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[摘 要]探讨巧用旋转变换解初中几何问题，能为当前初中数学教学提供参考.
[关键词]旋转变换；初中数学；几何问题
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2018）02002602
初中数学新课程标准中指出，学生可以通过实际存在的物体形状想象几何的图形，再由几何图形想象出实际物体的形象，这就是初中几何知识学习中学生必备的能力.初中几何涉及图形变换的内容包括平移、对称、旋转.长期以来的教学实践发现，学生的数学几何知识学习效果并不好，很多学生的知识运用能力、独立解题的能力相对较差.本文主要探讨巧用旋转变换解初中几何问题.
一、旋转变换的概念
若从平面到其自身的一个映射，并确保其中的一个定点保持不变，即对于任一点P映射到点P′，那么OP与OP′相等，∠POP′=θ，再从射线OP到OP′方向和给定的方向相同，这个映射也就是绕中心O，根据已知方向对θ进行旋转变换.如图1所示，那么O就是旋转的中心，θ就是旋转角.这个旋转变换的过程可记为R（O，θ）.如果旋转角以180°为中心进行对称变换，那么旋转中心也就是对称中心.
二、旋转变换的性质
在初中数学的几何知识中，旋转变换的内容包括四点性质：（1）一个图形与这个图形在旋转变换后得出的新图形全等；（2）如果旋转中心相同，连着进行两次旋转变换，那么依旧只是一個旋转变换，可用R（O，θ1）·R（O，θ2）=R（O，θ1 θ2）表示.对一个图形取点O作为旋转中心旋转θ1，在保持O的旋转中心不变的基础上再旋转θ2，那么得出来的图形也就是原图形以O为旋转中心旋转θ=θ1 θ2而得到的图形；（3）旋转变换的逆变换为旋转变换，用公式表示为R（O，θ）=R（O，-θ），通过一个图形将O作为旋转中心旋转θ，如果要让这个图形再次回到原有的位置，那么还需要以O作为旋转中心旋转-θ并经过变换才能实现；（4）非恒等变换的R（O，θ）没有二重线，但有明确的二重点，也就是旋转中心的点，如果将△ABC这个图形将C作为旋转中心旋转θ变成△A′B′C，观察这个新的三角形不难发现，其中的直线位置都发生了一定的变化，但是重合点却为C点，而这个点正是旋转中心.
三、巧用旋转变换解初中几何问题
1.利用旋转变换解决等边三角形的问题
【例1】 如图2，已知P是等边三角形ABC中的一点，PB=2，PC=1，AP=5，那么∠BPC大小为多少？
分析：由图2可知，图中的已知线段PA、PC、PB都不在同一个图形中，很多学生读题过程中不容易发现解题的思路与方法.在这种情况下，如果进行图形重组，让已知线段都能在一个三角形内，那么问题的思考也就更简单.从已知条件可知，三角形全等，存在三个60°的内角，所以可以通过旋转角为60°的图形进行旋转，旋转图形为三角形PP′C和2、1、5为边长的特殊三角形，得到结论是∠BPC为∠AP′P与60°的和，于是利用勾股定理逆定理可得出∠AP′P为90°，于是就能求解出∠BPC的大小.
解答：将△BPC以点C为中心顺时针旋转60°，得出△AP′C，结合旋转的性质可知CP=CP′，∠PCP′=60°.那么△PP′C就是等边三角形，而∠CP′P=60°.因为PB=2，PC=1，AP=5，因此AP′=2，而P′C=1，又因为22 12=（5）2，所以可以推算出∠AP′P=90°，即∠AP′C=90° 60°=150°，所以根据旋转的性质可以得出∠BPC=∠AP′C=150°的结论.
2.利用旋转变换解决直角三角形的旋转问题
【例2】 如图3，P是正方形ABCD中的一个点，∠BPA为135°，AP=3，BP=5，那么PC的长为多少？
分析：这题的解题方向与上题比较相似，根据题意可以得出AB=BC=CD=DA的结论.而正方形的内角都为90°，所以可以通过变换组成PA、PB、PC三边的三角形，而旋转的角度为90°.
