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摘要：留数定理是留数理论的基础，它为某些类型积分的计算提供了极为有效的方法，是教学中的重点也是难点。本文从定理的引入、定理的理解、定理的应用三个方面对留数定理的教学设计进行探讨，并在教学中付诸实践，旨在充分调动学生学习的积极性，引导学生理解定理内涵，达到学以致用的目的。
关键词：留数定理;教学设计;教学实践
留数定理是《复变函数与积分变换》课程中非常重要的一个定理，是教学中的重点也是难点。留数定理是留数理论的基础，柯西-古萨定理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况。应用留数定理可以把计算沿闭曲线的积分转化为计算在孤立奇点处的留数，应用留数定理还可以计算一些定积分和广义积分，其中有些积分，在高等数学中已经计算过，但计算时比较复杂，用留数理论可以在分类后作统一处理，所以留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重要意义。
本文结合笔者自身的教学实践，不断总结多次教学中的优缺点，从定理的引入、定理的理解、定理的应用三个方面探索留数定理的教学方法，帮助学生更好地理解这部分内容，达到灵活应用的目的。
1关于留数定理的引入
学生在之前的学习过程中已经掌握了一些求复积分的方法，如：参数方程法、牛顿-莱布尼兹公式、柯西-古萨定理、柯西积分公式、高阶导数公式、复合闭路定理等，这些方法可以解决一些复积分的求解问题，但是遇到下面的问题，以上方法就没办法解决了。
例1：计算
在教学的过程中，可以先给出例1，采用启发式教学，请同学们先思考这个积分如何去求解，用之前学习过的求解复积分的方法是否可以解决，学生通过积极思考发现这个问题用学过的方法没办法解决，这个时候可以告诉同学们将学习一种新的方法解決以上问题。接下来的教学环节，逐步引入留数的定义、留数定理以及用留数定理具体计算积分，学生带着问题去学习新内容有助于激发学生的学习兴趣，更好的理解定理的内容和应用。
2留数及留数定理
定义1 如果z0是f（z）的孤立奇点，函数f（z）在区域0<|z-z0|0的留数，记作Res[f（z），z0]，这里积分是沿着C按逆时针方向取的。
留数的定义提出后，需要和学生强调以下几个问题：
（1）我们定义的留数Res[f（z），z0]与圆C的半径r无关;
（2）f（z）在孤立奇点z0的留数等于其洛朗级数展式中的系数。
（3）由第二点可知，可去奇点处的留数为零。
（4），可得，定义1给出了求解复积分的另一种方法，此式可以计算被积函数有一个孤立奇点包含在积分曲线内部的复积分的计算。
将这种方法推广到一般，积分曲线内含有被积函数若干个孤立奇点，引出本节课最重要的内容留数定理：
定理1（留数定理）设f（z）在D内除去有孤立奇点z1，z2，…，zn外处处解析，C是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么
此定理把沿一条闭路曲线C的积分，归结为求C内各孤立奇点处的留数和，当我们能够用一些简便方法求出留数，便解决了一类积分的计算问题。
留数定理引出之后，接下来的教学重点就是留数的计算，提醒学生除了用定义求留数外，还可以根据孤立奇点的分类计算留数，并将方法进行总结。
①：可取奇点处的留数为零。
②：本性奇点处的留数要用定义进行计算，即洛朗级数展式中负一次项的系数。
至此，留数的概念、留数的计算、留数定理全部给出，接下来便是定理的应用问题。
3留数定理的应用
回到课前提出的问题：计算，在这里可以启发学生自己完成这一例题，当同学们用学习的新方法解决了这道题目，自信心增强，同时对定理的记忆和理解更为深刻。
另外，复积分的常用计算方法有多种，有些时候同一问题有多种方法解决，可以举一例题，要求学生除了用留数定理解决，再用一种其他方法，这样既可以帮助学生开拓思路，又复习了之前学过的内容。
留数定理除了可以计算复函数积分，也为实变函数定积分的计算提供了极为有效的方法，特别是当被积函数的原函数不易求得时更显得有用，此外，留数定理在某些无穷项级数求和问题、在Laplace逆变换中也都有着重要的应用。在教学实践中，即使存在课时紧张的情况下，也应向同学们介绍所学知识的实际应用，激发学生的学习兴趣，使学生明确所学内容有着广泛的实际应用，是非常有价值的。
4结语
在留数定理的教学中，我们从定理的引入、定理的理解、定理的应用三个方面探索留数定理的教学方法，全程采用启发式教学，除了将概念定理讲清楚之外，例题的求解穿插于整个教学过程，提醒学生善于总结反思，通过这样的教学方式，极大地调动了学生的学习积极性，既能让学生理解枯燥难懂的定理，又能激发学生的学习兴趣，培养学生思维的深刻性、创造性，让学生能够学以致用，取得了良好的教学效果。
在今后的教学中，将进一步探索复变函数与积分变换课程的教学，理论与实际相结合，提高学生的专业应用能力，培养出更多适应社会发展的应用型人才。
参考文献
[1] 华中科技大学数学系.复变函数与积分变换[M].第二版.北京：高等教育出版社，2003.
