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现在初中数学课堂教学比较热门的一个话题，就是如何培养学生的创新意识。因为培养学生的创新意识，这不仅仅是改变“被动接受——机械训练”的数学学习方式问题，也是构建怎样有利于学生学习、自主探究、合作交流，有利于激发学生的学习兴趣的教学策略问题，它还是新课标实施的最终目标。笔者认为，其行之有效的途径就是在课堂内利用数学的根本特征，进行“变式学习”来实现。
一、数学变式学习的涵义
数学变式学习，就是变更数学问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况下，使事物的非本质属性不断迁移，然后予以解决的过程。
将原来的题目进行变式然后进行学习，是当今数学课堂教学中比较常用的，但是至今还没有提到理论的高度、引起重视一种方法。事实上这种方法也是学生从模仿走向创新的“跳板”，在现在的学习环境下不失为是一种比较有效的学习方法。
二、数学变式学习的基本过程
变式学习，一般来说其实施过程应该是“以问题为起点，以变式探究为重点，以培养创新意识为目标”。它按照“问题（范式）──变式（练习）─—创新（尝试）─—评价（递进）”的学习程序，积累数学活动经验，形成数学知识网络，培养创新意识和创新能力。
整个学习过程，通过变式探究这个重点，注重将变式学习与创新学习相融合，以期实现培养学生的创新意识和创新能力这个目标。
（一）提出问题，为创新提供条件
提出问题，是教师引导学生就数学基本知识、基本方法、典型问题而提出的。如定理的逆命题是否成立？概念、定理、公式在解题中的作用是什么？从课本上的结论能推出哪些新结论？这一节、章内容有哪些主要的思想方法？这些思想方法在解决问题时是怎样运用的？这个题目能推广吗？等等。
例如：已知AD是△ABC的内角平分线，求证：AB∶AC=BD∶DC。
教师在提出的问题前，心里就始终要有“问题既是学生学习的起点，又是学生学习的终点（新问题）”这样的一个新观念。如何利用这个问题，就有许多不同的方法：
方法一，为了解题而解题，这是缺少培养学生创新意识的教师的方法。他们往往在解决问题前就指点学生“过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E”。这种方法解决问题速度快，但是学生自己没有思想，学生的思想是被教师牵住了。
方法二，即所谓的启发式。教师引导：“我们现在学习的内容是什么？那么根据现在学习的内容，你可以用作平行线的方法解决吗？”
方法三，有培养学生创新意识的教师肯定不是这样处理的。他们肯定会围绕这个问题深入分析，让学生不但自己能得出“过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E”，而且还知道为什么要这样作平行线。教师这样引导学生：如何证明AB∶AC=BD∶DC？线段BD和CD位置关系有什么特征？既然BD与CD在同一条直线上，并且有一个公共端点，象这样的2条线段的比，可以通过什么方法才有可能得出？如何作平行线？”
变式设问就是指围绕数学概念的本质，设计变式题组，以突出本质特征。常见的有引入设问、辨析设问、深化设问和质疑设问。变式设问常从某个“范式”出发，层层设计问题，将思维由浅入深，有利于培养准确概括的思维能力。
上例的基本过程就是：通过提出“问题”，引导学生质疑；通过学生的“有疑”，培养学生的创新。这就是教师在提出问题后如何进行“变式设问”的教学。
（二）变更范式，为创新开拓思路
这里范式是指数学课本中具有的思维成果，含基础知识、知识结构、典型问题、思维模式等。把一个数学命题（习题）加以改造（或者改变条件、探求结论，或者改变结论、寻找条件，或者改变问题情境等）获得一组变式题，称为变更范式。这些变式题，对巩固基础知识、提炼思想方法、优化思维品质、提高创新能力是十分有益的。
变更范式的常用方法如下：
（1）等价变更：将原题的条件或结论，甚至整个题目用与之等价的形式替代得到新题。这是由于同一数学问题常有许多不同的表现形式或表达方式而决定的。这种变式方法有利于突出数学知识的内部联系，有利于数学知识的融会贯通。
（2）逆向探求：将命题（定理、公式、习题）的条件与结论互换，构造逆命题，检验逆命题是否成立。逆向探求是训练逆向思维的好方法。
例如，已知AD是△ABC的内角平分线，求证：AB∶AC=BD∶
