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一、未教而已知：一个常见的现象
小学阶段中几何形体的课，如周长面积计算等内容，随着学生知识的迁移，或者在课前通过看书预习和其他渠道，经常有学生在上课前已经知道了计算的公式和其他一些知识。面对这样的情况，常常引发我这样的思考：
1 学生是真的会了吗?未经学生自我体认的知识能成为真正的数学知识吗?
2 这类课是上成探索课还是上成验证课?教师应用怎样的策略才是有教学价值的?
二、课堂与调查：一次有效的教研
在今年的校教科节上，学校邀请了嘉兴市名师顾志能老师给大家作了一堂“圓的周长”的示范课。以下是这节课的教学过程。
教学过程：
1 课始调查：说说你已经知道了哪些有关圆的知识?学生纷纷举手发言，有不少学生说到了圆周率是3.1415926是3.14。
2 自主探索、验证：顾老师抛出第一个质疑点：《周髀算经》上说“周三径一”。“为什么圆周率会有这么多的答案呢?到底哪个才是对的?你怎么证明自己的观点呢?”于是学生纷纷动手，用绳子、圆盖、尺子等工具进行操作计算来验证自己的答案。交流时，学生算出圆周率是3.1204、2 1567、3.1356等等五花八门的答案。这时老师又抛出第二个质疑点：“为什么答案会不一样?”“这么多答案有什么共同点吗?”一石激起千层浪，点燃学生思维的火花，学生们反应积极，发言异常热烈!最后得出“圆周长一定是直径的三倍多一点”。
3 师生合作，验证：老师在投影仪下操作，让学生看清测量的方法，并让学生记录测量的数据，然后用计算器算出测量的结果是3.1395348837209……
4 借助课件介绍圆周率从古至今的形成过程和不断精确的过程。
5 练习：通过四道习题的练习，让学生知道如何求圆的周长，以及在不同情况下，圆周率取值的精确性要根据实际情况进行。
如行云流水般的课堂教学，真是运用自如，一气呵成啊。整堂课学生、听课老师都和顾老师一起融合在一起，沉浸在浓厚的数学文化氛围中，同学们一个个那么专注的眼神、脸上的表情随着课的进展而丰富的表现着，我突然有股冲动，课后，我一定要去采访一下这些学生，了解一下学生究竟是如何在想?在想些什么?以下是我到学生中做的调查问卷的结果。
[课前]
1 你已经知道圆周率用什么字母表示，知道π＝( )了吗?(知道的占95.12％)
2 你已经理解了圆周率代表的是什么、知道它是怎么算出来的?(知道的占17.07％)
3 你已经知道圆的周长计算方法，会计算了吗?(会算的占48.78％)
4 你们还知道哪些课外知识?(有60％的学生说已经知道无限不循环小数，知道是祖冲之发现的)
5 你最想在课堂上了解什么知识?想怎么学?(1 古代的人怎样计算圆周率?2圆周率是怎样算出来的?谁第一个发现的?3已经算到几位了?4最想查阅资料，想通过玩的方式，通过推导学习，想自己量一量，算一算。)
课中
课中你最喜欢哪几个环节?
