摘要：文章从建立函数关系式，用求导数的方法解决了合成氨中氢氮最佳投料比这一极值问题，探索和提供了解决极值问题的全新的思路和方向，培养了学生在化学学习过程中养成言之有理、论之有据的习惯。
　　关键词：平衡氨含量；导数；隐函数；复合函数求导；函数的单调性
　　文章编号：1008-0546（2016）05-0076-02 中图分类号：G633.8 文献标识码：B
　　doi：10.3969/j.issn.1008-0546.2016.05.030
　　一、问题的提出
　　氨是生产硫酸铵、硝酸铵、碳酸氢铵、氯化铵、尿素等化学肥料的主要原料，也是硝酸、燃料、炸药、医药、有机合成塑料、合成纤维、石油化学工业等的重要原料。因此，合成氨工业在国民经济中占有十分重要的地位。
　　氢和氮合成氨的反应如下：
　　N2（g） 3H2（g）2NH3（g）；ΔH=-92.4kJ·mol-1
　　此反应具有可逆、放热、体积缩小的特点。其平衡常数用分压表示为：
　　Kp=
　　由平衡移动原理可知，加压有利于平衡正移，提高平衡氨含量，考虑到反应速率，本反应还使用了催化剂，并适当提高反应温度至500℃左右。可是当参加反应的氢气、氮气的物质的量比值为多少时可获得最大的平衡氨含量呢？
　　二、数学求导思想的应用
　　在长期的高中教学实践中，每当有学生就此类问题问到我时，我只能找到已有的实验数据进行归纳总结，把最佳比值作为一个经验结论告诉学生。学生接受起来比较勉强，我自己对这样的教学效果也不满意，为此我向同事求教讨论，查阅了化工资料和高中及大学数学课本，进行研究和探讨，用严密的数学推理算出了最佳比值。
　　平衡氨含量是在一定的温度、压强和氢氮比等条件下，反应达到平衡时，氨在气体混合物中的物质的量分数。平衡氨含量即反应的理论最大产量，我们将这一实际的极值问题转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的极值问题。
　　设平衡后混合气体中含有N2、H2、NH3气体，平衡时体系总压为P，以上三种气体的物质的量分数分别用xN、x、x表示，
　　那么x x x=1①
　　由道尔顿分压定律：P（N2）=P·xN2②
　　PH2=P·xH2③
　　PNH3=P·xNH3④
　　令n=，则：xH=n·xN⑤
　　将⑤带入①，得到：xH n·xN x=1
　　整理得：xH=（1-x）⑥
　　将⑥代入⑤得xH=（1-x）⑦
　　将④、⑥、⑦代入平衡常数表达式：Kp=
　　=
　　=
　　=
　　将上式变形得：Kp·P 2·=⑧
　　由⑧可看出影响平衡时氨含量x2NH3大小的因素有三个：平衡体系总压P，平衡常数KP（与温度有关），n值（即氢氮比），也可把⑧式看作xNH3=f（n）的一个隐函数，此时问题就转化为：当n取何值时xNH3最大？导数是研究函数最大（小）值问题的最一般、最有效工具。普通高中课程标准实验教科书《数学选修2-2》第一章，第4节针对这类优化问题举出了很多解决范例。
　　同样，对于⑧式，当=0时，x可取得极大值，由复合函数求导法则Ⅰ和导数运算法则Ⅱ对⑧两端分别对n求导：
　　Kp·P 2·=·
　　Kp·P 2·
　　=·
　　=·⑨
　　观察⑨式右边，分子不可能为零（∵0　　故若要=0，必然要求=0
　　即3n2（n 1）4-4（n 1）3·n3=0
　　3（n 1）=4n
　　n=3
　　即=时，x可取最大值。
　　又因为H2、N2达平衡过程中的变化量之比也为3∶1，则有效投料为3∶1时，平衡混合物中氨的物质的量分数最大。
　　对⑨式也有稍简便的处理：观察⑨式左边可知，当x∈（0，1）时，为一取值大于零的单调递增函数，则在相应定义域上也为单调递增函数Ⅲ。
　　故：当取极大值时，取极大值，那么x也同时取到最大值。
　　令：=0，即=0
　　3n（n 1）-4（n 1）·n=0
　　3（n 1）=4n
　　n=3
　　两种证法均是用求导数的方法解决了合成氨中的投料优化问题，即H2、N2的有效投料为3∶1时，平衡混合物中氨的物质的量分数最大。
　　参考文献
　　[1] 崔恩选主编.化学工艺学（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2000
　　[2] 课程教材研究所著.数学（高中）选修2-2[M]. 北京：人民教育出版社，2011
　　[3] 同济大学教研室主编.高等数学（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，1993