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探索型问题，向来是高考试题中亮丽的风景线，是命题者的最受。这类问题着重考察探究发现、类比转化以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力，是发散思维和收敛思维的集中体现，而立体几何探索型问题更是构建了数学的和谐美。
1、条件探索型
例1 （2007·湖北）如图1，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，
且AC=BC=α，∠VDC=θ（0<θ< ）。
（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（2）试确定角θ的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为
。
（1）证明：∵AB=BC=α，∴△ABC是等腰三角形，
又D是AB的中点，∴CD⊥AB，
又VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB。于是AB⊥平面VCD。
又AB 平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD。
（2）解：过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，则由⑴知CH⊥平面VAB。
连结BH，于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角。依题意∠CBH= ，所以在Rt△CHD中，CH= asinθ；
∵在R t△BHC中，CH=asin = ，∴sinθ= 。又0<θ< ，∴θ= 。
故当θ= 时，直线BC与平面VAB所成的角为 。
评注：题中给出了结论，不给出条件或条件残缺，需要根据给出的结论，探索结论成立的条件，但满足要求的条件往往不惟一，答案与已知条件对整个问题而言只要是充分的、相容的、独立的，就视为正确。解条件探索型问题时，一般是利用已知结论，进行逆向推理，推到终结点，便是所求条件，即执果索因的分析方法，有时也用由特殊到一般的归纳法。
2、结论探索型
例2 （2007·安徽）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）。
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体。
解：如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，取A，B，C，D四点，可得①矩形；
取B，A，C，B1四点，可得③中所述的几何体；
取A，C，D1，B1四点，可得④中所述的几何体；
取D，D1，A，B四点，可得⑤中所述的几何体。
故答案应填①③④⑤。
评注：本题是一道多选题，侧重于考查文字语言向图形语言的转译，并根据这两种语言提供的信息展开空间想象，去伪存真，它对于空间想象能力和思维判断能力有着较高的要求，是近几年高考题中出现较多的一种新颖题型。解决这类问题常用的方法有：一是先根据问题的条件分析答案的几种可能性；二是先探究答案的一般规律；三是通过观察条件的特点，将可能的答案逐个进行验证。
3、存在探索型
例3 （2007·宁夏）如图3，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=√2 ，等边三角形ADB以AB为轴转动。
（1）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
（2）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论。
解：（1）取AB的中点E，连结DE，CE。
因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB。
当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC=AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE。
由已知可得DE=3，EC=1，
在Rt△DEC中，CD=√ DE?+EC?=2。
（2）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD。
证明：①当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即CD。
②当D不在平面ABC内时，由⑴知AB⊥DE。
又AC=BC，所以AB⊥CE。又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD∩平面CDE，得AB⊥CD。
综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD。
评注：这是一道存在探索型问题，在运动变化的过程中，利用分类讨论的数学思想，在探究建构过程中解决问题，体现数学的和谐美。
4、方法探索型
例4 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB，BC的中点，EF交BD于H。⑴求二面角B1-EF-B的大小 ⑵在棱B B1上是否存在一点M使D1M⊥面EFB1？并证明你的结论。
解：⑴连B1H，则B1H在面ABCD内的射影分为DB。
∵DB⊥EF，∴B1H⊥EF，∴∠B1HB是二面角B1-EF-B的平面角。
tan∠B1HB= =2√2 ，
∴二面角B1-EF-B大小为arctan2√2 ，
⑵假设在棱BB1上存在一点M，使D1M⊥平面EFB1
∵DB⊥EF ∴D1M⊥EF ∴要使D1M⊥平面EFB1，
只需D1M⊥EB1，连A1E，∵D1A1⊥平面ABB1A1 ∴D1M⊥EB1
等价于A1M⊥EB1，由平面几何知识点，当且仅当M为BB1中点时，A1M⊥EB1
因此，当且仅当M为BB1中点时D1M⊥平面EFB1
