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[摘 要] “解决问题的策略——列举”，是苏教版课程标准实验教科书数学五年级（上册）63～64页的內容. 笔者在教学中通过提出问题、引发探究，并通过多元列举，生成技能，再用游戏激趣，巩固提高，通过运用不同的策略，引导学生学好知识.
[关键词] 解决问题的策略；列举；引发探究；生成技能；巩固提高
在一次小学数学教研活动中，笔者执教的一堂数学研究课的课题是“解决问题的策略——列举”， 现将三个主要教学片断、简析及感悟整理如下.
提出问题，引发探究，策略因需要而产生
师：同学们，今天我们要学习一种解决问题的新策略，请大家看一道例题. （媒体出示P63例1）王大叔用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈，有多少种不同的围法？
生：学习小组内合作，用课前准备的18根火柴棍、小棒或牙签，每根代替1米长的栅栏，围长方形.
师：各小组间巡视、指导.
生：展示交流操作成果（学生每说出一种围法，教师同步多媒体演示）.
师：如果王大叔是用180根、1800根这样的栅栏来围羊圈，我们也能这样操作吗？能找到一种更清晰、更简洁的表达方式吗？启发学生先找一长一宽的和，再对照展示的四个图形（图1）思考：如果宽为1米，长是多少米？如果宽为2米，长是多少米？如果宽为3米，长是多少米？如果宽为4米，长是多少米？…… 引导学生运用表格形式有序地记录各种可能.
生：思考、探究、交流（教师同步多媒体演示表格）.
师：请大家根据表中的数据算一算每一个长方形的面积，比一比长、宽和面积. 通过算一算、比一比，你发现了什么？
生：先算一算，后比一比，再交流. （周长相同的情况下，长方形的长、宽差距越大，面积越小；长、宽差距越小，面积越大）
师：能说一说如何用180根、1800根栅栏围羊圈吗？
生：口述用180根、1800根栅栏围羊圈的方法.
师：刚才我们在解决问题时所采用的策略，就是我们今天要学习的一种新策略. （板书课题：解决问题的策略——列举）
生：齐读课题.
师：（小结）整理众多复杂的信息，通过表格让数量关系明晰，使问题得以解决. 然而，表格仅是外在的一种表现形式，有序列举出问题的各种可能才是其精神实质.
简析：例1的教学，先由学生在学习小组内动手操作，再在全班展示交流，目的是让学生意识到操作法存在效率低下、答案遗漏、相互重复、杂乱无章等弊端. 当然，操作法所得到的图形为列举策略的顺利产生提供了形象基础，是学生准确把握新策略“有序思考” 的精神实质. 教师接着抛出用180根、1800根栅栏围羊圈的问题，目的是放大操作经验与数学问题之间的矛盾冲突，让学生产生另辟蹊径的“内需”，凸显寻求解题新策略的必要性与主动性. 在这一过程中，教者扮演的角色只是“真理的接生婆”，新策略这个“婴儿”则是学生自己“孕育”的. 学生在自主探究的过程中，会感悟到自身蕴藏的潜能，教者只助其“顺产”，及时果断地剪断“列举”与旧知“列表”的“脐带”联系，宣告“列举”这一“新生命”的诞生. 相比而言，在周长相等的情况下，比较长方形的长、宽、面积，虽是难点但并非本课重点，只能点到为止.
多元列举，生成技能，策略因比较而发展
师：出示P64例2——“小华看中《科学世界》《七彩文学》《数学乐园》这三种杂志，如果最少订阅一种，最多三种，一共有多少种不同的订阅方法？”一年一度报刊杂志的征订时间到了，你怎样理解“如果最少订阅一种，最多三种”这句话？你打算怎样解决这个问题？把你的想法在学习小组里说一说.
生：先小组讨论，后全班交流，得出下面的结论.
