问题，必须考虑其隐含条件，如用几何解法就比较容易挖掘隐含条件。
解：在直角坐标系中画出抛物线y=x，再考虑画圆(x-a)+y=1。如果圆心是(a，0)，半径是1的圆与抛物线在轴上方有一个公共点，则根据它们的对称性，在x轴下方也有一个公共点，由于所求的是三个公共点，因而，还有一个公共点必然是原点。（如图2）
显然，只有a=1时，圆与抛物线在原点相切且与抛物线相交。此时，y=x(x-1)+y=1的解为x=0y=0，x=y=，x=y=-。
从上例可见，在很多题中，往往要通过逻辑推理及计算给予支持，即把“数”与“形”结合起来求解［２］。华罗庚先生曾这样形容“数”“形”的关系：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。”［３］这是对数形结合思想方法最通俗、最深刻的剖析。
2.3等式或代数式的结构含有几何意义
例3：解方程组9x+25y-100y=125 ?摇?摇 ①(x-4)+(y-2)=9?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇②
分析：将方程①变形为+=1，它的图形是以(0，2)为中心，长半轴为5，短半轴为3的椭圆。
设P(x，y)是椭圆上的任一点，方程②表示动点P(x，y)到定点F(4，2)的距离等于3，而定点F(4，2)是椭圆的右焦点，因而|PF|是椭圆的焦半径。则P到另一焦点的距离|PF|=2×5-|PF|=7，所以有(x+4)+(y-2)=7，此式与方程②联立得x=，从而得出y=+2或y=+2。
故原方程组的解为x=y=+2或x=y=-+2。（如图3）
对于此类等式或代数式的结构含有几何意义的问题，在教学中教师可引导学生遵循以下三个步骤来达到解决的目的：（1）观察问题中式子的结构是否具有几何特征；（2）根据代数问题的几何特征去发现代数与几何知识间存在的新关系；（3）抓住这个新关系，启发学生摆脱传统思维模式的束缚，向多角度、多结构、多侧面的思维方向去研究问题，探寻解决问题的最佳方案［４］。
2.4解析几何
解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段。
例4：椭圆的极坐标方程为ρ=，则它在短轴上两个顶点的极坐标是（?摇?摇?摇?摇）。
A.(3，0)，(1，π)?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇B.(，)，(，)
C.(2，)，(2，)?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇D.(，arctan)
分析：把椭圆方程变形为ρ=，由上式得椭圆离心率e=。如图4，在极坐标系中，设椭圆短轴端点为B、B，长轴端点为A、A′，左焦点即是极点O，则其离心率e=恰好是短轴端点的极角余弦，即e==cos∠BOA（或cos∠B′OA）。因此，由cos∠BOA=，可得∠BOA=，即点B和B′的极坐标中，极角分别是和。在本题所给四个选项中只有C符合上述结果，据此就可否定A、B、D，而选C。
在处理解析几何问题时，我们应更加重视数与形的结合，既要充分发挥以“数”解“形”的解析几何的基本思想，又应时时注意数式推导的几何背景。本题的解法抓住椭圆中的几何意义，沟通了离心率与短轴端点极角的关系，从而避免了常规解法中的繁琐运算。
通过对上述例题的分析解答，我们可以发现利用数形结合的方法能使问题化繁为简、化难为易、化隐为显，轻松快捷地使问题得到解决。
3.数形结合思想的掌握
数形结合思想应用的广泛性及优点，我们已从前面的分析总结中得以知晓。因此，要很好地掌握数形结合的思想，我们应注意以下几点：
（1）要善于观察图形，对图形中蕴含的数量关系要有一定的认识；
（2）正确绘制图形，尽量清晰地反映图形中相应的数量关系；
（3）把握“数”与“形”的对应关系，以“形”感知“数”，以“数”认知“形”；
（4）灵活应用数、形的转化，提高思维的灵活性与创造性。
参考文献：
［1］曾劲松.高考数学总复习第三讲：数形结合.深圳中学，2003.
［2］贺信淳，李平.试谈数形结合思想在高考中的应用.数学通报，1997，4.
［3］徐有政.略论数学形象思维.数学通报，1999，9.
［4］钟焕清.代数问题的几何解法.数学通报，1990，6.
