影响二次函数在闭区间上最值问题的主要因素是二次函数图象的开口方向与所给区间和对称轴的位置关系.本文介绍有关二次函数在闭区间上最值问题的常见类型及解题策略，供同学们参考.
　　类型1定轴定区间
　　例1已知函数[f(x)=x2-2x]，求[f(x)]的最小值.
　　解[f(x)=x2-2x=(x-1)2-1]，
　　由图1可知，当[x=1]时，[f(x)min=-1].
　　变式1已知函数[f(x)=x2-2x]，[x∈[2,4]]，求[f(x)]的最小值.
　　解析由图1可知，函数[f(x)]在[[2,4]]为增函数，
　　[∴f(x)min=f(2)=0.]
　　变式2已知函数[f(x)=x2-2x]，[x∈[0,3]]，求[f(x)]的最大值.
　　解析由图1可知，函数[f(x)]在[[0,1]]上递减，在[[1,3]]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离.
　　[∴f(x)max=f(3)=3.]
　　例2已知二次函数[f(x)=ax2+4ax+a2-1]在区间[-4，1]上的最大值为5，求实数[a]的值.
　　解将二次函数配方得[f(x)=a(x+2)2+a2-][4a-1]，函数图象对称轴方程为[x=-2]，顶点坐标为[(-2，a2-4a-1)]，图象开口方向由[a]决定.很明显，其顶点横坐标在区间[-4，1]内.
　　①若[a<0]，函数图象开口向下，如下图2所示.当[x=-2]时，函数[f(x)]取得最大值5.
　　即[f(-2)=a2-4a-1=5]，解得[a=2±10].
　　故[a=2-10(a=2+10舍去)].
　　②若[a>0]，函数图象开口向上，如上图3所示，当[x=1]时，函数[f(x)]取得最大值5.
　　即[f(1)=5a+a2-1=5]，解得[a=1或a=-6]，故[a=1(a=-6舍去)].
　　综上可知：函数[f(x)]在区间[-4，1]上取得最大值5时，[a=2-10或a=1].
　　点拨求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图象，然后结合其图象研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置.在例1中，二次函数图象的开口、对称轴和区间都是固定的. 需注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小.在例2中，二次函数图象的对称轴和区间是固定的，但图象开口方向是随参数[a]变化的，要注意讨论.二次函数[f(x)=a(x-k)2+h][(a>0)]在区间[[m,n]]最值问题：
　　①若[k∈[m,n]]，则[f(x)min=f(k)=h]，[f(x)max=max{f(m),f(n)}].
　　②若[k∉[m,n]]，当[k　　当[k>n]时，[f(x)min=f(n)]，[f(x)max=f(m)].
　　
　　类型2定轴动区间
　　例3已知函数[y=x2-2x,x∈[-2,a]]，求函数的最小值[g(a).]
　　分析由于函数图象的对称轴为[x=1]，区间左端点固定，区间右端点的位置不能确定，所以需分两类讨论，即①对称轴在区间[[-2,a]]内，②对称轴在区间[[-2,a]]右侧.
　　解[∵]函数[y=x2-2x=(x-1)2-1],
　　①当[-2　　②当[a≥1]时，函数在[[-2,1]]上单调递减，在[[1,a]]上单调递增，则当[x=1]时，[ymin=-1].
　　综上可知[g(a)=a2-2a,-2　　例4已知函数[f(x)=-x22+x+6]在区间[[m,n]]上的值域是[[2m-2,2n-2]]，求[m、n]的值.
　　分析由于函数图象的对称轴为[x=1]，而区间左右端点值均含有参数，所以要分三类讨论，即①对称轴在区间右侧，②对称轴在区间内，③对称轴在区间左側.
　　解[∵f(x)=-x22+x+6=-12(x-1)2+132,]
　　①若[m　　②若[m<1　　故[2n-2=132]，得[n=174.]
　　由于[2m-2<0,f(n)=-12(174-1)2+132=3932>0,]
　　故[f(x)]在[x=m]处取最小值[2m-2.]
　　即[-12(m-1)2+132=2m-2]，解得[m=-1-17].
　　③若[1≤m　　解得[m=2,n=4.]
　　综上可知[m=-1-17n=174]或[m=2n=4].
　　点拨当二次函数解析式确定，但自变量取值区间变化时，需根据对称轴和区间的位置关系，对区间参数进行讨论.
　　
　　类型3动轴定区间
　　例5求[f(x)=x2-2ax-1]在区间[[0,2]]上的最大值和最小值.
　　分析因为有自变量有限制条件，要求函数最值，最好是先作出函数图象，作二次函数图象时先看开口方向，再看对称轴的位置，因为此函数图象对称轴[x=a.]位置不定，并且在不同的位置产生的结果也不同，所以要以对称轴的位置进行分类讨论.
　　解[f(x)=(x-a)2-1-a2]，对称轴为[x=a.]
　　①当[a<0]时，由图4可知，[f(x)min=f(0)=-1]，[f(x)max=f(2)=3-4a.]