（1）文字列举. 只订阅1种，有3种不同的方法，即订阅《科学世界》或者《七彩文学》或者《数学乐园》；订阅2种，有3种不同的方法，即《科学世界》 《七彩文学》，《科学世界》 《数学乐园》，《七彩文学》 《数学乐园》；订阅3种，只有1种方法，即《科学世界》 《七彩文学》 《数学乐园》.
（2）表格列举.
（学生试着用打“√”的方法在作业纸上完成表格，教师提示学生表格要竖着看，一列表示一种订阅方法，要有选择地打“√”）
师：（小结）刚才，我们先分类，再分别用文字和表格两种形式列举，解决了问题，对此，我们做到了（板书）合理分类，有序列举，不重复，不遗漏. 下面请大家完成课本64页上的“练一练”.
生：完成“练一练”后交流，得出的结论如下.
1. 文字列举：投中两个相同环数为10、10；8、8；6、6；
投中两个不同环数为10、8；10、6；8、6.
2. 算式列举：10 10=20，8 8=16，6 6=12；
10 8=18，10 6=16，8 6=14.
3. 表格列举：
师：交代列举的形式通常有（板书）文字、算式、表格……提醒学生回答环数的顺序（20环、18环、16环、14环、12环），说明两个16环为什么只取一个16环的理由.
简析：分类是根据事物的“同”和“异”把事物集合成类的过程，列举对“序”的要求是从线性的“升降之序”到更高层面的“主次之序”的发展. 教学中，教者引导学生解决问题时，先分类再列举，这既是引领学生抓住主要矛盾，更是发展学生的数学认识、领会数学思想和方法、学会解决问题的必由途径. 用文字、算式和表格三种形式对照列举，意在打破学生潜意识中的藩篱，领悟列举形式的多样化. 在以往的教学实践中，发现很多学生虽懂得如何分类，也会列举，但对于在表格中有选择地用打“√”来表示订阅方法的认同度较差，表格到底该横着读还是竖着看，学生往往茫然无措，笔拿在手里不知往哪一格送，对此，教者采用先文字、算式列举，再表格映衬的方法，意在着力澄清列举的思路，让学生循序渐进地接纳表格式列举法. 虽增加了思维的“长度”， 却减缓了思维的“坡度”.与此同时，学生能在多元列举的精神实质中，“免疫”“列表”，强化“列举”，学生的“野性思维”得以释放，教学的难点得以突破. 游戏激趣，巩固提高，策略因运用而丰富
师：出示习题——“甲、乙两人玩‘石头、剪刀、布’的游戏，一共有多少种不同的情形？”
生：先推选一人与教师玩游戏 ，再同座两人玩游戏，有下面三种玩法.
1. 师与生想象玩. （学生想象，师生两人在游戏中会有三种可能：师胜、平局、生胜）
2. 师与生实际玩. （逐一填表）
3. 生与生实际玩（同座两人玩十次）.
师：请大家说说本堂课的收获和体会.
生：交流收获和体会.
师：最后请大家完成课堂作业，即“练习十一第 1～3题”.
简析：“石头、剪刀、布”是学生喜闻乐见的游戏，这种游戏既能激发学生的学习兴趣，又能引起学生超越功利化的探讨和研究，更能让学生在轻松愉快中得到涵育，在忘我的投入中悄悄拔节. 学生沉浸在数学“好玩”的同时，不但掌握了“列举”在现实生活中的原型，而且对新策略的必要性、可能性和科学性会产生真切的认识，从而提高运用新策略的自觉性. 现代认知心理学家认为：任何学习都是认知结构的建立、扩大和重组. 课末，教师让学生说说本堂课的收获和体会，意在让学生回顾列举策略的产生、发展和丰富的过程，感悟有序思考从“升降之序”——“主次之序”——“多样之序”的演进，将数学思想由经验和技能性层面向科学化层面提升，让学生一起感悟、体验策略成长的历程，欣赏蕴藏其中的秩序之美，使策略焕发出生命的活力.
