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【摘要】本文给出基本初等函数15种乘积的不定积分公式结果。在15种结果中，有11种情况的积分结果可以用初等函数表示出来，有4种情况的积分结果不能用初等函数表示出来。
【关键词】基本初等函数；乘积；不定积分；初等函数
【课题论文】湖北省教育科学“十二五”规划2011年立项课题（项目编号2011B266）
一、幂函数与指数函数乘积的不定积分
1。∫xnaxdx=ax∑ni=0(-1)i1(lna)i 1(xn)(i) C。
二、幂函数与对数函数乘积的不定积分
2。∫xnlogaxdx=xn 1(n 1)lnalnx-1n 1 C。
三、幂函数与三角函数乘积的不定积分
3。∫xncosxdx=∑ni=0(xn)(i)(sinx)(i) C。
4。∫xnsinxdx=-∑ni=0(xn)(i)(cosx)(i) C。
四、幂函数与反三角函数乘积的不定积分
5。∫xnarcsinxdx=1n 1xn 1arcsinx-∫xn 11-x2dx。
6。∫xnarccosxdx=1n 1xn 1arccosx ∫xn 11-x2dx。
其中：In 1=∫xn 11-x2dx(令x=sint可得)=-xn1-x2n 1 nn 1In-1,…,
五、指数函数与对数函数乘积的不定积分
7。∫axlogbxdx=1lnbax∑∞i=0(-1)i1(lna)i 1(lnx)(i) C。
六、指数函数与三角函数乘积的不定积分
8。∫eaxcosbxdx=1a2 b2eax(bsinbx acosbx) C。
9。∫eaxsinbxdx=1a2 b2eax(bsinbx-acosbx) C。
七、指数函数与反三角函数乘积的不定积分
10。∫axarcsinbxdx=ax∑∞i=0(-1)i1(lna)i 1(arcsinbx)(i) C。
11。∫axarccosbxdx=ax∑∞i=0(-1)i1(lna)i 1(arccosbx)(i) C。
八、对数函数与三角函数乘积的不定积分
12。∫cosbxlnxdx=∑∞i=01bi 1(sinbx)(i)(lnx)(i) C。
13。∫sinbxlnxdx=-∑∞i=01bi 1(cosbx)(i)(lnx)(i) C。
九、对数函数与反三角函数乘积的不定积分
14。∫arcsinxlnxdx=(lnx-1)(xarcsinx 1-x2)-ln1-1-x2x-1-x2 C。
15。∫arccosxlnxdx=(lnx-1)(xarccosx-1-x2) ln1-1-x2x 1-x2 C。
十、三角函数与反三角函数乘积的不定积分
16。∫sinxarcsinxdx=-cosxarcsinx ∫cosx1-x2 C。
17。∫sinxarccosxdx=-cosxarccosx-∫cosx1-x2 C。
18。∫cosxarcsinxdx=sinxarcsinx-∫sinx1-x2 C。
19。∫cosxarccosxdx=sinxarccosx ∫sinx1-x2 C。
十一、幂函数与幂函数乘积的不定积分
20。∫xmxndx=1m nxm n c(m n≠-1),∫xmxndx=ln|x| c(m n=-1)。
十二、指数函数与指数函数乘积的不定积分
21。∫axbxdx=axbxlna lnb C。
十三、对数函数与对数函数乘积的不定积分
22。∫logaxlogbx=1lnalnb∫ln2xdx,
∫ln2xdx=xln2x-2∫lnxdx=xln2x-2xlnx 2x C。
十四、三角函数与三角函数乘积的不定积分
23。∫sinxsinxdx=12∫（1-cos2x)dx=12x-14sin2x C。
24。∫sinxcosxdx=12sin22x c。
25。∫cosxcosxdx=12∫(1 cos2x)dx=12x 14sin2x C。
十五、反三角函数与反三角函数乘积的不定积分
26。∫(arcsinx)2dx=x(arcsinx)2-2∫xarcsinx1-x2dx=x(arcsinx)2 2∫arcsinxd1-x2=x(arcsinx)2 21-x2?arcsinx-2x C。
27。∫arcsinxarccosxdx=∫arccosxd(xarcsinx 1-x2)=arccosx(xarcsinx 1-x2)-∫xarcsinx 1-x21-x2dx=arccosx(xarcsinx 1-x2)-x ∫arcsinxd 1-x2=arccosx(xarcsinx 1-x2) 1-x2arcsinx-2x C。
28。∫(arccosx)2dx=x(arccosx)2 2∫xarccosx1-x2dx=x(arccosx)2-2∫arccosxd1-x2=x(arccosx)2-21-x2arccosx 2x C。
上面15种情况中：有11种情况（一、二、三、四、六、九、十一、十二、十三、十四、十五）的积分结果可以用初等函数表示出来，有4种情况（五、七、八、十）的积分结果不能用初等函数表示出来。
例 求∫x3(e-x lnx cosx)dx。
解 ∫x3(e-x lnx cosx)dx=e-x∑3i=0(-1)i(x3)(i)(-1)i 1 x44lnx-14 ∑3i=0(x3)(i)(sinx)(i)=-e-x(x3 3x2 6x 6) x44lnx-14 (x3-6x)sinx (3x2-6)cosx c。
【参考文献】
［1］侯风波。高等数学：第二版［M］。北京：高等教育出版社，2000：89-104。
