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【摘要】“构造法”作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着重要的作用.本文从“构造函数”、“构造方程”等常见“构造”例谈构造法在数学解题中的运用.
【关键词】构造；数学解题
有时对我们所碰到的数学题用常规的思路和方法难以解决，那么我们可以根据题目的结构特征，通过直觉观察、联想及猜想等思维活动，用已知条件中的元素和关系式构造一种新的数学形式，如方程、函数、图形等，以找到一条绕过障碍的新途径，从而使问题得到解决.这种以“构造”为特征的解题方法称为构造法.应用构造法解题，可以打破常规，另辟蹊径，巧妙地解决问题，它在数学解题中有着广泛的应用.本文就数学解题中的几种构造法作简要介绍.
1.构造表达式及公式
例1 已知x，y，z均为实数，且xy≠-1，yz≠-1，xz≠-1.
求证：x-y1+xy+y-z1+yz+z-x1+zx=x-y1+xy•y-z1+yz•z-x1+zx.
分析 欲证结论的结构为三数之和等于三数之积的形式，这与我们所熟悉的△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA×tanB×tanC十分类似，因而启发我们构造表达式x=tanα，y=tanβ，z=tanγ，原问题等价于证明
tan(α-β)+tan(β-γ)+tan(γ-α)=tan(α-β)•tan(β-γ)tan(γ-α).
（1）
而由式中的各角的结构特点，问题是不难解决的.
由以上分析可知，欲证原式成立，只需证（1）式成立.
证明 ∵（α-β）+（β-γ）+（γ-α）=0，
∴（α-β）+（β-γ）=-（γ-α），
∴tan［(α-β)+(β-γ)］=tan［-(γ-α)］.
即tan(α-β)+tan(β-γ)1-tan(α-β)tan(β-γ)=-tan(γ-α).
即tan(α-β)+tan(β-γ)+tan(γ-α)=tan(α-β)•tan(β-γ)tan(γ-α).
又 tanα=x，tanβ=y，tanγ=z，于是有
x-y1+xy+y-z1+yz+z-x1+zx=x-y1+xy•y-z1+yz•z-x1+zx.
故原命题得证.
本题从结论的结构形式特征入手，构造公式tanA+tanB+tanC=tanA×tanB×tanC，由此得到原题的简捷证法.应用此公式，可得到具有三数之和等于三数之积特征的一类问题的最优解法.
2.构造方程、方程组
例2 在等比数列{an}中，a1+an=66，a2an-1=128，且前n项的和Sn=126，求 n及公比q.
分析 此题可以建立方程组求解，但计算量比较大.换个方法我们可以利用等比数列的性质得到a1，an的和与积，利用韦达定理构造一个以a1，an为两根的方程，然后通过解一个一元二次方程就可以得解.
解 ∵a1an=a21qn-1，a2an-1=a21qn-1，
∴a1an=a2an-1=128.
又 a1+an=66，
∴a1，an是方程x2-66x+128=0的两根.
解方程，得x1=2，x2=64.
∴a1=2，an=64或a1=64，an=2.
（1）若a1=2，an=64，显然q≠1，由a1-anq1-q=126，得q=2.
又 an=a1qn-1，∴2n-1=32，n=6.
(2)若a1=64，an=2时，同理可求q=12，n=6.
综上所述n=6，q=2或12.
3.构造函数
例3 已知关于x的不等式|x-1|>x2+a的解集A≠且A（-∞，0），求实数a的取值范围.
分析 此不等式求解比较困难，我们可以在不等号两边构造两个函数，利用函数的性质求解.
解 设f(x)=|x-1|，g(x)=x2+a， f(x)=|x-1|是一条折线，g(x)=x2+a是顶点为（0，a）、开口向上的抛物线，由题意知，两个图像有两个交点且都在y轴的左方，因此不等式|x-1|>x2+a的解集A≠且A（-∞，0），等价于方程1-x=x2+a有两个不相等的非正根，化简为x2+x+a-1=0，方程较大的根-1+5-4a2≤0，由此得1≤a<54.
理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的认识上的飞跃.很多数学命题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味.
4.构造不等式
例4 已知直线l过点P(1，4)，求它在两坐标轴正向截距之和最小时的方程.
分析 设已知直线l在两坐标轴正向截距分别为a，b，原题化归为求(a+b)取最小值时的直线方程xa+yb=1，其中关键是构造(a+b)取最小值的不等式.
