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1 关于数学开放题
根据何光锋《数学开放题及其教学的研究综述》，结合数学教学的实际及“算法多样化”，数学开放题的含义应该是：解题策略开放，条件开放或结论开放的问题。这样定义更能丰富其开放的内涵，有利于数学题型的全面涵盖及数学教师对开放题量的摄取，更为学生以后的学习打下良好的解答策略基础。
2 数学开放题教学
2.1 数学开放题教学方法——开放性教学
进行数学开放题教学，要求数学教师必须采用新的教学方法——开放性教学。因为开放性教学的特点是：1）教室内分几个“兴趣区”；2）教学活动没有固定结构；3）以儿童的兴趣为中心；4）在活动中学习；5）不分年级也不按年龄分班；6）教师的职责是引导、建议、鼓励和帮助；7）创设一种令人喜爱的环境。它不仅适合新课程对教师的教学行为与教学方式所提出的要求，而且也适合新课程强调改变学生学习方式所提出的要求。数学开放题教学本身就要求教师在日常的教学活动中创设开放的环境，包括物理的（时空的开放）和心理的（如平等、民主、和谐等），以培养学生的创新精神和能力，真正实现新的教育理念。
2.2 数学开放题教学是学生研究性学习的进一步完善和加强
研究性学习是一种培养学生的创新精神和实践能力为特征的新型课程教学模式。它是指学生在教师的指导下，学生从学习生活和社会生活中自主发现问题、探究问题，确定专题，用类似科学研究的方法，主动获取知识，应用知识解决问题的活动。它具有较强的开放性、自主性、探究性和实践性的特点，具有使用科学思维方法主动探究、提出问题、解决问题和不断创新的特点。数学开放题教学主要是培养学生的数学创新精神和创造能力，完成教学目标。它的实施正是研究性学习所必须和要求的。因此，数学开放性教学也是改革的必然，是现实的要求。开放题教学是学生研究性学习的进一步完善和加强。
2.3 数学开放题教学与算法最优化
因为是开放题，必然有多种不同的解答方法。当前，数学改革的一个新举措是提倡算法最优化。2001年7月公布的《义务教育阶段数学课程标准（实验）》中也在多处提出算法最优化的问题。数学开放题教学是在算法最优化的基础上进行的算法多样化，二者是互补的统一。算法多样化要求提供的教学内容不只是标准的、最优的、严格的算法，还有丰富多彩的、更加真实的问题求解过程，每一内容的表述、问题的解答都尽可能地从多方面、多角度予以表现。这样的要求，不仅能适应较低水平的学生，而且能使较高水平的学生充分发展其所有潜能，它能给学生能力的充分发展留有足够的自由空间。同时，因为学生的思维活动不是预先完全确定的，学生以自己的经验为基础，以自己的方式来解释现实，建立对事物的理解，不同的学生可能看到事物的不同方面，不存在人人都适用的唯一的标准的算法。只有通过算法多样化（策略开放）的学习才能使学生更深刻地理解最优化的算法。
通过对同一问题多种解答策略的学习，不仅可以使学生更牢固地掌握所学的基础知识和基本技能，而且通过对不同算法的对比，使学生去寻找最简捷的解决问题的思路，使学生的知识融会贯通，在更高层次上有更深刻的认识、更概括性的理解，进一步培养学生思维的深刻性与敏捷性。
实践证明，数学开放题教学有利于发展学生的数学能力；有利于培养学生良好的思维品质；能保障学生的主体地位，有利于学生主体意识的形成；有利于全体学生的主动参与；有利于实现教学的民主性和合作性；有利于学生体验成功，树立自信心，产生学习数学的兴趣；有助于提高学生解决问题的能力，超越各自的目标。
2.4 数学开放题教学评价
运用开放性教学手段，进行数学开放题教学的重大改进，对其评价应彻底改变，由终结性评价逐步过渡为过程性评价。以往单一的对显性知识掌握情况而进行的评价，主要是看学生是否记住一个数学概念、公式、定理，是否会用某种方法解题，是否会用规则进行运算、推理、证明，并把这些作为考试、考查的基本指标。这无疑把教学活动导向为对显性知识的重复识记、再现和简单运用。虽说“重复是知识之母”，这其中不能说没有意义建构成分，但主要提高的仍是解题技能。正是由于这种单一的对显性知识的评价模式，相对削弱了对学生隐性知识的有效考查，所以直接影响了学生解题技能和数学智能的均衡发展。
