华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非”。数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质。
　　高考展望：数形结合一直是高考的重点和热点，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合，从而找到解决问题的突破口。多以选择题，填空题为主，解答题也时有涉猎。大多利用图像研究函数性质解决相关问题，即由“数”到“形”再由“形”到“数”。
　　一、数形结合在解决集合间关系，集合的运算问题中的应用
　　典型例题1设平面点集A=x，y（y-x）y-1x≥0，集合B=（x，y）（x-1）2+（y-1）2≤1，则A∩B表示的平面图形的面积为。
　　解析：如图1，集合A表示的是一条直线与一条双曲线所构成的区域，集合B表示一个圆及其内部，A∩B所表示的平面图形为图中的阴影部分，由对称性知，S1=S2S3=S4因此，A∩B所表示的平面图形的面积是圆面积的一半，即为π2。要点点拨：
　　（1）涉及有明显几何意义的式子通常可以考虑数形结合的思想；
　　（2）此题的面积不是规则的平面图形，直接求解很难，因此数形结合发现求解面积的方法。
　　二、数形结合在函数导数性质等有关问题中的应用
　　典型例题2（2014年潍坊一模）对任意实数a，b定义运算“”：ab=ba-b≥1，aa-b<1。设f（x）=（x2-1）（4+x），若函数y=f（x）+k的图像与轴恰有三个不同的交点，则k的取值范围是（）。
　　A。（-2，1）B。[0，1]C。[-2，0]D。-2，1
　　解析：此题可以转换成函数零点个数问题，函数零点问题经常转化为两个函数交点个数问题！数形结合求解！
　　由题意知f（x）=4+x，x≤2或x≥3，x2-1，-2　　函数f（x）图像如图2，可转化为y=f（x）与y=-k两个函数交点的个数问题，由图2可知，当-1<-k≤2时两个函数有三个交点。
　　三、数形结合思想在解析几何及线性规划有关问题中的应用
　　典型例题3已知x，y满足x216+y225=1，求y-3x最大值与最小值。
　　解析：令y-3x=m，则y=3x+m。原题变为在椭圆上找一点，使过此点的直线斜率为3，且在y轴上有最大截距或最小截距的问题。
　　由图像可知当直线与椭圆相切时有最大或最小截距m。将直线
　　y=3x+m代入椭圆方程，得169x2+96mx+16m2-400=0，令Δ=0解得m=±13。
　　故y-3x的最大值是13，最小值是-13。
　　四、数形结合思想在概率及统计中的综合应用
　　典型例题4（2013年四川高考）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，他们第一次闪亮的时刻相差不超过两秒的概率是（）。
　　A。14B。12C。34D。78
　　解析：C由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且在通电后4秒内任一时刻等可能发生，所以总的基本事件为如图4所示的正方形的面积，而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件为如图所示的阴影部分的面积，
　　根据几何概型的计算公式，可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是1216=34，选C。
　　典型例题5（2013天津模拟）在区间1，5上和2，4上分别取一个数，记为a，b，则方程x2a2+y2b2=1表示焦点在x轴上且离心率小于32的椭圆的概率为（）。
　　A。12B。1532C。1732D。3132
　　解析：方程x2a2+y2b2=1表示焦点在x轴上且离心率小于32的椭圆时，有a2>b2且e<32化简得a>b且a<2b。又a∈1，5，b∈2，4，画出满足a，b的平面区域，
　　如图5阴影部分所示，求阴影部分面积为154，故p=s阴影2×4=1532。
　　作者单位：湖南省衡阳市第一中学