教学感悟
1. 适当调控教材
本课教学中所使用的是苏教版课程标准实验教科书数学五年级（上册）63～64页. 若依据教材按部就班地进行教学，学生难以产生“策略”这一“内需”.教学中，教师对教材进行适当调控，片断一“围羊圈”，“列举”因需要而产生；片断二“订阅杂志”“投靶”，“列举”因比较而发展；片断三“游戏”“课堂作业”，“ 列举”因运用而丰富. 这样的教学，既能拓展学生的数学认知领域，又能拓宽教师传播数学知识的渠道，更能让学生感悟数学与生活的关系.
2. 尊重应用意识
教学中，在充分利用课程资源的基础上，若能增添一些进入课程且与数学教学活动有联系的资源，便能让学生深刻感受到数学的广泛应用. 有了教师对应用意识的尊重，学生才会有一双“数学的眼睛”， 才能形成数学的应用意识. 当然，数学意识的形成，并非靠几节解决问题的课就能奏效，应用意识需经历一个培养、提高和发展的漫长过程. 对此，教师要站在数学应用的高度，走出“只强调静态数学知识及其获得”的误区，充分挖掘现实生活中蕴涵的数学信息资源，日复一日、年复一年地关注和实施每一节课，努力让学生的应用意识由无到有、由少变多、由浅入深.
3. 关注策略需求
如果从语词结构上推敲，“策略”一词在“解决问题的策略”这句话中是一个中心词，“解决问题”是修饰并限制“策略”这个词的. 教学中，教师应引领学生在解决问题的过程中，把解题策略的形成作为目标和归宿. “解决问题”实际上就是利用所学的知识和方法，解决非常规问题的一种创造性活动. 这种活动是对已知信息的再加工，以达成相关的规则，达到相应的目标. 相关的规则、相应的目标就是要让学生在解决非常规问题时产生策略需求，尽快找到解决当前问题所适合的策略. 学生因策略需求而满腔热情地选择相关策略，迫不及待地体验相关策略，这便是传统教学中所说的“举一”；学生有了“解决问题的策略”， 便将策略“射或反射”到解决问题的活动中，完成对具体策略的重新建构，这便是传统教学中所说的“反三”.因此，教学的重心应让学生充分体验策略形成的背景，充分体会运用策略的优越.
[关键词] 解决问题的策略；列举；引发探究；生成技能；巩固提高
在一次小学数学教研活动中，笔者执教的一堂数学研究课的课题是“解决问题的策略——列举”， 现将三个主要教学片断、简析及感悟整理如下.
提出问题，引发探究，策略因需要而产生
师：同学们，今天我们要学习一种解决问题的新策略，请大家看一道例题. （媒体出示P63例1）王大叔用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈，有多少种不同的围法？
生：学习小组内合作，用课前准备的18根火柴棍、小棒或牙签，每根代替1米长的栅栏，围长方形.
师：各小组间巡视、指导.
生：展示交流操作成果（学生每说出一种围法，教师同步多媒体演示）.
师：如果王大叔是用180根、1800根这样的栅栏来围羊圈，我们也能这样操作吗？能找到一种更清晰、更简洁的表达方式吗？启发学生先找一长一宽的和，再对照展示的四个图形（图1）思考：如果宽为1米，长是多少米？如果宽为2米，长是多少米？如果宽为3米，长是多少米？如果宽为4米，长是多少米？…… 引导学生运用表格形式有序地记录各种可能.
生：思考、探究、交流（教师同步多媒体演示表格）.
师：请大家根据表中的数据算一算每一个长方形的面积，比一比长、宽和面积. 通过算一算、比一比，你发现了什么？
生：先算一算，后比一比，再交流. （周长相同的情况下，长方形的长、宽差距越大，面积越小；长、宽差距越小，面积越大）
师：能说一说如何用180根、1800根栅栏围羊圈吗？
生：口述用180根、1800根栅栏围羊圈的方法.
师：刚才我们在解决问题时所采用的策略，就是我们今天要学习的一种新策略. （板书课题：解决问题的策略——列举）
生：齐读课题.