　　②当[0≤a<1]时，由图5可知，[f(x)min=f(a)=-1-a2,][f(x)max=f(2)=3-4a.]
　　③当[1≤a≤2]时，由图6可知，[f(x)min=f(a)=-1-a2,][f(x)max=f(0)=-1.]
　　④当[a>2]时，由图7可知，[f(x)min=f(2)=3-4a,][f(x)max=f(0)=-1.]
　　例6已知二次函数[f(x)=-x2+2ax+1-a]在[[0，1]]上有最大值2，求[a]的值．
　　解[f(x)=-(x-a)2+a2-a+1]．
　　①当[a<0]时，[f(x)max=f(0)=2，]得[a=-1]．
　　②当[0≤a≤1]时，[f(x)max=f(a)=2]，解得[a=1±52∉[0，1]]，故该方程在[[0，1]]上无解．
　　③当[a>1]时，[f(x)max=f(1)=2]，得[a=2]．
　　综上可知：[a=-1]或[a=2]．
　　点拨当二次函数开口方向和给定区间固定，对称轴位置不确定时，只要讨论对称轴和给定区间的位置关系即可，结合图象需分两种或三种情况讨论.
　　
　　类型4动轴动区间
　　例7设[a]是正实数，[ax+y=2][(x≥0,y≥0).]若[y+3x-12x2]的最大值是[M(a).]求[M(a)]的表达式.
　　分析该题是二元函数求最大值，应先由[ax+y=2]解出[y]代入，消元，转化为关于[x]的二次函数，再求最大值.
　　解设[f(x)=y+3x-12x2]，由[ax+y=2]得[y=2-ax].
　　[∴f(x)=(2-ax)+3x-12x2=-12[x-(3-a)]2+12(3-a)2+2.]
　　[∵y≥0]，[∴2-ax≥0].
　　又[a>0,x≥0]，[∴x∈[0,2a].]
　　（1）当[0<3-a<2a(a>0)]即[0　　（2）当[3-a≥2a(a>0)]即[1≤a≤2]时，[M(a)=][f(2a)=-2a2+6a].
　　（3）当[3-a≤0]即[a≥3]时，[M(a)=f(0)=2].
　　[∴M(a)=12(3-a)2+2-2a2+6a2][(0　　点拨当二次函数对称轴和区间都不固定时，还是应先配方，理清函数对称轴和区间的位置关系，然后对参数进行讨论.通过前面二次函数在闭区间上的最值问题的四类题型，我们可以发现二次函数的最值总是在对称轴或区间端点处取得.
　　例8已知函数[f(x)=ax2+(2a-1)x-3][(a≠0)]在区间[[-32,2]]上最大值为1，求实数[a]的值.
　　分析若按常规方法从求函数最大值直接入手，则需作如下分类讨论：
　　①当[a<0]时，分三种情况讨论最大值；
　　②当[a>0]时，分两种情况讨论最大值.
　　一共有五种情形，过程繁琐.若从整体角度分析，注意到函数[f(x)]的最大值只可能产生在二次函数的顶点或端点处，这样可以先求函数[f(x)]在顶点和端点的函数值，再逐一验证参数的正确性即可.
　　解函数[f(x)]的最大值只能在[x1=-32]，或[x2=2]，或[x3=1-2a2a]处取得．
　　①令[f(-32)=1]，解得[a=-103]，此时[x0=1-2a2a=-2320∈-32，2]．故[f(x)]的最大值不可能在[x1]处取得．（[a=-103]，抛物线开口向下）
　　②令[f(2)=1]，解得[a=34]，此时[x0=1-2a2a=-13<-32+22]．故[f(x)max=f(2)]，得[a=34]，符合题意．
　　③令[f1-2a2a=1]，解得[a=-3±222]．要使[f(x)]在[x0=1-2a2a]处取得最大值，必须且只须[a<0]且[x0∈[-32,2]]，经检验，只有[a=-3+222]合题意．
　　综上可知：[a=34]或[a=-3+222]
　　点拨本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法.
　　求解二次函数在闭区间上的最值问题，关键是抓住“三点一轴”.“三点”即区间端点与区间中点，“一轴”即二次函数的对称轴，合理进行讨论.
　　[【练习】]
　　1．已知函数[y=x2-2x+3 , x∈[0,m]]上有最大值3，最小值2，则[m]的取值范围是（ ）
　　A. [  [1,+∞) ] B. [ [0,2]]
　　C. [ [1,2]] D. [(-∞,2]]
　　2．已知函数[f(x)=x2－2x＋2]的定义域和值域均为[[1，b]]，则[b＝].
　　3．已知定义在区间[0,3]上的函数[f(x)＝kx2－2kx]的最大值為3，那么实数[k]的取值范围为．
　　4．若函数[f(x)=-12x2+132]在区间[[a,b]]上的最大值为[2b]，最小值为[2a]，求区间[[a,b]].
　　[【参考答案】]
　　1. C 2. 23. {1，－3}
　　4．[1,3]或[-2-[17],[134]]