1 自己操作测量计算(68.29％)。
2 师生合作测量(36.58％)。
3 课件演示科学家从古至今的演算过程(100％)。
4 解决问题计算神舟七号运动轨迹(12.20％)。
[课后]
1，你评价一下今天自己学习的状态?认为自己非常专注的占了805％；比较专注的占2195％。
2 课前最想了解的知识已经学到了吗?(认为学到的占95.12％)
三、验证和探求：一条可行的策略
这次教学活动给了我一点深刻的思考：教学如何寻找知识的起点，找准学生的已有知识基础是我们实施有效教学的重要条件，只有找到学习的起点，才能抓住学生的学习兴奋点，教学才会有效，而这个教学活动就很好地说明了这一点。 (一)找准知识起点：验证已知的“3.14”。 从学生的问卷中可以了解到，圆周率这个概念大部分学生都已经从书上了解了，也说得出来是3.14……，但是怎么会是这样一个数据，这个数据真的是每个圆都具有的吗?显然学生要真正理解它的意义并明晰原理比较难，对这个知识的深层理解还是欠缺的。 对于学生似懂非懂的地方需要通过活动自己来探究明白。顾老师十分轻松地便将学生的思绪引上了动手操作的轨道上，安排的第一个环节就是通过自己的努力去发现圓周长与直径的关系，即圆周率，来感知这个数据的含义。虽然得到的结果有差异，不能出现非常标准的一个数据，但这些数据是学生通过自己的动手操作来完成的，学生经历了一个知识形成的过程，从书中的314变为了自己掌握理解的3，14，这个验证过程让每一位学生感受到了圓周长与直径的关系是3倍多一点。留在学生头脑中的2 14不会光是一个机械的数字，而是马上能与操作过程联系到一起的一个活生生的数据。
(二)拓展知识教学：探求未知的“３.14”。
学生最想学什么?他们在哪个地方存在困惑7顾老师牢牢地抓住了学生的需求心理。学生一开始还是满怀信心地想通过实验操作来证明自己的答案是正确的，但发现通过自己的操作无法完成时，他们把全部的希望放在了老师身上。但当发现老师最后的结果也是不同时，此时学生处于了极度的矛盾之中。恰巧教师一句：“到底是什么出了问题呢?”一下子学生便豁然开朗起来，肯定是自己实验的方法出了问题。一切都像是在预料之外，但好像却又似乎是在情理之中。当自己寻求不到答案的时候，教师来主导，圆周率到底是怎么样算出来的呢?于是一边带着疑问，一边看古代数学家测量的方法。当看到祖冲之等数学家从正六边形一一正十二边形一一正二十四边形一一才算出3，1415926时。学生恍然大悟，原来真正的答案是要这么复杂的计算才能得来的，让学生惊叹于前人在钻研过程中的智慧。
而正确的圆周率到底是多少呢?顾老师并没有就此下结论，而是又介绍了在计算机的帮助下，最近算出的圆周率到了多少位，才和学生一起得出圆周率的结论：圆周率是一个近似数，一般为了计算方便取它的值为3.14。学生在了解人类从古至今发现圆周率的过程和不断精确的过程中，也感受到了中华民族灿烂的数学文化，体会到了数学的美，同时也正确处理了学生在课堂上需求矛盾这一组关键问题。
四、实践与探索：一种图形教学的经验
“动手操作、自主探索、合作交流”是新课程倡导的学习方式，在“空间与图形”这一数学领域，学生的自主探索具有重要的意义，受到师生的青睐。小学阶段，“空间与图形”可以分为三个板块：1，图形的认识与认证。2，图形测量与计算(线、面、体)。3图形的位置与变换。因此，教师要有意识地通过玩、做、悟、引等方式组织学生学习。 玩。“图形的认识”这一板块，我们就可以采用“玩”的形式，让学生对所需要研究的图形，通过“量、折、比、拼、摆、画”等一系列操作活动，来达到丰富学生的感性认识，发展其空间观念的目的。可采用让学生回忆生活经验、观察实物、动手操作、想象、情境描述等活动化的呈现方式，在观察、操作、有条理的思考和推理、交流等活动中，获得鲜明、生动和形象的认识，进而形成表象，经历从现实空间中抽象出几何图形的过程，探索图形性质及其变化规律的过程。 做。在学习“三角形的稳定陸、四边形的易变形的特性；三角形三边的关系；圆柱的认识”等更需要学生自己亲手做一做模型，教师可以向学生提供丰富而有差异的学习材料，让学生主动、自主、生动地“做”。“做数学”在本质上是学生的再创造的过程，在这一过程中，学生不仅掌握了一部分事实性的知识，而且也获得了一种体验，形成了一些解决问题的方法。
悟。“图形的测量与计算”中，公式的由来是学生最想弄明白的事，像长方形和正方形的周长、面积，长方体、正方体的体积等。因此小学数学中比较适宜让学生探究的课题，可以采用“实验→猜想→验证→概括”的过程，直接向学生提供几组学习材料，让学生自己实验、操作、讨论、交流、补充、争论、发现，使学生对这些面积、体积计算从感性认识上升到理性认识，最后获得计算公式。
引。教师更要适时地在关键处进行引导，三角形、梯形、圆面积的计算等都需要将图形转化为已经学过的图形，可以通过合作学习的方式，探索转化后的图形与原来图形的联系，发现新图形的面积计算公式这样一个过程。而“圆的面积”、“圆柱、圆锥的体积”公式的推导，还需要借助课件的演示，把公式的精确推导过程展示给学生，让学生知其所以然。
让探索过程成为新知识的再加工、再创造，让学生从“迷惑不解”到“豁然歼朗”的过程中获得发展。
小学阶段中几何形体的课，如周长面积计算等内容，随着学生知识的迁移，或者在课前通过看书预习和其他渠道，经常有学生在上课前已经知道了计算的公式和其他一些知识。面对这样的情况，常常引发我这样的思考：
1 学生是真的会了吗?未经学生自我体认的知识能成为真正的数学知识吗?