解答：根据题意，将△BPP′以点B沿着顺时针方向旋转90°得出△AP′B，根据旋转的性质可知BP=BP′，∠PBP′=90°，P′A=PC，那么△BPP′就是等腰直角三角形，而∠BP′P和∠PP′B相等，均为45°，因为∠APB=135°，∠P′PB=45°，所以∠APP′=90°，又由于AP=3，BP=BP′=5，那么PP′=52，于是PC=P′A=32 （52）2
=59.上述解题方法，主要是通过旋转△BPC，使相关线段组成两个直角三角形，其中一个为等腰三角形而得出最后的解.
3.利用旋转求解不等关系的问题
【例3】 如图4，已知△ABC是正三角形，在三角形中任意取一点O，要求证明OA≤OB OC.
分析：这题由OA≤OB OC可以联想到“三角形两边之和大于第三边”的规律，此外从图形来看，需要证明的三条边都相对分散，肉眼不容易看出关系，那么同样要想办法将这三条边放在一个三角形当中，通过变换来得出结论.根据题意可以利用旋转变换将△BOC以B作为旋转中心，将其旋转到△BO′C的位置，从而确保三条边都能在同一个图形当中.
此题型和例1的解答较为相似，具体的解答过程不做过多讨论.从中可以结合如“两边之和大于第三边”的三边关系展开联想，由此来证实题目的解题结果.另外，还要看清题目给出的较为分散的条件，采用几何变换不改变大小的规律将这些分散的条件集中进行探讨，再从中寻求相关边长和角度之间的关系，就更容易厘清题目的含义，尽快找到解题思路.
4.利用旋转在四边形中求边或角的大小
【例4】 如图5，在四边形ABCD中，∠ADC=∠BAC=90°，AB=AD，如果四边形ABCD面积是24cm2，那么AC边长是多少？
[关键词]旋转变换；初中数学；几何问题
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2018）02002602
初中数学新课程标准中指出，学生可以通过实际存在的物体形状想象几何的图形，再由几何图形想象出实际物体的形象，这就是初中几何知识学习中学生必备的能力.初中几何涉及图形变换的内容包括平移、对称、旋转.长期以来的教学实践发现，学生的数学几何知识学习效果并不好，很多学生的知识运用能力、独立解题的能力相对较差.本文主要探讨巧用旋转变换解初中几何问题.
一、旋转变换的概念
若从平面到其自身的一个映射，并确保其中的一个定点保持不变，即对于任一点P映射到点P′，那么OP与OP′相等，∠POP′=θ，再从射线OP到OP′方向和给定的方向相同，这个映射也就是绕中心O，根据已知方向对θ进行旋转变换.如图1所示，那么O就是旋转的中心，θ就是旋转角.这个旋转变换的过程可记为R（O，θ）.如果旋转角以180°为中心进行对称变换，那么旋转中心也就是对称中心.
二、旋转变换的性质
在初中数学的几何知识中，旋转变换的内容包括四点性质：（1）一个图形与这个图形在旋转变换后得出的新图形全等；（2）如果旋转中心相同，连着进行两次旋转变换，那么依旧只是一個旋转变换，可用R（O，θ1）·R（O，θ2）=R（O，θ1 θ2）表示.对一个图形取点O作为旋转中心旋转θ1，在保持O的旋转中心不变的基础上再旋转θ2，那么得出来的图形也就是原图形以O为旋转中心旋转θ=θ1 θ2而得到的图形；（3）旋转变换的逆变换为旋转变换，用公式表示为R（O，θ）=R（O，-θ），通过一个图形将O作为旋转中心旋转θ，如果要让这个图形再次回到原有的位置，那么还需要以O作为旋转中心旋转-θ并经过变换才能实现；（4）非恒等变换的R（O，θ）没有二重线，但有明确的二重点，也就是旋转中心的点，如果将△ABC这个图形将C作为旋转中心旋转θ变成△A′B′C，观察这个新的三角形不难发现，其中的直线位置都发生了一定的变化，但是重合点却为C点，而这个点正是旋转中心.