DC。它的逆向探求就是：已知在△ABC中，如果D是BC上的一点，且AB∶AC=BD∶DC，那么AD是△ABC的内角平分线吗？教师可以要求学生逆向探求，培养学生的创新意识。
（3）引申命题：从一道简单的命题（习题）出发，对命题的条件或结论进行变更，通过“一般化”推广命题，通过“特殊化”获得结论，使命题向纵深化方向发展。引申命题是提出新问题的好方法，有利于提炼通法，有利于创新思维。
例题：在△ABC中，如果D是BC延长线上的一点，AB∶AC=BD∶DC，那么AD是△ABC的内角平分线吗？
引申：在△ABC中，如果D是CB延长线上的一点，AB∶AC=BD∶DC，那么AD是△ABC的内角平分线吗？
很显然，通过这样的引申，学生在问题探讨过程中就有了创新意识。同时，借鉴原有的知识，就可以培养自己的创新能力。
（4）数形变换：将代数问题等价地转化为相应的几何问题，或者将几何问题经恰当处理化归为代数问题。数和形作为数学的两个基本对象，是现实世界的数量关系与空间形式的反映。数形变换将代数问题与几何问题相互转化，有利于发展形象思维，有利于培养创新意识，有利于提高化归能力。
（5）变更题型：所谓“题型”指的是题目的结构形式，也就是在一道题目中，将已知与未知及解题指令中的所有事项相互联结起来的逻辑形式。变更题型，就是将课本例、习题的结构形式进行变更，如将封闭性题变为开放性题等。变更题型有助于理解题目的本质属性，开阔解题思路，提高解题能力。
（6）图形变换：以基本图形为“生长点”，通过图形的变换得到变式题组。在几何学习中，加强图形的变式训练，有利于发展空间想象能力和逻辑推理能力。图形变换的作用有二：一是寻找图形的不变性，二是从复杂图形中分解出基本图形。
例如：已知在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，求三角形的周长。这个题目，就要求学生能通过空间想象能力和逻辑推理能力进行图形变换，才能正确地解决问题。学生经过这样的范式分析整理，一般就为“变式练习”垫定了创新的基础。
（三）练习创新，为创新拓展平台
变式练习，就是将练习题演变，借题发挥，一题多变，提升学生的思维能力和解题能力。通过这样的“变”，不仅使学生巩固记忆，而且完善了自身的应变能力、应试技巧。整节课前后贯通，紧密相连，形成一个知识网络体系。
例如：在教学定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对弧”。教师在指导学生学习时，要使学生弄清楚：①是直径垂直弦还是弦垂直直径？②什么平分弦？③弧是怎么样的弧？④什么平分弧？⑤这个定理中所有的平分、垂直是由什么确定的？
首先是范式分析整理，上面的例题翻译成数学语言，就是：“已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，那么AB平分弦CD，AB平分优弧CD、平分劣弧CD。现在的问题是如何改变题目的已知条件和结论？改变哪些条件和结论，这个题目依然成立？在这里，教师可以让学生自己进行尝试，让学生自己去改变题目的已知和结论。根据学生已有的经验，他们自己通过尝试，是可以寻找出规律的。这个题目仅仅改变已知和结论，就有6种不同的类型出现。
（四）评价递进，为创新延伸发展
学生在自己尝试的基础上，通过变式练习，思维已经开始活跃，教师要不失时机地引导。探究数学问题不仅仅是改变题目的已知条件和结论的问题，从中的方法还有“形式变式”、“方法变式”、“内容变式”等等，要能多思善变，举一反三。既会正向思维，又能逆向探求；既要发散思考，又会收敛思维。多向思考和研究问题，深化对知识的理解。
要通过概括、比较，在自主探究的基础上，形成新解法、新命题、新观点，积累数学学习活动经验。新的观点形成后，通过在班级或小组的交流、反思、评价，能够及时纠正错误、弥补错漏，以求新求异，强化创新意识，发展创新思维。
三、“变式学习”应掌握的基本原则
新课程数学教材的最大特点是体现素质教育的要求，着重培养学生的创新意识和动手能力，培养学生学数学、用数学的意识，使其养成良好的学习习惯。在课堂教学中实施变式学习，应该掌握以下原则：
（一）“变式学习”中的科学性原则
培养学生的创新思维是我们进行“变式学习”的根本目标，它并不一定强调要取得什么发明和创造（因为这与初中学生的要求太高了点），而更关注的是学习过程和思考问题的方法。对于初中学生而言，其创新思维的过程概括起来就是：面对现状会发现问题，面对问题会科学猜想，会收集各种有用的信息并进行组合加工，设计出求证的方案并作论证，还要在解释结论中学会反思评价，从而发现新的问题，变式学习要的就是这一点。
