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[摘要] 本文针对传统《微积分》教材中,在学完微分学之后,再学不定积分和定积分,而不定积分和定积分的定义又是从不同的角度给出的,经过一系列的推导和证明,又将不定积分和定积分联系到了一起——牛顿—莱布尼兹公式,致使学生在学习积分学时感觉比较难的这一现象,通过以曲边梯形的面积为例(不一定通过曲边求高为例),直接以微分和的极限方式定义了积分,并直接建立牛顿—莱布尼兹公式。同时将传统的不定积分只是作为求原函数的方法论来处理。
[关键词] 微分 积分 化整为微 微量近似 积微为整 极限求精
传统《微积分》教材中,关于积分又分为不定积分和定积分,而不定积分和定积分的定义又是从不同的角度给出的,特别是定积分定义的导入过程中,一般都是通过经典的两个实例,即:曲边梯形的面积和变速直线运动的路程,阐明了计算总量的基本思想:化整为微、微量近似、积微为整、极限求精。然后,将这种思想进行抽象概括,进而给出抽象函数的定积分定义。而且,也知道定积分的结果是一个确定的数值。然而,只是利用定义公式计算其结果,一般都是非常难甚至是不可能完成的。因此,又继续进行一系列的讨论,通过引进变上限积分函数,并且,假设上连续时,利用积分中值定理证明,再由拉格朗日微分中值定理的推论,继尔得到牛顿—莱布尼兹公式。终于解决了定积分数值的计算问题。实际上,就是求得的一个原函数,然后,分别代入上、下限值进行相减。而且从定积分和不定积分的各自定义来看,简直是风马牛不相及的事情,而最后又走到了一起。
难道说,牛顿—莱布尼兹公式必须要经过如此多的工作才能得到吗?既然,在导入定积分定义之前,已经引进两个实例,也已经阐明了化整为微、微量近似、积微为整、极限求精的“16字”基本思想。那么,为什么不能直接从微分的角度而得到牛顿—莱布尼兹公式呢?我们还是从曲边梯形的面积谈起。
适当选取直角坐标系,将曲边梯形的一直腰放在x轴上,两底边为x=a,x=b,設曲边的方程为y=f(x).不妨设上连续,且。具体做法如下:
1.化整为微任取一组分点
将区间分成n个小区间:
,第i个小区间的长度为。过各个分点作x轴的垂线,将原来的曲边梯形分成n个小曲边梯形,第i个小曲边梯形的面积为。
2.微量近似在每一个小区间上任取一点,以为底,以为高的小矩形面积作为第i个小曲边梯形面积的近似值。
3.积微为整将n个小矩形面积相加,作为原曲边梯形面积的近似值
4.极限求精设,当时,原曲边梯形的面积为
。
注意下面的讨论:
以表示以为底边的曲边梯形的面积,则所求面积为底的曲边梯形小条的面积。因为所以,必有最小值m和最大值M,因此
由连续函数的介值定理,存在,使
当 因为连续,所以,所以
。
原来,f(x)恰好是面积函数S(x)关于x的变化率。即(注意,这里的是与x在区间的位置,区间的划分及中的取法毫无关系的)。因此,可以假设将进行n等分,此时,分别取
,此时有
,当
,右边第二项,而左边是常数,所以右边的第一项(和式)必有极限。
若把上述和的极限记为,则有
。并称它为函数从a到b的积分。
虽然,以上所讨论的只是一个求曲边梯形面积的数学模型,但这种局部以直代曲(以小矩形面积代替小曲边梯形面积),然后相加并求极限的思想,正是微积分的精华所在。
为此,可以有如下定义:
设函数在区间则定义函数在[a,b]上的积分
这个公式就是有名的牛顿—莱布尼兹公式或微积分基本公式。
其中 称为的一个原函数,并且,在微分中值定理中很容易得到的全体原函数为(这正是传统的不定积分概念)。
正是先产生了这个公式,不仅使得积分的计算得以解决,同时也使得积分有关性质的证明显得非常容易。例如,如果函数在可积,,则
的证明如下:
设,则
右端=F(c)-F(a)+F(b)-F(c)=F(b)-F(a)=左端。
就连变上限积分函数的导数公式亦为自然成立,从而解决了连续函数一定有原函数存在的问题。
关于这个方面,早在1999年1月林群(中国科学院院士)在《画中漫游微积分》(广西师范大学出版社)一书中通过曲边求高也直接而严格地建立了牛顿—莱布尼茨公式。并在2002年12月林群主编的《大学文科数学》(河北大学出版社)一书中又重复了这个证明, 2005年4月,林群又在《微分方程与三角测量》(清华大学出版社)一书中再度重复了这个证明,等等。
之所以我在这里再一次从求曲边梯形面积的角度证明牛顿—莱布尼茨公式,不仅仅是给出积分的计算公式,更重要的是将传统的不定积分和定积分直接以积分这个词代替,而将传统的不定积分只是作为求原函数的方法论来处理。这样就避免了不定积分和定积分有些内容的重复讨论,同时也将微分和积分直接建立起了联系,使之成为一个有机的整体——积分就是微分之“和”。
参考文献:
[1]画中漫游微积分(M)林群 广西师范大学出版社1999.1
[2]大学文科数学(M)林群 河北大学出版社2002.12