解 设直线l的方程为xa+yb=1.
由点P(1，4)在直线l上，可得
1a+4b=1(a>0，b>0).
(1)
由此a+b=(a+b)1a+4b=5+ba+4ab
≥5+2ba•4ab=9ba>0，4ab>0.
当且仅当ba=4ab，代入(1)，得a=3，b=6，(a+b)取到最小值9.
所求直线方程为x3+y6=1.
5.构造图形
华罗庚曾说过，“数离开形少直观，形离开数难入微”，利用数形结合的思想，可沟通代数与几何的关系，使得难题巧解.
例5 设有7个人参加了一次晚会，每个人都与另外六人握一次手，问：共握手几次？
分析 用Ai(i=1，2，…，7)7个点分别表示参加晚会的七个人，两人握一次手用一条连接该两点的边来表示，则握手次数就是该图的边数.
解 7人握手的次数为
7(7-1)2=21(次).
一般来讲，代数问题较为抽象，若能通过构造将之合理转化为几何问题，利用“数形结合”这一重要思想方法往往可增强问题的直观性，使解答事半功倍或独具匠心.
6.构造数列
例6 求(x+1)+（x+1）2+(x+1)3+…+(x+1)30的展开式中x2项的系数.
分析 可以构造等比数列{an}，首项a1=x+1，公比q=x+1.利用等比数列的前n项和公式可以先化简原式，然后用二项式定理求x2项的系数.
解 （x+1）+(x+1)2+(x+1)3+…+(x+1)30
=(x+1)［1-(x+1)30］1-(x+1)
=(x+1)31x-x+1x.
含有x2项的系数为C331=4495.
相当多的数学问题，如证明不等式，尝试一下“构造数列”能产生意想不到的效果.
从以上各例不难看出，构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法.运用构造法解数学题可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣，更重要的是可开拓思维空间，启迪智慧，并对培养多元化思维和创新精神大有裨益.
【参考文献】
［1］郑隆炘，汤光宋，等.中学数学解题教程［M］.武汉：华中理工大学出版社，2009.
［2］戴再平，等.数学方法与解题研究［M］.北京：高等教育出版社，1996.
【关键词】构造；数学解题
有时对我们所碰到的数学题用常规的思路和方法难以解决，那么我们可以根据题目的结构特征，通过直觉观察、联想及猜想等思维活动，用已知条件中的元素和关系式构造一种新的数学形式，如方程、函数、图形等，以找到一条绕过障碍的新途径，从而使问题得到解决.这种以“构造”为特征的解题方法称为构造法.应用构造法解题，可以打破常规，另辟蹊径，巧妙地解决问题，它在数学解题中有着广泛的应用.本文就数学解题中的几种构造法作简要介绍.
1.构造表达式及公式
例1 已知x，y，z均为实数，且xy≠-1，yz≠-1，xz≠-1.
求证：x-y1+xy+y-z1+yz+z-x1+zx=x-y1+xy•y-z1+yz•z-x1+zx.
分析 欲证结论的结构为三数之和等于三数之积的形式，这与我们所熟悉的△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA×tanB×tanC十分类似，因而启发我们构造表达式x=tanα，y=tanβ，z=tanγ，原问题等价于证明
tan(α-β)+tan(β-γ)+tan(γ-α)=tan(α-β)•tan(β-γ)tan(γ-α).
（1）
而由式中的各角的结构特点，问题是不难解决的.
由以上分析可知，欲证原式成立，只需证（1）式成立.
证明 ∵（α-β）+（β-γ）+（γ-α）=0，
∴（α-β）+（β-γ）=-（γ-α），
∴tan［(α-β)+(β-γ)］=tan［-(γ-α)］.
即tan(α-β)+tan(β-γ)1-tan(α-β)tan(β-γ)=-tan(γ-α).
即tan(α-β)+tan(β-γ)+tan(γ-α)=tan(α-β)•tan(β-γ)tan(γ-α).
又 tanα=x，tanβ=y，tanγ=z，于是有
x-y1+xy+y-z1+yz+z-x1+zx=x-y1+xy•y-z1+yz•z-x1+zx.
故原命题得证.