新的教育理念指出：“评价的主要目的是为了全面了解学生的学习情况，激励学生的学习和改进教师的教学，应建立评价目标多元化、评价方法多样化的评价体系。对数学学习的评价既要关注学生学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展；既要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学实践活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心……应以过程评价为主，发挥评价的激励作用，并注意评价手段和形式的多样化。”
1）数学开放题教学的评价应贯穿于开放性教学的始终，教师和学生要形成过程性和动态性评价的意识和能力，在教学活动中自觉地开展评价，在评价过程中对学生进行有效的指导（因为其教学是时空的开放，所以过程的评价也是时空的开放）。真正做到“数子十过不如教子一长”，才能发挥评价的作用，真正做到变终结评价为过程——指导评价。
2）扎实的基础知识、基本技能的掌握和熟练的基本数学思想和方法的运用，是灵活运用知识，分析问题和解决问题的前提和保障。因此，数学开放题教学评价要充分调动不同的评价主体参与评价活动，尊重每个学生的不同意见，大力鼓励学生有创见的思想，特别是在有争议的问题上更要培养学生多元的思维能力，促进学生创新精神的形成和发展。
3）开放性教学数学开放题的评价，学生是真正的评价主体。评价的过程是学生利用已有的知识、经验对所学知识自主的意义建构过程，是在教师的指导下，学生观察、实验、分析、归纳、抽象、概括、猜测、验证、推理与交流等自主探索的评价活动。评价要关注学生整体、全面的发展，不仅仅注重学生的学业成绩。教学长其所长，评价亦如此。
（作者单位：山东省平度市仁兆镇曲家店小学）
根据何光锋《数学开放题及其教学的研究综述》，结合数学教学的实际及“算法多样化”，数学开放题的含义应该是：解题策略开放，条件开放或结论开放的问题。这样定义更能丰富其开放的内涵，有利于数学题型的全面涵盖及数学教师对开放题量的摄取，更为学生以后的学习打下良好的解答策略基础。
2 数学开放题教学
2.1 数学开放题教学方法——开放性教学
进行数学开放题教学，要求数学教师必须采用新的教学方法——开放性教学。因为开放性教学的特点是：1）教室内分几个“兴趣区”；2）教学活动没有固定结构；3）以儿童的兴趣为中心；4）在活动中学习；5）不分年级也不按年龄分班；6）教师的职责是引导、建议、鼓励和帮助；7）创设一种令人喜爱的环境。它不仅适合新课程对教师的教学行为与教学方式所提出的要求，而且也适合新课程强调改变学生学习方式所提出的要求。数学开放题教学本身就要求教师在日常的教学活动中创设开放的环境，包括物理的（时空的开放）和心理的（如平等、民主、和谐等），以培养学生的创新精神和能力，真正实现新的教育理念。
2.2 数学开放题教学是学生研究性学习的进一步完善和加强
研究性学习是一种培养学生的创新精神和实践能力为特征的新型课程教学模式。它是指学生在教师的指导下，学生从学习生活和社会生活中自主发现问题、探究问题，确定专题，用类似科学研究的方法，主动获取知识，应用知识解决问题的活动。它具有较强的开放性、自主性、探究性和实践性的特点，具有使用科学思维方法主动探究、提出问题、解决问题和不断创新的特点。数学开放题教学主要是培养学生的数学创新精神和创造能力，完成教学目标。它的实施正是研究性学习所必须和要求的。因此，数学开放性教学也是改革的必然，是现实的要求。开放题教学是学生研究性学习的进一步完善和加强。
2.3 数学开放题教学与算法最优化