[3]微分方程与三角测量(M)林群 清华大学出版社2005.4
[4]微积分(M)萧树铁扈志明 清华大学出版社2006.8
[5]高等数学(M)卢崇高 苏州大学出版社2005.8
作者简介:
蔡奎生:(1960—),1982年毕业于黑龙江大学数学系,现于苏州经贸职业技术学院任教,副教授。
[关键词] 微分 积分 化整为微 微量近似 积微为整 极限求精
传统《微积分》教材中,关于积分又分为不定积分和定积分,而不定积分和定积分的定义又是从不同的角度给出的,特别是定积分定义的导入过程中,一般都是通过经典的两个实例,即:曲边梯形的面积和变速直线运动的路程,阐明了计算总量的基本思想:化整为微、微量近似、积微为整、极限求精。然后,将这种思想进行抽象概括,进而给出抽象函数的定积分定义。而且,也知道定积分的结果是一个确定的数值。然而,只是利用定义公式计算其结果,一般都是非常难甚至是不可能完成的。因此,又继续进行一系列的讨论,通过引进变上限积分函数,并且,假设上连续时,利用积分中值定理证明,再由拉格朗日微分中值定理的推论,继尔得到牛顿—莱布尼兹公式。终于解决了定积分数值的计算问题。实际上,就是求得的一个原函数,然后,分别代入上、下限值进行相减。而且从定积分和不定积分的各自定义来看,简直是风马牛不相及的事情,而最后又走到了一起。
难道说,牛顿—莱布尼兹公式必须要经过如此多的工作才能得到吗?既然,在导入定积分定义之前,已经引进两个实例,也已经阐明了化整为微、微量近似、积微为整、极限求精的“16字”基本思想。那么,为什么不能直接从微分的角度而得到牛顿—莱布尼兹公式呢?我们还是从曲边梯形的面积谈起。
适当选取直角坐标系,将曲边梯形的一直腰放在x轴上,两底边为x=a,x=b,設曲边的方程为y=f(x).不妨设上连续,且。具体做法如下:
1.化整为微任取一组分点
将区间分成n个小区间:
,第i个小区间的长度为。过各个分点作x轴的垂线,将原来的曲边梯形分成n个小曲边梯形,第i个小曲边梯形的面积为。
2.微量近似在每一个小区间上任取一点,以为底,以为高的小矩形面积作为第i个小曲边梯形面积的近似值。
3.积微为整将n个小矩形面积相加,作为原曲边梯形面积的近似值
4.极限求精设,当时,原曲边梯形的面积为
。
注意下面的讨论:
以表示以为底边的曲边梯形的面积,则所求面积为底的曲边梯形小条的面积。因为所以,必有最小值m和最大值M,因此
由连续函数的介值定理,存在,使
当 因为连续,所以,所以
。
原来,f(x)恰好是面积函数S(x)关于x的变化率。即(注意,这里的是与x在区间的位置,区间的划分及中的取法毫无关系的)。因此,可以假设将进行n等分,此时,分别取
,此时有
,当
,右边第二项,而左边是常数,所以右边的第一项(和式)必有极限。
若把上述和的极限记为,则有
。并称它为函数从a到b的积分。
虽然,以上所讨论的只是一个求曲边梯形面积的数学模型,但这种局部以直代曲(以小矩形面积代替小曲边梯形面积),然后相加并求极限的思想,正是微积分的精华所在。
为此,可以有如下定义:
设函数在区间则定义函数在[a,b]上的积分
这个公式就是有名的牛顿—莱布尼兹公式或微积分基本公式。
其中 称为的一个原函数,并且,在微分中值定理中很容易得到的全体原函数为(这正是传统的不定积分概念)。
正是先产生了这个公式,不仅使得积分的计算得以解决,同时也使得积分有关性质的证明显得非常容易。例如,如果函数在可积,,则
的证明如下:
设,则
右端=F(c)-F(a)+F(b)-F(c)=F(b)-F(a)=左端。
就连变上限积分函数的导数公式亦为自然成立,从而解决了连续函数一定有原函数存在的问题。
关于这个方面,早在1999年1月林群(中国科学院院士)在《画中漫游微积分》(广西师范大学出版社)一书中通过曲边求高也直接而严格地建立了牛顿—莱布尼茨公式。并在2002年12月林群主编的《大学文科数学》(河北大学出版社)一书中又重复了这个证明, 2005年4月,林群又在《微分方程与三角测量》(清华大学出版社)一书中再度重复了这个证明,等等。
之所以我在这里再一次从求曲边梯形面积的角度证明牛顿—莱布尼茨公式,不仅仅是给出积分的计算公式,更重要的是将传统的不定积分和定积分直接以积分这个词代替,而将传统的不定积分只是作为求原函数的方法论来处理。这样就避免了不定积分和定积分有些内容的重复讨论,同时也将微分和积分直接建立起了联系,使之成为一个有机的整体——积分就是微分之“和”。
参考文献:
[1]画中漫游微积分(M)林群 广西师范大学出版社1999.1
[2]大学文科数学(M)林群 河北大学出版社2002.12
[3]微分方程与三角测量(M)林群 清华大学出版社2005.4
[4]微积分(M)萧树铁扈志明 清华大学出版社2006.8
[5]高等数学(M)卢崇高 苏州大学出版社2005.8
作者简介:
蔡奎生:(1960—),1982年毕业于黑龙江大学数学系,现于苏州经贸职业技术学院任教,副教授。