三、巧用旋转变换解初中几何问题
1.利用旋转变换解决等边三角形的问题
【例1】 如图2，已知P是等边三角形ABC中的一点，PB=2，PC=1，AP=5，那么∠BPC大小为多少？
分析：由图2可知，图中的已知线段PA、PC、PB都不在同一个图形中，很多学生读题过程中不容易发现解题的思路与方法.在这种情况下，如果进行图形重组，让已知线段都能在一个三角形内，那么问题的思考也就更简单.从已知条件可知，三角形全等，存在三个60°的内角，所以可以通过旋转角为60°的图形进行旋转，旋转图形为三角形PP′C和2、1、5为边长的特殊三角形，得到结论是∠BPC为∠AP′P与60°的和，于是利用勾股定理逆定理可得出∠AP′P为90°，于是就能求解出∠BPC的大小.
解答：将△BPC以点C为中心顺时针旋转60°，得出△AP′C，结合旋转的性质可知CP=CP′，∠PCP′=60°.那么△PP′C就是等边三角形，而∠CP′P=60°.因为PB=2，PC=1，AP=5，因此AP′=2，而P′C=1，又因为22 12=（5）2，所以可以推算出∠AP′P=90°，即∠AP′C=90° 60°=150°，所以根据旋转的性质可以得出∠BPC=∠AP′C=150°的结论.
2.利用旋转变换解决直角三角形的旋转问题
【例2】 如图3，P是正方形ABCD中的一个点，∠BPA为135°，AP=3，BP=5，那么PC的长为多少？
分析：这题的解题方向与上题比较相似，根据题意可以得出AB=BC=CD=DA的结论.而正方形的内角都为90°，所以可以通过变换组成PA、PB、PC三边的三角形，而旋转的角度为90°.
解答：根据题意，将△BPP′以点B沿着顺时针方向旋转90°得出△AP′B，根据旋转的性质可知BP=BP′，∠PBP′=90°，P′A=PC，那么△BPP′就是等腰直角三角形，而∠BP′P和∠PP′B相等，均为45°，因为∠APB=135°，∠P′PB=45°，所以∠APP′=90°，又由于AP=3，BP=BP′=5，那么PP′=52，于是PC=P′A=32 （52）2
=59.上述解题方法，主要是通过旋转△BPC，使相关线段组成两个直角三角形，其中一个为等腰三角形而得出最后的解.
3.利用旋转求解不等关系的问题
【例3】 如图4，已知△ABC是正三角形，在三角形中任意取一点O，要求证明OA≤OB OC.
分析：这题由OA≤OB OC可以联想到“三角形两边之和大于第三边”的规律，此外从图形来看，需要证明的三条边都相对分散，肉眼不容易看出关系，那么同样要想办法将这三条边放在一个三角形当中，通过变换来得出结论.根据题意可以利用旋转变换将△BOC以B作为旋转中心，将其旋转到△BO′C的位置，从而确保三条边都能在同一个图形当中.
此题型和例1的解答较为相似，具体的解答过程不做过多讨论.从中可以结合如“两边之和大于第三边”的三边关系展开联想，由此来证实题目的解题结果.另外，还要看清题目给出的较为分散的条件，采用几何变换不改变大小的规律将这些分散的条件集中进行探讨，再从中寻求相关边长和角度之间的关系，就更容易厘清题目的含义，尽快找到解题思路.
4.利用旋转在四边形中求边或角的大小
【例4】 如图5，在四边形ABCD中，∠ADC=∠BAC=90°，AB=AD，如果四边形ABCD面积是24cm2，那么AC边长是多少？