关键词： 数形结合思想 数学教学 应用
1.引言
数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也就是说，数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学。数形结合的思想是数学的重要思想之一。
数形结合的思想，就是将复杂或抽象的数量关系与直观形象的图形在方法上相互渗透，并在一定条件下相互补充、转化的思想。恩格斯曾说过：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，‘数’和‘形’是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形作出直观的反映和描述。”数形结合的实质就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数性质解决几何问题［１］。因此，数形结合思想应用分为两种情况：一是借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数论形”，比如给出一个三角形三边为3、4、5，则我们要想到这个三角形是直角三角形；二是借助于形的几何直观性来表示数之间的某些关系，即“以形促数”，这样的例子数不胜数。
在数学教学中，数形结合思想偏重于将某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，这样就有助于把握数学问题本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解且解法简洁。数形结合的思想方法应用广泛，常见的如求函数的值域、最值问题，解方程及解不等式，或是求复数和三角函数方面。运用数形结合思想，不仅容易直观地发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，很大程度上简化了解题过程，这在解选择、填空题时更显其优越。因此，教师要帮助学生逐步树立起数形结合的观点，将这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思维工具。
以下从四个方面说明如何熟练地运用数形结合思想来解决数学中的许多问题。
2.数形结合的应用
2.1函数与图像的对应关系
例1：x，y满足25x+9(y-2)≤225，求函数μ=的值域。
分析：由题设可知，动点P(x，y)在椭圆+=1内部（包括边界），在直角坐标系中取定点C(0，-5)。由图1可知，μ可以看作是点P与点C的距离。当点P与椭圆的上顶点B重合时，μ取得最大值12；当点P与椭圆的下顶点B重合时，μ取得最小值2。故原函数值域是2≤μ≤12。
2.2方程与曲线的对应关系
例2：a为何值时，方程y=与x+y-2ax+a-1=0只有三组公共解，并求其解。
分析：本题单纯用判别式解不能解决问题，必须考虑其隐含条件，如用几何解法就比较容易挖掘隐含条件。
解：在直角坐标系中画出抛物线y=x，再考虑画圆(x-a)+y=1。如果圆心是(a，0)，半径是1的圆与抛物线在轴上方有一个公共点，则根据它们的对称性，在x轴下方也有一个公共点，由于所求的是三个公共点，因而，还有一个公共点必然是原点。（如图2）
显然，只有a=1时，圆与抛物线在原点相切且与抛物线相交。此时，y=x(x-1)+y=1的解为x=0y=0，x=y=，x=y=-。
从上例可见，在很多题中，往往要通过逻辑推理及计算给予支持，即把“数”与“形”结合起来求解［２］。华罗庚先生曾这样形容“数”“形”的关系：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。”［３］这是对数形结合思想方法最通俗、最深刻的剖析。
2.3等式或代数式的结构含有几何意义
例3：解方程组9x+25y-100y=125 ?摇?摇 ①(x-4)+(y-2)=9?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇②
分析：将方程①变形为+=1，它的图形是以(0，2)为中心，长半轴为5，短半轴为3的椭圆。
设P(x，y)是椭圆上的任一点，方程②表示动点P(x，y)到定点F(4，2)的距离等于3，而定点F(4，2)是椭圆的右焦点，因而|PF|是椭圆的焦半径。则P到另一焦点的距离|PF|=2×5-|PF|=7，所以有(x+4)+(y-2)=7，此式与方程②联立得x=，从而得出y=+2或y=+2。
故原方程组的解为x=y=+2或x=y=-+2。（如图3）
对于此类等式或代数式的结构含有几何意义的问题，在教学中教师可引导学生遵循以下三个步骤来达到解决的目的：（1）观察问题中式子的结构是否具有几何特征；（2）根据代数问题的几何特征去发现代数与几何知识间存在的新关系；（3）抓住这个新关系，启发学生摆脱传统思维模式的束缚，向多角度、多结构、多侧面的思维方向去研究问题，探寻解决问题的最佳方案［４］。
2.4解析几何
解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段。
例4：椭圆的极坐标方程为ρ=，则它在短轴上两个顶点的极坐标是（?摇?摇?摇?摇）。
A.(3，0)，(1，π)?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇B.(，)，(，)
C.(2，)，(2，)?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇D.(，arctan)
分析：把椭圆方程变形为ρ=，由上式得椭圆离心率e=。如图4，在极坐标系中，设椭圆短轴端点为B、B，长轴端点为A、A′，左焦点即是极点O，则其离心率e=恰好是短轴端点的极角余弦，即e==cos∠BOA（或cos∠B′OA）。因此，由cos∠BOA=，可得∠BOA=，即点B和B′的极坐标中，极角分别是和。在本题所给四个选项中只有C符合上述结果，据此就可否定A、B、D，而选C。
在处理解析几何问题时，我们应更加重视数与形的结合，既要充分发挥以“数”解“形”的解析几何的基本思想，又应时时注意数式推导的几何背景。本题的解法抓住椭圆中的几何意义，沟通了离心率与短轴端点极角的关系，从而避免了常规解法中的繁琐运算。
通过对上述例题的分析解答，我们可以发现利用数形结合的方法能使问题化繁为简、化难为易、化隐为显，轻松快捷地使问题得到解决。
3.数形结合思想的掌握
数形结合思想应用的广泛性及优点，我们已从前面的分析总结中得以知晓。因此，要很好地掌握数形结合的思想，我们应注意以下几点：
（1）要善于观察图形，对图形中蕴含的数量关系要有一定的认识；
（2）正确绘制图形，尽量清晰地反映图形中相应的数量关系；
（3）把握“数”与“形”的对应关系，以“形”感知“数”，以“数”认知“形”；
（4）灵活应用数、形的转化，提高思维的灵活性与创造性。
参考文献：
［1］曾劲松.高考数学总复习第三讲：数形结合.深圳中学，2003.
［2］贺信淳，李平.试谈数形结合思想在高考中的应用.数学通报，1997，4.
［3］徐有政.略论数学形象思维.数学通报，1999，9.
［4］钟焕清.代数问题的几何解法.数学通报，1990，6.