（二）“变式学习”中的渐进性原则
变式学习的目的是为了培养学生的创新意识和实践能力，这是新型人才的一种基本素质，它是在上述科学性原则的指导下的一个渐进的过程，是一个逐步体验和感悟的过程。教学中 采用铺垫方法让问题步步深入，用一连串小问题引领学生思维，并通过动手、动口、动脑来完成变式学习的过程，学生的创新意识、创新能力才能得到渐进持久地发展。如果教师不掌握变式学习中这个渐进性原则，脱离学生实际水平，培养学生的创新精神和实践能力，到头来只能是“竹篮子打水一场空”。
（三）“变式学习”中的反思性原则
面对众多的知识素材，如何组织教学内容，如何选择教学方法，如何确定最佳形式来实施变式教学，关键就是让学生学会反思。根据新课标理念和学生的实际水平，进行全方位、多角度的思考，积极主动地去重组问题。在设计中反思，在反思中修改，一边实践一边思索，不断修正自己的教学行为，提高教学水平，这是变式学习比较高的目标。
变式学习，第一步的“变”，就已经有“创新”的意义；第二步的“问题解决”，更是有“新发明、新突破”的实质体现。法国著名数学家阿达玛在其名著《数学领域中的发明心理学》中指出：“数学家们从事数学研究工作，固然已属发明的范畴，数学专业的学生在解决一个几何或代数的问题时，实质上也与数学家们的发明具有同样的性质，只是两者在程度深浅和水平高低上有着差距而已。”从此处我们可以领悟，通过变式学习，是可以培养学生的创新精神和实践能力的。
一、数学变式学习的涵义
数学变式学习，就是变更数学问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况下，使事物的非本质属性不断迁移，然后予以解决的过程。
将原来的题目进行变式然后进行学习，是当今数学课堂教学中比较常用的，但是至今还没有提到理论的高度、引起重视一种方法。事实上这种方法也是学生从模仿走向创新的“跳板”，在现在的学习环境下不失为是一种比较有效的学习方法。
二、数学变式学习的基本过程
变式学习，一般来说其实施过程应该是“以问题为起点，以变式探究为重点，以培养创新意识为目标”。它按照“问题（范式）──变式（练习）─—创新（尝试）─—评价（递进）”的学习程序，积累数学活动经验，形成数学知识网络，培养创新意识和创新能力。
整个学习过程，通过变式探究这个重点，注重将变式学习与创新学习相融合，以期实现培养学生的创新意识和创新能力这个目标。
（一）提出问题，为创新提供条件
提出问题，是教师引导学生就数学基本知识、基本方法、典型问题而提出的。如定理的逆命题是否成立？概念、定理、公式在解题中的作用是什么？从课本上的结论能推出哪些新结论？这一节、章内容有哪些主要的思想方法？这些思想方法在解决问题时是怎样运用的？这个题目能推广吗？等等。
例如：已知AD是△ABC的内角平分线，求证：AB∶AC=BD∶DC。
教师在提出的问题前，心里就始终要有“问题既是学生学习的起点，又是学生学习的终点（新问题）”这样的一个新观念。如何利用这个问题，就有许多不同的方法：
方法一，为了解题而解题，这是缺少培养学生创新意识的教师的方法。他们往往在解决问题前就指点学生“过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E”。这种方法解决问题速度快，但是学生自己没有思想，学生的思想是被教师牵住了。
方法二，即所谓的启发式。教师引导：“我们现在学习的内容是什么？那么根据现在学习的内容，你可以用作平行线的方法解决吗？”
方法三，有培养学生创新意识的教师肯定不是这样处理的。他们肯定会围绕这个问题深入分析，让学生不但自己能得出“过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E”，而且还知道为什么要这样作平行线。教师这样引导学生：如何证明AB∶AC=BD∶DC？线段BD和CD位置关系有什么特征？既然BD与CD在同一条直线上，并且有一个公共端点，象这样的2条线段的比，可以通过什么方法才有可能得出？如何作平行线？”
变式设问就是指围绕数学概念的本质，设计变式题组，以突出本质特征。常见的有引入设问、辨析设问、深化设问和质疑设问。变式设问常从某个“范式”出发，层层设计问题，将思维由浅入深，有利于培养准确概括的思维能力。