[2] 西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].第二版.北京：高等教育出版社，1996.
关键词：留数定理;教学设计;教学实践
留数定理是《复变函数与积分变换》课程中非常重要的一个定理，是教学中的重点也是难点。留数定理是留数理论的基础，柯西-古萨定理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况。应用留数定理可以把计算沿闭曲线的积分转化为计算在孤立奇点处的留数，应用留数定理还可以计算一些定积分和广义积分，其中有些积分，在高等数学中已经计算过，但计算时比较复杂，用留数理论可以在分类后作统一处理，所以留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重要意义。
本文结合笔者自身的教学实践，不断总结多次教学中的优缺点，从定理的引入、定理的理解、定理的应用三个方面探索留数定理的教学方法，帮助学生更好地理解这部分内容，达到灵活应用的目的。
1关于留数定理的引入
学生在之前的学习过程中已经掌握了一些求复积分的方法，如：参数方程法、牛顿-莱布尼兹公式、柯西-古萨定理、柯西积分公式、高阶导数公式、复合闭路定理等，这些方法可以解决一些复积分的求解问题，但是遇到下面的问题，以上方法就没办法解决了。
例1：计算
在教学的过程中，可以先给出例1，采用启发式教学，请同学们先思考这个积分如何去求解，用之前学习过的求解复积分的方法是否可以解决，学生通过积极思考发现这个问题用学过的方法没办法解决，这个时候可以告诉同学们将学习一种新的方法解決以上问题。接下来的教学环节，逐步引入留数的定义、留数定理以及用留数定理具体计算积分，学生带着问题去学习新内容有助于激发学生的学习兴趣，更好的理解定理的内容和应用。
2留数及留数定理
定义1 如果z0是f（z）的孤立奇点，函数f（z）在区域0<|z-z0|
留数的定义提出后，需要和学生强调以下几个问题：
（1）我们定义的留数Res[f（z），z0]与圆C的半径r无关;
（2）f（z）在孤立奇点z0的留数等于其洛朗级数展式中的系数。
（3）由第二点可知，可去奇点处的留数为零。
（4），可得，定义1给出了求解复积分的另一种方法，此式可以计算被积函数有一个孤立奇点包含在积分曲线内部的复积分的计算。
将这种方法推广到一般，积分曲线内含有被积函数若干个孤立奇点，引出本节课最重要的内容留数定理：
定理1（留数定理）设f（z）在D内除去有孤立奇点z1，z2，…，zn外处处解析，C是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么
此定理把沿一条闭路曲线C的积分，归结为求C内各孤立奇点处的留数和，当我们能够用一些简便方法求出留数，便解决了一类积分的计算问题。
留数定理引出之后，接下来的教学重点就是留数的计算，提醒学生除了用定义求留数外，还可以根据孤立奇点的分类计算留数，并将方法进行总结。
①：可取奇点处的留数为零。
②：本性奇点处的留数要用定义进行计算，即洛朗级数展式中负一次项的系数。
至此，留数的概念、留数的计算、留数定理全部给出，接下来便是定理的应用问题。
3留数定理的应用
回到课前提出的问题：计算，在这里可以启发学生自己完成这一例题，当同学们用学习的新方法解决了这道题目，自信心增强，同时对定理的记忆和理解更为深刻。
另外，复积分的常用计算方法有多种，有些时候同一问题有多种方法解决，可以举一例题，要求学生除了用留数定理解决，再用一种其他方法，这样既可以帮助学生开拓思路，又复习了之前学过的内容。
留数定理除了可以计算复函数积分，也为实变函数定积分的计算提供了极为有效的方法，特别是当被积函数的原函数不易求得时更显得有用，此外，留数定理在某些无穷项级数求和问题、在Laplace逆变换中也都有着重要的应用。在教学实践中，即使存在课时紧张的情况下，也应向同学们介绍所学知识的实际应用，激发学生的学习兴趣，使学生明确所学内容有着广泛的实际应用，是非常有价值的。
4结语
在留数定理的教学中，我们从定理的引入、定理的理解、定理的应用三个方面探索留数定理的教学方法，全程采用启发式教学，除了将概念定理讲清楚之外，例题的求解穿插于整个教学过程，提醒学生善于总结反思，通过这样的教学方式，极大地调动了学生的学习积极性，既能让学生理解枯燥难懂的定理，又能激发学生的学习兴趣，培养学生思维的深刻性、创造性，让学生能够学以致用，取得了良好的教学效果。
在今后的教学中，将进一步探索复变函数与积分变换课程的教学，理论与实际相结合，提高学生的专业应用能力，培养出更多适应社会发展的应用型人才。
参考文献
[1] 华中科技大学数学系.复变函数与积分变换[M].第二版.北京：高等教育出版社，2003.
[2] 西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].第二版.北京：高等教育出版社，1996.