［2］中国高等教育学会组织编写，侯风波主编。应用数学（理工类）：第一版［M］。北京：科学出版社，2007：80-92。
【关键词】基本初等函数；乘积；不定积分；初等函数
【课题论文】湖北省教育科学“十二五”规划2011年立项课题（项目编号2011B266）
一、幂函数与指数函数乘积的不定积分
1。∫xnaxdx=ax∑ni=0(-1)i1(lna)i 1(xn)(i) C。
二、幂函数与对数函数乘积的不定积分
2。∫xnlogaxdx=xn 1(n 1)lnalnx-1n 1 C。
三、幂函数与三角函数乘积的不定积分
3。∫xncosxdx=∑ni=0(xn)(i)(sinx)(i) C。
4。∫xnsinxdx=-∑ni=0(xn)(i)(cosx)(i) C。
四、幂函数与反三角函数乘积的不定积分
5。∫xnarcsinxdx=1n 1xn 1arcsinx-∫xn 11-x2dx。
6。∫xnarccosxdx=1n 1xn 1arccosx ∫xn 11-x2dx。
其中：In 1=∫xn 11-x2dx(令x=sint可得)=-xn1-x2n 1 nn 1In-1,…,
五、指数函数与对数函数乘积的不定积分
7。∫axlogbxdx=1lnbax∑∞i=0(-1)i1(lna)i 1(lnx)(i) C。
六、指数函数与三角函数乘积的不定积分
8。∫eaxcosbxdx=1a2 b2eax(bsinbx acosbx) C。
9。∫eaxsinbxdx=1a2 b2eax(bsinbx-acosbx) C。
七、指数函数与反三角函数乘积的不定积分
10。∫axarcsinbxdx=ax∑∞i=0(-1)i1(lna)i 1(arcsinbx)(i) C。
11。∫axarccosbxdx=ax∑∞i=0(-1)i1(lna)i 1(arccosbx)(i) C。
八、对数函数与三角函数乘积的不定积分
12。∫cosbxlnxdx=∑∞i=01bi 1(sinbx)(i)(lnx)(i) C。
13。∫sinbxlnxdx=-∑∞i=01bi 1(cosbx)(i)(lnx)(i) C。
九、对数函数与反三角函数乘积的不定积分
14。∫arcsinxlnxdx=(lnx-1)(xarcsinx 1-x2)-ln1-1-x2x-1-x2 C。
15。∫arccosxlnxdx=(lnx-1)(xarccosx-1-x2) ln1-1-x2x 1-x2 C。
十、三角函数与反三角函数乘积的不定积分
16。∫sinxarcsinxdx=-cosxarcsinx ∫cosx1-x2 C。
17。∫sinxarccosxdx=-cosxarccosx-∫cosx1-x2 C。
18。∫cosxarcsinxdx=sinxarcsinx-∫sinx1-x2 C。
19。∫cosxarccosxdx=sinxarccosx ∫sinx1-x2 C。
十一、幂函数与幂函数乘积的不定积分
20。∫xmxndx=1m nxm n c(m n≠-1),∫xmxndx=ln|x| c(m n=-1)。
十二、指数函数与指数函数乘积的不定积分
21。∫axbxdx=axbxlna lnb C。
十三、对数函数与对数函数乘积的不定积分
22。∫logaxlogbx=1lnalnb∫ln2xdx,
∫ln2xdx=xln2x-2∫lnxdx=xln2x-2xlnx 2x C。
十四、三角函数与三角函数乘积的不定积分
23。∫sinxsinxdx=12∫（1-cos2x)dx=12x-14sin2x C。
24。∫sinxcosxdx=12sin22x c。
25。∫cosxcosxdx=12∫(1 cos2x)dx=12x 14sin2x C。
十五、反三角函数与反三角函数乘积的不定积分
26。∫(arcsinx)2dx=x(arcsinx)2-2∫xarcsinx1-x2dx=x(arcsinx)2 2∫arcsinxd1-x2=x(arcsinx)2 21-x2?arcsinx-2x C。
27。∫arcsinxarccosxdx=∫arccosxd(xarcsinx 1-x2)=arccosx(xarcsinx 1-x2)-∫xarcsinx 1-x21-x2dx=arccosx(xarcsinx 1-x2)-x ∫arcsinxd 1-x2=arccosx(xarcsinx 1-x2) 1-x2arcsinx-2x C。
28。∫(arccosx)2dx=x(arccosx)2 2∫xarccosx1-x2dx=x(arccosx)2-2∫arccosxd1-x2=x(arccosx)2-21-x2arccosx 2x C。
上面15种情况中：有11种情况（一、二、三、四、六、九、十一、十二、十三、十四、十五）的积分结果可以用初等函数表示出来，有4种情况（五、七、八、十）的积分结果不能用初等函数表示出来。
例 求∫x3(e-x lnx cosx)dx。
解 ∫x3(e-x lnx cosx)dx=e-x∑3i=0(-1)i(x3)(i)(-1)i 1 x44lnx-14 ∑3i=0(x3)(i)(sinx)(i)=-e-x(x3 3x2 6x 6) x44lnx-14 (x3-6x)sinx (3x2-6)cosx c。
【参考文献】
［1］侯风波。高等数学：第二版［M］。北京：高等教育出版社，2000：89-104。
［2］中国高等教育学会组织编写，侯风波主编。应用数学（理工类）：第一版［M］。北京：科学出版社，2007：80-92。