师：（小结）整理众多复杂的信息，通过表格让数量关系明晰，使问题得以解决. 然而，表格仅是外在的一种表现形式，有序列举出问题的各种可能才是其精神实质.
简析：例1的教学，先由学生在学习小组内动手操作，再在全班展示交流，目的是让学生意识到操作法存在效率低下、答案遗漏、相互重复、杂乱无章等弊端. 当然，操作法所得到的图形为列举策略的顺利产生提供了形象基础，是学生准确把握新策略“有序思考” 的精神实质. 教师接着抛出用180根、1800根栅栏围羊圈的问题，目的是放大操作经验与数学问题之间的矛盾冲突，让学生产生另辟蹊径的“内需”，凸显寻求解题新策略的必要性与主动性. 在这一过程中，教者扮演的角色只是“真理的接生婆”，新策略这个“婴儿”则是学生自己“孕育”的. 学生在自主探究的过程中，会感悟到自身蕴藏的潜能，教者只助其“顺产”，及时果断地剪断“列举”与旧知“列表”的“脐带”联系，宣告“列举”这一“新生命”的诞生. 相比而言，在周长相等的情况下，比较长方形的长、宽、面积，虽是难点但并非本课重点，只能点到为止.
多元列举，生成技能，策略因比较而发展
师：出示P64例2——“小华看中《科学世界》《七彩文学》《数学乐园》这三种杂志，如果最少订阅一种，最多三种，一共有多少种不同的订阅方法？”一年一度报刊杂志的征订时间到了，你怎样理解“如果最少订阅一种，最多三种”这句话？你打算怎样解决这个问题？把你的想法在学习小组里说一说.
生：先小组讨论，后全班交流，得出下面的结论.
（1）文字列举. 只订阅1种，有3种不同的方法，即订阅《科学世界》或者《七彩文学》或者《数学乐园》；订阅2种，有3种不同的方法，即《科学世界》 《七彩文学》，《科学世界》 《数学乐园》，《七彩文学》 《数学乐园》；订阅3种，只有1种方法，即《科学世界》 《七彩文学》 《数学乐园》.
（2）表格列举.
（学生试着用打“√”的方法在作业纸上完成表格，教师提示学生表格要竖着看，一列表示一种订阅方法，要有选择地打“√”）
师：（小结）刚才，我们先分类，再分别用文字和表格两种形式列举，解决了问题，对此，我们做到了（板书）合理分类，有序列举，不重复，不遗漏. 下面请大家完成课本64页上的“练一练”.
生：完成“练一练”后交流，得出的结论如下.
1. 文字列举：投中两个相同环数为10、10；8、8；6、6；
投中两个不同环数为10、8；10、6；8、6.
2. 算式列举：10 10=20，8 8=16，6 6=12；
10 8=18，10 6=16，8 6=14.
3. 表格列举：
师：交代列举的形式通常有（板书）文字、算式、表格……提醒学生回答环数的顺序（20环、18环、16环、14环、12环），说明两个16环为什么只取一个16环的理由.
简析：分类是根据事物的“同”和“异”把事物集合成类的过程，列举对“序”的要求是从线性的“升降之序”到更高层面的“主次之序”的发展. 教学中，教者引导学生解决问题时，先分类再列举，这既是引领学生抓住主要矛盾，更是发展学生的数学认识、领会数学思想和方法、学会解决问题的必由途径. 用文字、算式和表格三种形式对照列举，意在打破学生潜意识中的藩篱，领悟列举形式的多样化. 在以往的教学实践中，发现很多学生虽懂得如何分类，也会列举，但对于在表格中有选择地用打“√”来表示订阅方法的认同度较差，表格到底该横着读还是竖着看，学生往往茫然无措，笔拿在手里不知往哪一格送，对此，教者采用先文字、算式列举，再表格映衬的方法，意在着力澄清列举的思路，让学生循序渐进地接纳表格式列举法. 虽增加了思维的“长度”， 却减缓了思维的“坡度”.与此同时，学生能在多元列举的精神实质中，“免疫”“列表”，强化“列举”，学生的“野性思维”得以释放，教学的难点得以突破. 游戏激趣，巩固提高，策略因运用而丰富
师：出示习题——“甲、乙两人玩‘石头、剪刀、布’的游戏，一共有多少种不同的情形？”
生：先推选一人与教师玩游戏 ，再同座两人玩游戏，有下面三种玩法.