评注：解决存在探索型问题一般有三种方法：一是先假设符合条件的数学对象存在，然后进行运算和推理，如果经过运算后能求出这个对象或经过推理后没有产生矛盾，那么说明符合条件的对象存在；二是具体找出一个符合条件的数学对象，从而证明其存在；三是探究符合条件的数学对象存在的可能性有几种情况，然后针对这几种情况进行具体分析。
1、条件探索型
例1 （2007·湖北）如图1，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，
且AC=BC=α，∠VDC=θ（0<θ< ）。
（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（2）试确定角θ的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为
。
（1）证明：∵AB=BC=α，∴△ABC是等腰三角形，
又D是AB的中点，∴CD⊥AB，
又VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB。于是AB⊥平面VCD。
又AB 平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD。
（2）解：过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，则由⑴知CH⊥平面VAB。
连结BH，于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角。依题意∠CBH= ，所以在Rt△CHD中，CH= asinθ；
∵在R t△BHC中，CH=asin = ，∴sinθ= 。又0<θ< ，∴θ= 。
故当θ= 时，直线BC与平面VAB所成的角为 。
评注：题中给出了结论，不给出条件或条件残缺，需要根据给出的结论，探索结论成立的条件，但满足要求的条件往往不惟一，答案与已知条件对整个问题而言只要是充分的、相容的、独立的，就视为正确。解条件探索型问题时，一般是利用已知结论，进行逆向推理，推到终结点，便是所求条件，即执果索因的分析方法，有时也用由特殊到一般的归纳法。
2、结论探索型
例2 （2007·安徽）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）。
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体。
解：如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，取A，B，C，D四点，可得①矩形；
取B，A，C，B1四点，可得③中所述的几何体；
取A，C，D1，B1四点，可得④中所述的几何体；
取D，D1，A，B四点，可得⑤中所述的几何体。
故答案应填①③④⑤。
评注：本题是一道多选题，侧重于考查文字语言向图形语言的转译，并根据这两种语言提供的信息展开空间想象，去伪存真，它对于空间想象能力和思维判断能力有着较高的要求，是近几年高考题中出现较多的一种新颖题型。解决这类问题常用的方法有：一是先根据问题的条件分析答案的几种可能性；二是先探究答案的一般规律；三是通过观察条件的特点，将可能的答案逐个进行验证。
3、存在探索型
例3 （2007·宁夏）如图3，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=√2 ，等边三角形ADB以AB为轴转动。
（1）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
（2）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论。
解：（1）取AB的中点E，连结DE，CE。
因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB。
当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC=AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE。
由已知可得DE=3，EC=1，
在Rt△DEC中，CD=√ DE?+EC?=2。
（2）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD。
证明：①当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即CD。
②当D不在平面ABC内时，由⑴知AB⊥DE。
又AC=BC，所以AB⊥CE。又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD∩平面CDE，得AB⊥CD。
综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD。
评注：这是一道存在探索型问题，在运动变化的过程中，利用分类讨论的数学思想，在探究建构过程中解决问题，体现数学的和谐美。
4、方法探索型
例4 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB，BC的中点，EF交BD于H。⑴求二面角B1-EF-B的大小 ⑵在棱B B1上是否存在一点M使D1M⊥面EFB1？并证明你的结论。
解：⑴连B1H，则B1H在面ABCD内的射影分为DB。
∵DB⊥EF，∴B1H⊥EF，∴∠B1HB是二面角B1-EF-B的平面角。
tan∠B1HB= =2√2 ，
∴二面角B1-EF-B大小为arctan2√2 ，
⑵假设在棱BB1上存在一点M，使D1M⊥平面EFB1
∵DB⊥EF ∴D1M⊥EF ∴要使D1M⊥平面EFB1，
只需D1M⊥EB1，连A1E，∵D1A1⊥平面ABB1A1 ∴D1M⊥EB1
等价于A1M⊥EB1，由平面几何知识点，当且仅当M为BB1中点时，A1M⊥EB1
因此，当且仅当M为BB1中点时D1M⊥平面EFB1
评注：解决存在探索型问题一般有三种方法：一是先假设符合条件的数学对象存在，然后进行运算和推理，如果经过运算后能求出这个对象或经过推理后没有产生矛盾，那么说明符合条件的对象存在；二是具体找出一个符合条件的数学对象，从而证明其存在；三是探究符合条件的数学对象存在的可能性有几种情况，然后针对这几种情况进行具体分析。