自然数幂和的一种递推方法

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  【摘要】 研究自然数幂和的目的不仅仅是要找到公式,更应该深入了解数字间的巧妙联系,能够找到公式的实质,利用排列组合的知识固然简便,但是理解起来相对抽象. 笔者探讨这个问题的时候,利用s~s的表达式,通过建立行列式发现了一个求s的递推关系式. 即把若干次幂的自然数按照数列的形式排列,每一行出现的数字呈等差排列,成倒三角的形式,仔细观察可以发现自然数p次幂和与自然数p - 1次幂的关系. 通过对假设的证明,得到一个相对简洁的递推公式,并用该公式推导出了p ≤ 9次幂的自然数幂和.
  【关键词】 伯努利数;自然数幂和递推公式
  自然数幂和问题,由瑞士数学家伯努利最先提出,故也称伯努利幂之和问题,笔者探讨这个问题的时候,将若干次幂的自然数按照数列的形式排列,每一行出现的数字呈等差排列,即成倒三角的形式,然后通过观察,可以发现自然数p次幂和与自然数p - 1次幂的关系. 从而得到一个相对简洁的递推公式,现介绍如下:
  设s = ip,将s展开按如下方式排列:
  如此一个倒三角排列,可以对其进行简单的研究,发现其中的一些规律. 易知第二行空缺的数列为1p-1,第三行空缺的数列为1p-1 2p-1,第四行空缺的数列为1p-1 2p-1 3p-1,第五行空缺的数列为1p-1 2p-1 3p-1 4p-1,第六行空缺的数列为1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1,第七行空缺的数列为1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1 6p-1,第八行空缺的数为1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1 6p-1 7p-1. 如此类推可得到如下正三角排列:
  1p-1
  1p-1 2p-1
  1p-1 2p-1 3p-1
  1p-1 2p-1 3p-1 4p-1
  1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1
  1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1 6p-1
  1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1 6p-1 7p-1
  1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1 6p-1 7p-1 8p-1 …
  1p-1 2p-1 3p-1 4p-1 5p-1 6p-1 7p-1 8p-1 … (n - 1)p-1
  假设s = ip的求和公式存在,且为p 1次多项式. 那么其中每一行数的和可以通过代入sxp-1求得,这里x = 1 ~ (n - 1).
  设s = apnp ap-1np-1 ap-2np-2 … a1n,且假定s~s的表达式都已知. 可得上述正三角形行列式中,第一行的和为s,第二行的和为s,第三行的和为s,依次类推,最后一行和为s. 易知上述倒直角三角行列式中,第一行中所有数之和为s,第二行中所有数之和为s - s,第三行中所有数之和为s- s,依次类推最后一行的所有数之和为s - s. 则得到s = ns - s. 其中
  s = ap × 1p ap-1 × 1p-1 ap-2 × 1p-2 … a1 × 1
  s = ap × 2p ap-1 × 2p-1 ap-2 × 2p-2 … a1 × 2
  s = ap × 3p ap-1 × 3p-1 ap-2 × 3p-2 … a1 × 3
  s = ap × 4p ap-1 × 4p-1 ap-2 × 4p-2 … a1 × 4
  s = ap × 5p ap-1 × 5p-1 ap-2 × 5p-2 … a1 × 5
  s = ap × 6p ap-1 × 6p-1 ap-2 × 6p-2 … a1 × 6
  s = ap × 7p ap-1 × 7p-1 ap-2 × 7p-2 … a1 × 7
  s = ap × 8p ap-1 × 8p-1 ap-2 × 8p-2 … a1 × 8
  …
  s = ap × (n-1)p ap-1 × (n-1)p-1 ap-2 × (n-1)p-2 … a1 × (n-1)
  将以上各式竖向相加则可得到
  s= aps ap-1s ap-2s … a1s
  故s= ns - (aps ap-1s ap-2s … a1s )
  其中s= s - np,s = s - np-1,依次類推,代入上式整理可得到以下结果:
  s = ,
  亦可得:s = ,
  其中a1,a2,a3,…,ap-1为自然数幂和公式s的相应各次幂项的系数. s,s,s,…,s为幂≤p - 2次的自然数的幂之和.
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