1. 师与生想象玩. （学生想象，师生两人在游戏中会有三种可能：师胜、平局、生胜）
2. 师与生实际玩. （逐一填表）
3. 生与生实际玩（同座两人玩十次）.
师：请大家说说本堂课的收获和体会.
生：交流收获和体会.
师：最后请大家完成课堂作业，即“练习十一第 1～3题”.
简析：“石头、剪刀、布”是学生喜闻乐见的游戏，这种游戏既能激发学生的学习兴趣，又能引起学生超越功利化的探讨和研究，更能让学生在轻松愉快中得到涵育，在忘我的投入中悄悄拔节. 学生沉浸在数学“好玩”的同时，不但掌握了“列举”在现实生活中的原型，而且对新策略的必要性、可能性和科学性会产生真切的认识，从而提高运用新策略的自觉性. 现代认知心理学家认为：任何学习都是认知结构的建立、扩大和重组. 课末，教师让学生说说本堂课的收获和体会，意在让学生回顾列举策略的产生、发展和丰富的过程，感悟有序思考从“升降之序”——“主次之序”——“多样之序”的演进，将数学思想由经验和技能性层面向科学化层面提升，让学生一起感悟、体验策略成长的历程，欣赏蕴藏其中的秩序之美，使策略焕发出生命的活力.
教学感悟
1. 适当调控教材
本课教学中所使用的是苏教版课程标准实验教科书数学五年级（上册）63～64页. 若依据教材按部就班地进行教学，学生难以产生“策略”这一“内需”.教学中，教师对教材进行适当调控，片断一“围羊圈”，“列举”因需要而产生；片断二“订阅杂志”“投靶”，“列举”因比较而发展；片断三“游戏”“课堂作业”，“ 列举”因运用而丰富. 这样的教学，既能拓展学生的数学认知领域，又能拓宽教师传播数学知识的渠道，更能让学生感悟数学与生活的关系.
2. 尊重应用意识
教学中，在充分利用课程资源的基础上，若能增添一些进入课程且与数学教学活动有联系的资源，便能让学生深刻感受到数学的广泛应用. 有了教师对应用意识的尊重，学生才会有一双“数学的眼睛”， 才能形成数学的应用意识. 当然，数学意识的形成，并非靠几节解决问题的课就能奏效，应用意识需经历一个培养、提高和发展的漫长过程. 对此，教师要站在数学应用的高度，走出“只强调静态数学知识及其获得”的误区，充分挖掘现实生活中蕴涵的数学信息资源，日复一日、年复一年地关注和实施每一节课，努力让学生的应用意识由无到有、由少变多、由浅入深.
3. 关注策略需求
如果从语词结构上推敲，“策略”一词在“解决问题的策略”这句话中是一个中心词，“解决问题”是修饰并限制“策略”这个词的. 教学中，教师应引领学生在解决问题的过程中，把解题策略的形成作为目标和归宿. “解决问题”实际上就是利用所学的知识和方法，解决非常规问题的一种创造性活动. 这种活动是对已知信息的再加工，以达成相关的规则，达到相应的目标. 相关的规则、相应的目标就是要让学生在解决非常规问题时产生策略需求，尽快找到解决当前问题所适合的策略. 学生因策略需求而满腔热情地选择相关策略，迫不及待地体验相关策略，这便是传统教学中所说的“举一”；学生有了“解决问题的策略”， 便将策略“射或反射”到解决问题的活动中，完成对具体策略的重新建构，这便是传统教学中所说的“反三”.因此，教学的重心应让学生充分体验策略形成的背景，充分体会运用策略的优越.