2 这类课是上成探索课还是上成验证课?教师应用怎样的策略才是有教学价值的?
二、课堂与调查：一次有效的教研
在今年的校教科节上，学校邀请了嘉兴市名师顾志能老师给大家作了一堂“圓的周长”的示范课。以下是这节课的教学过程。
教学过程：
1 课始调查：说说你已经知道了哪些有关圆的知识?学生纷纷举手发言，有不少学生说到了圆周率是3.1415926是3.14。
2 自主探索、验证：顾老师抛出第一个质疑点：《周髀算经》上说“周三径一”。“为什么圆周率会有这么多的答案呢?到底哪个才是对的?你怎么证明自己的观点呢?”于是学生纷纷动手，用绳子、圆盖、尺子等工具进行操作计算来验证自己的答案。交流时，学生算出圆周率是3.1204、2 1567、3.1356等等五花八门的答案。这时老师又抛出第二个质疑点：“为什么答案会不一样?”“这么多答案有什么共同点吗?”一石激起千层浪，点燃学生思维的火花，学生们反应积极，发言异常热烈!最后得出“圆周长一定是直径的三倍多一点”。
3 师生合作，验证：老师在投影仪下操作，让学生看清测量的方法，并让学生记录测量的数据，然后用计算器算出测量的结果是3.1395348837209……
4 借助课件介绍圆周率从古至今的形成过程和不断精确的过程。
5 练习：通过四道习题的练习，让学生知道如何求圆的周长，以及在不同情况下，圆周率取值的精确性要根据实际情况进行。
如行云流水般的课堂教学，真是运用自如，一气呵成啊。整堂课学生、听课老师都和顾老师一起融合在一起，沉浸在浓厚的数学文化氛围中，同学们一个个那么专注的眼神、脸上的表情随着课的进展而丰富的表现着，我突然有股冲动，课后，我一定要去采访一下这些学生，了解一下学生究竟是如何在想?在想些什么?以下是我到学生中做的调查问卷的结果。
[课前]
1 你已经知道圆周率用什么字母表示，知道π＝( )了吗?(知道的占95.12％)
2 你已经理解了圆周率代表的是什么、知道它是怎么算出来的?(知道的占17.07％)
3 你已经知道圆的周长计算方法，会计算了吗?(会算的占48.78％)
4 你们还知道哪些课外知识?(有60％的学生说已经知道无限不循环小数，知道是祖冲之发现的)
5 你最想在课堂上了解什么知识?想怎么学?(1 古代的人怎样计算圆周率?2圆周率是怎样算出来的?谁第一个发现的?3已经算到几位了?4最想查阅资料，想通过玩的方式，通过推导学习，想自己量一量，算一算。)
课中
课中你最喜欢哪几个环节?