本题从结论的结构形式特征入手，构造公式tanA+tanB+tanC=tanA×tanB×tanC，由此得到原题的简捷证法.应用此公式，可得到具有三数之和等于三数之积特征的一类问题的最优解法.
2.构造方程、方程组
例2 在等比数列{an}中，a1+an=66，a2an-1=128，且前n项的和Sn=126，求 n及公比q.
分析 此题可以建立方程组求解，但计算量比较大.换个方法我们可以利用等比数列的性质得到a1，an的和与积，利用韦达定理构造一个以a1，an为两根的方程，然后通过解一个一元二次方程就可以得解.
解 ∵a1an=a21qn-1，a2an-1=a21qn-1，
∴a1an=a2an-1=128.
又 a1+an=66，
∴a1，an是方程x2-66x+128=0的两根.
解方程，得x1=2，x2=64.
∴a1=2，an=64或a1=64，an=2.
（1）若a1=2，an=64，显然q≠1，由a1-anq1-q=126，得q=2.
又 an=a1qn-1，∴2n-1=32，n=6.
(2)若a1=64，an=2时，同理可求q=12，n=6.
综上所述n=6，q=2或12.
3.构造函数
例3 已知关于x的不等式|x-1|>x2+a的解集A≠且A（-∞，0），求实数a的取值范围.
分析 此不等式求解比较困难，我们可以在不等号两边构造两个函数，利用函数的性质求解.
解 设f(x)=|x-1|，g(x)=x2+a， f(x)=|x-1|是一条折线，g(x)=x2+a是顶点为（0，a）、开口向上的抛物线，由题意知，两个图像有两个交点且都在y轴的左方，因此不等式|x-1|>x2+a的解集A≠且A（-∞，0），等价于方程1-x=x2+a有两个不相等的非正根，化简为x2+x+a-1=0，方程较大的根-1+5-4a2≤0，由此得1≤a<54.
理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的认识上的飞跃.很多数学命题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味.
4.构造不等式
例4 已知直线l过点P(1，4)，求它在两坐标轴正向截距之和最小时的方程.
分析 设已知直线l在两坐标轴正向截距分别为a，b，原题化归为求(a+b)取最小值时的直线方程xa+yb=1，其中关键是构造(a+b)取最小值的不等式.
解 设直线l的方程为xa+yb=1.
由点P(1，4)在直线l上，可得
1a+4b=1(a>0，b>0).
(1)
由此a+b=(a+b)1a+4b=5+ba+4ab
≥5+2ba•4ab=9ba>0，4ab>0.
当且仅当ba=4ab，代入(1)，得a=3，b=6，(a+b)取到最小值9.
所求直线方程为x3+y6=1.
5.构造图形
华罗庚曾说过，“数离开形少直观，形离开数难入微”，利用数形结合的思想，可沟通代数与几何的关系，使得难题巧解.
例5 设有7个人参加了一次晚会，每个人都与另外六人握一次手，问：共握手几次？
分析 用Ai(i=1，2，…，7)7个点分别表示参加晚会的七个人，两人握一次手用一条连接该两点的边来表示，则握手次数就是该图的边数.
解 7人握手的次数为
7(7-1)2=21(次).
一般来讲，代数问题较为抽象，若能通过构造将之合理转化为几何问题，利用“数形结合”这一重要思想方法往往可增强问题的直观性，使解答事半功倍或独具匠心.
6.构造数列
例6 求(x+1)+（x+1）2+(x+1)3+…+(x+1)30的展开式中x2项的系数.
分析 可以构造等比数列{an}，首项a1=x+1，公比q=x+1.利用等比数列的前n项和公式可以先化简原式，然后用二项式定理求x2项的系数.
解 （x+1）+(x+1)2+(x+1)3+…+(x+1)30
=(x+1)［1-(x+1)30］1-(x+1)
=(x+1)31x-x+1x.
含有x2项的系数为C331=4495.
相当多的数学问题，如证明不等式，尝试一下“构造数列”能产生意想不到的效果.
从以上各例不难看出，构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法.运用构造法解数学题可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣，更重要的是可开拓思维空间，启迪智慧，并对培养多元化思维和创新精神大有裨益.
【参考文献】
［1］郑隆炘，汤光宋，等.中学数学解题教程［M］.武汉：华中理工大学出版社，2009.
［2］戴再平，等.数学方法与解题研究［M］.北京：高等教育出版社，1996.