因为是开放题，必然有多种不同的解答方法。当前，数学改革的一个新举措是提倡算法最优化。2001年7月公布的《义务教育阶段数学课程标准（实验）》中也在多处提出算法最优化的问题。数学开放题教学是在算法最优化的基础上进行的算法多样化，二者是互补的统一。算法多样化要求提供的教学内容不只是标准的、最优的、严格的算法，还有丰富多彩的、更加真实的问题求解过程，每一内容的表述、问题的解答都尽可能地从多方面、多角度予以表现。这样的要求，不仅能适应较低水平的学生，而且能使较高水平的学生充分发展其所有潜能，它能给学生能力的充分发展留有足够的自由空间。同时，因为学生的思维活动不是预先完全确定的，学生以自己的经验为基础，以自己的方式来解释现实，建立对事物的理解，不同的学生可能看到事物的不同方面，不存在人人都适用的唯一的标准的算法。只有通过算法多样化（策略开放）的学习才能使学生更深刻地理解最优化的算法。
通过对同一问题多种解答策略的学习，不仅可以使学生更牢固地掌握所学的基础知识和基本技能，而且通过对不同算法的对比，使学生去寻找最简捷的解决问题的思路，使学生的知识融会贯通，在更高层次上有更深刻的认识、更概括性的理解，进一步培养学生思维的深刻性与敏捷性。
实践证明，数学开放题教学有利于发展学生的数学能力；有利于培养学生良好的思维品质；能保障学生的主体地位，有利于学生主体意识的形成；有利于全体学生的主动参与；有利于实现教学的民主性和合作性；有利于学生体验成功，树立自信心，产生学习数学的兴趣；有助于提高学生解决问题的能力，超越各自的目标。
2.4 数学开放题教学评价
运用开放性教学手段，进行数学开放题教学的重大改进，对其评价应彻底改变，由终结性评价逐步过渡为过程性评价。以往单一的对显性知识掌握情况而进行的评价，主要是看学生是否记住一个数学概念、公式、定理，是否会用某种方法解题，是否会用规则进行运算、推理、证明，并把这些作为考试、考查的基本指标。这无疑把教学活动导向为对显性知识的重复识记、再现和简单运用。虽说“重复是知识之母”，这其中不能说没有意义建构成分，但主要提高的仍是解题技能。正是由于这种单一的对显性知识的评价模式，相对削弱了对学生隐性知识的有效考查，所以直接影响了学生解题技能和数学智能的均衡发展。
新的教育理念指出：“评价的主要目的是为了全面了解学生的学习情况，激励学生的学习和改进教师的教学，应建立评价目标多元化、评价方法多样化的评价体系。对数学学习的评价既要关注学生学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展；既要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学实践活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心……应以过程评价为主，发挥评价的激励作用，并注意评价手段和形式的多样化。”
1）数学开放题教学的评价应贯穿于开放性教学的始终，教师和学生要形成过程性和动态性评价的意识和能力，在教学活动中自觉地开展评价，在评价过程中对学生进行有效的指导（因为其教学是时空的开放，所以过程的评价也是时空的开放）。真正做到“数子十过不如教子一长”，才能发挥评价的作用，真正做到变终结评价为过程——指导评价。
2）扎实的基础知识、基本技能的掌握和熟练的基本数学思想和方法的运用，是灵活运用知识，分析问题和解决问题的前提和保障。因此，数学开放题教学评价要充分调动不同的评价主体参与评价活动，尊重每个学生的不同意见，大力鼓励学生有创见的思想，特别是在有争议的问题上更要培养学生多元的思维能力，促进学生创新精神的形成和发展。
3）开放性教学数学开放题的评价，学生是真正的评价主体。评价的过程是学生利用已有的知识、经验对所学知识自主的意义建构过程，是在教师的指导下，学生观察、实验、分析、归纳、抽象、概括、猜测、验证、推理与交流等自主探索的评价活动。评价要关注学生整体、全面的发展，不仅仅注重学生的学业成绩。教学长其所长，评价亦如此。
（作者单位：山东省平度市仁兆镇曲家店小学）