1 自己操作测量计算(68.29％)。
2 师生合作测量(36.58％)。
3 课件演示科学家从古至今的演算过程(100％)。
4 解决问题计算神舟七号运动轨迹(12.20％)。
[课后]
1，你评价一下今天自己学习的状态?认为自己非常专注的占了805％；比较专注的占2195％。
2 课前最想了解的知识已经学到了吗?(认为学到的占95.12％)
三、验证和探求：一条可行的策略
这次教学活动给了我一点深刻的思考：教学如何寻找知识的起点，找准学生的已有知识基础是我们实施有效教学的重要条件，只有找到学习的起点，才能抓住学生的学习兴奋点，教学才会有效，而这个教学活动就很好地说明了这一点。 (一)找准知识起点：验证已知的“3.14”。 从学生的问卷中可以了解到，圆周率这个概念大部分学生都已经从书上了解了，也说得出来是3.14……，但是怎么会是这样一个数据，这个数据真的是每个圆都具有的吗?显然学生要真正理解它的意义并明晰原理比较难，对这个知识的深层理解还是欠缺的。 对于学生似懂非懂的地方需要通过活动自己来探究明白。顾老师十分轻松地便将学生的思绪引上了动手操作的轨道上，安排的第一个环节就是通过自己的努力去发现圓周长与直径的关系，即圆周率，来感知这个数据的含义。虽然得到的结果有差异，不能出现非常标准的一个数据，但这些数据是学生通过自己的动手操作来完成的，学生经历了一个知识形成的过程，从书中的314变为了自己掌握理解的3，14，这个验证过程让每一位学生感受到了圓周长与直径的关系是3倍多一点。留在学生头脑中的2 14不会光是一个机械的数字，而是马上能与操作过程联系到一起的一个活生生的数据。
(二)拓展知识教学：探求未知的“３.14”。
学生最想学什么?他们在哪个地方存在困惑7顾老师牢牢地抓住了学生的需求心理。学生一开始还是满怀信心地想通过实验操作来证明自己的答案是正确的，但发现通过自己的操作无法完成时，他们把全部的希望放在了老师身上。但当发现老师最后的结果也是不同时，此时学生处于了极度的矛盾之中。恰巧教师一句：“到底是什么出了问题呢?”一下子学生便豁然开朗起来，肯定是自己实验的方法出了问题。一切都像是在预料之外，但好像却又似乎是在情理之中。当自己寻求不到答案的时候，教师来主导，圆周率到底是怎么样算出来的呢?于是一边带着疑问，一边看古代数学家测量的方法。当看到祖冲之等数学家从正六边形一一正十二边形一一正二十四边形一一才算出3，1415926时。学生恍然大悟，原来真正的答案是要这么复杂的计算才能得来的，让学生惊叹于前人在钻研过程中的智慧。
而正确的圆周率到底是多少呢?顾老师并没有就此下结论，而是又介绍了在计算机的帮助下，最近算出的圆周率到了多少位，才和学生一起得出圆周率的结论：圆周率是一个近似数，一般为了计算方便取它的值为3.14。学生在了解人类从古至今发现圆周率的过程和不断精确的过程中，也感受到了中华民族灿烂的数学文化，体会到了数学的美，同时也正确处理了学生在课堂上需求矛盾这一组关键问题。
四、实践与探索：一种图形教学的经验
“动手操作、自主探索、合作交流”是新课程倡导的学习方式，在“空间与图形”这一数学领域，学生的自主探索具有重要的意义，受到师生的青睐。小学阶段，“空间与图形”可以分为三个板块：1，图形的认识与认证。2，图形测量与计算(线、面、体)。3图形的位置与变换。因此，教师要有意识地通过玩、做、悟、引等方式组织学生学习。 玩。“图形的认识”这一板块，我们就可以采用“玩”的形式，让学生对所需要研究的图形，通过“量、折、比、拼、摆、画”等一系列操作活动，来达到丰富学生的感性认识，发展其空间观念的目的。可采用让学生回忆生活经验、观察实物、动手操作、想象、情境描述等活动化的呈现方式，在观察、操作、有条理的思考和推理、交流等活动中，获得鲜明、生动和形象的认识，进而形成表象，经历从现实空间中抽象出几何图形的过程，探索图形性质及其变化规律的过程。 做。在学习“三角形的稳定陸、四边形的易变形的特性；三角形三边的关系；圆柱的认识”等更需要学生自己亲手做一做模型，教师可以向学生提供丰富而有差异的学习材料，让学生主动、自主、生动地“做”。“做数学”在本质上是学生的再创造的过程，在这一过程中，学生不仅掌握了一部分事实性的知识，而且也获得了一种体验，形成了一些解决问题的方法。
悟。“图形的测量与计算”中，公式的由来是学生最想弄明白的事，像长方形和正方形的周长、面积，长方体、正方体的体积等。因此小学数学中比较适宜让学生探究的课题，可以采用“实验→猜想→验证→概括”的过程，直接向学生提供几组学习材料，让学生自己实验、操作、讨论、交流、补充、争论、发现，使学生对这些面积、体积计算从感性认识上升到理性认识，最后获得计算公式。
引。教师更要适时地在关键处进行引导，三角形、梯形、圆面积的计算等都需要将图形转化为已经学过的图形，可以通过合作学习的方式，探索转化后的图形与原来图形的联系，发现新图形的面积计算公式这样一个过程。而“圆的面积”、“圆柱、圆锥的体积”公式的推导，还需要借助课件的演示，把公式的精确推导过程展示给学生，让学生知其所以然。
让探索过程成为新知识的再加工、再创造，让学生从“迷惑不解”到“豁然歼朗”的过程中获得发展。