善用枚举法解排列、组合及概率统计题

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  在解决排列、组合及概率统计等与计数有关的问题时,有不少读者认为枚举法是“最烦、最繁、最差、最没有技术含量”的方法,其实不然:第一,当基本事件总数较少但情况又稍复杂时,枚举法一清二楚;第二,枚举法应当是解这类题时首先想到的方法,比如树形图、列表法等;第三,即使枚举法失败,也可由此发现部分规律,对解题亦有帮助. 因此,解决计数问题时,应重视枚举法.
  题1 某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车各一辆. 某天张先生准备从该汽车站前往省城办事,但他不知道客车的等级情况,也不知道发车顺序. 为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先放过第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆,那么张先生乘上上等车的概率是________.
  解:这里的一次试验是“每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车各一辆”,试验成功的情形是“张先生采取上述策略能乘上上等车”.
  先枚举出一次试验可能的所有情形:①上、中、下,②上、下、中,③中、上、下,④中、下、上,⑤下、上、中,⑥下、中、上. 其中试验成功的情形是③④⑤三种,所以所求的概率是■=■.
  题2 3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有2名女生相邻,不同排法种数是________.
  解:设想6位同学站成一排分别站的位置是1,2,3,4,5,6. 因为男生甲不站两端,所以可分以下四种情形:
  (1)甲站的位置是2. 此时3位女生站的位置只能是(1,34),(1,45),(1,56),(34,6),(3,56)这5种情形,可得此时有5A■■A■■=60种排法.
  (2)甲站的位置是3. 此时3位女生站的位置只能是(12,4),(12,5),(12,6),(1,45),(1,56),(2,45),(2,56)这7种情形,可得此时有7A■■A■■=84种排法.
  (3)甲站的位置是4. 此时的排法数同(2).
  (4)甲站的位置是5. 此时的排法数同(1).
  所以所求答案为(60 84)×2=288.
  注 列举时可先选好标准进行分类,而每一类中列举时可按照字典排列法(小的在前,大的在后),这样可做到不重不漏.
  题3 (2008年高考山东卷)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.
  (1)从中任选3人,求选出的火炬手的编号能组成等差数列的概率;
  (2)从中任选3人(但这3人之间有顺序),求选出的火炬手的编号按选出的顺序恰为等差数列的概率.
  解:公差为1,2,3,…,8的等差数列分别有16,14,12,…,2个,所以满足题意的等差数列共有16 14 12 … 2=72个. 所以所求概率分别为:(1)■=■;(2)■=■.
  题4 (2009年高考湖北卷)一个盒子里装有4张大小、形状完全相同的卡片,分别标有数2,3,4,5;另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片,分别标有数3,4,5,6. 现从一个盒子中任取一张卡片,其上面的数记为x;再从另一盒子里任取一张卡片,其上面的数记为y,记随机变量η=x y,求η的分布列和数学期望.
  解:我们先列出所有可能的情形(见下表):
  ■
  所以随机变量η的分布列和数学期望分别为:
  ■
  E(η)=5·■ 6·■ 7·■ 8·■ 9·■ 10·■ 11·■=8.
  题5 (2009年高考辽宁卷)某人向一目标射击4次,每次击中目标的概率为■. 该目标分为3个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6. 击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比.
  (1)设X表示目标被击中的次数,求X的分布列;
  (2)若目标被击中2次,A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求P(A).
  解:(1)略.
  (2)我们先列举出目标被击中2次时被击中各部分的所有情形:
  ■
  只有情形1,2,3,4,5,7满足题意,所以
  P(A)=0.1 0.3×(0.1 0.3) 0.6×0.1=0.28.
  题6 (2007年高考山东卷)设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程x2 bx c=0实根的个数(重根按一个计).
  (1)求方程x2 bx c=0有实根的概率;
  (2)求ξ的分布列和数学期望;
  (3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2 bx c=0有实根的概率.
  解:方程x2 bx c=0的判别式为Δ=b2-4c(b,c∈{1,2,3,4,5,6}),因为该方程实根的个数是0,1,2分别等价于Δ<0,Δ=0,Δ>0,所以我们先列出下面的表格:
  ■
  其中Δ<0与Δ>0的情形各有17种,Δ=0的情形有2种,总计36种情形. 所以有:
  (1)所求概率p=■=■;
  (2)ξ的分布列为:
  ■
  ξ的数学期望为E(ξ)=0·■ 1·■ 2·■=1.
  (3)由表格中b=5所在的列及c=5所在的行知,所求概率p=■.
  注:该解答比参考答案要简洁清楚明白,第(3)问的参考答案是用条件概率来求解的,而这里是仅用古典概率来求解的.
  题7 (2010年高考江西卷)某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门. 首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道,若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门. 再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走完迷宫为止. 令ξ表示走出迷宫所需的时间.   (1)求ξ的分布列;
  (2)求ξ的数学期望.
  解:我们先列出所有可能的情形(见下表):
  ■
  所以本题的答案是:
  (1)
  ■
  (2)E(ξ)=1·■ 3·■ 4·■ 6·■=■(h).
  题8 (2013年高考山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束. 除第五局甲队获胜的概率是■外,其余每局比赛甲队获胜的概率是■. 假设每局比赛结果互相独立.
  (1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;
  (2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分,求乙队得分X的分布列及数学期望.
  解:比赛的结果共有以下六种情形:
  ■
  (1)甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率分别是■,■,■.
  (2)X的分布列为:
  ■
  E(X)=1·■ 2·■ 3·■=■.
  题9 (2010年高考安徽卷)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试,一种通常采用的测试方法如下:拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序;经过一段时间,等其记忆淡忘之后,再让其品尝这n瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试. 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.
  现设n=4,分别以a1,a2,a3,a4表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号,并令X=1-a1 2-a2 3-a3 4-a4,
  则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.
  (1)写出X的可能值集合;
  (2)假设a1,a2,a3,a4等可能地为1,2,3,4排列,求X的分布列;
  (3)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有X≤2,
  ①试按(2)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立);
  ②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何?说明理由.
  解:这里的一次试验是“将1,2,3,4排序”,可以枚举出这A■■=24种排列及其对应的X值,如下表:
  由此表立得本题的答案是:
  (1)X的可能值集合为{0,2,4, 6,8}.
  (2)在等可能的前提下,得
  ■
  (3)①■ ■3=■.
  ②因为■<0.005,所以事件①发生是小概率事件,说明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的可能性很小. 因此可以认为该品酒师确实具有良好的酒味鉴别功能,不是靠随机猜测的.
  注:从阅卷情况看,这道高考压轴题的得分率极低. 笔者认为造成这种情形的主要原因是考生不会用最简单的原始方法——枚举法解决计数问题,只知道套用排列、组合公式解决复杂的计数问题,殊不知,用简单的枚举法也能轻松解决计数以及概率统计问题. ■
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