上例的基本过程就是：通过提出“问题”，引导学生质疑；通过学生的“有疑”，培养学生的创新。这就是教师在提出问题后如何进行“变式设问”的教学。
（二）变更范式，为创新开拓思路
这里范式是指数学课本中具有的思维成果，含基础知识、知识结构、典型问题、思维模式等。把一个数学命题（习题）加以改造（或者改变条件、探求结论，或者改变结论、寻找条件，或者改变问题情境等）获得一组变式题，称为变更范式。这些变式题，对巩固基础知识、提炼思想方法、优化思维品质、提高创新能力是十分有益的。
变更范式的常用方法如下：
（1）等价变更：将原题的条件或结论，甚至整个题目用与之等价的形式替代得到新题。这是由于同一数学问题常有许多不同的表现形式或表达方式而决定的。这种变式方法有利于突出数学知识的内部联系，有利于数学知识的融会贯通。
（2）逆向探求：将命题（定理、公式、习题）的条件与结论互换，构造逆命题，检验逆命题是否成立。逆向探求是训练逆向思维的好方法。
例如，已知AD是△ABC的内角平分线，求证：AB∶AC=BD∶
DC。它的逆向探求就是：已知在△ABC中，如果D是BC上的一点，且AB∶AC=BD∶DC，那么AD是△ABC的内角平分线吗？教师可以要求学生逆向探求，培养学生的创新意识。
（3）引申命题：从一道简单的命题（习题）出发，对命题的条件或结论进行变更，通过“一般化”推广命题，通过“特殊化”获得结论，使命题向纵深化方向发展。引申命题是提出新问题的好方法，有利于提炼通法，有利于创新思维。
例题：在△ABC中，如果D是BC延长线上的一点，AB∶AC=BD∶DC，那么AD是△ABC的内角平分线吗？
引申：在△ABC中，如果D是CB延长线上的一点，AB∶AC=BD∶DC，那么AD是△ABC的内角平分线吗？
很显然，通过这样的引申，学生在问题探讨过程中就有了创新意识。同时，借鉴原有的知识，就可以培养自己的创新能力。
（4）数形变换：将代数问题等价地转化为相应的几何问题，或者将几何问题经恰当处理化归为代数问题。数和形作为数学的两个基本对象，是现实世界的数量关系与空间形式的反映。数形变换将代数问题与几何问题相互转化，有利于发展形象思维，有利于培养创新意识，有利于提高化归能力。
（5）变更题型：所谓“题型”指的是题目的结构形式，也就是在一道题目中，将已知与未知及解题指令中的所有事项相互联结起来的逻辑形式。变更题型，就是将课本例、习题的结构形式进行变更，如将封闭性题变为开放性题等。变更题型有助于理解题目的本质属性，开阔解题思路，提高解题能力。
（6）图形变换：以基本图形为“生长点”，通过图形的变换得到变式题组。在几何学习中，加强图形的变式训练，有利于发展空间想象能力和逻辑推理能力。图形变换的作用有二：一是寻找图形的不变性，二是从复杂图形中分解出基本图形。
例如：已知在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，求三角形的周长。这个题目，就要求学生能通过空间想象能力和逻辑推理能力进行图形变换，才能正确地解决问题。学生经过这样的范式分析整理，一般就为“变式练习”垫定了创新的基础。
（三）练习创新，为创新拓展平台
变式练习，就是将练习题演变，借题发挥，一题多变，提升学生的思维能力和解题能力。通过这样的“变”，不仅使学生巩固记忆，而且完善了自身的应变能力、应试技巧。整节课前后贯通，紧密相连，形成一个知识网络体系。
例如：在教学定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对弧”。教师在指导学生学习时，要使学生弄清楚：①是直径垂直弦还是弦垂直直径？②什么平分弦？③弧是怎么样的弧？④什么平分弧？⑤这个定理中所有的平分、垂直是由什么确定的？
首先是范式分析整理，上面的例题翻译成数学语言，就是：“已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，那么AB平分弦CD，AB平分优弧CD、平分劣弧CD。现在的问题是如何改变题目的已知条件和结论？改变哪些条件和结论，这个题目依然成立？在这里，教师可以让学生自己进行尝试，让学生自己去改变题目的已知和结论。根据学生已有的经验，他们自己通过尝试，是可以寻找出规律的。这个题目仅仅改变已知和结论，就有6种不同的类型出现。
（四）评价递进，为创新延伸发展
学生在自己尝试的基础上，通过变式练习，思维已经开始活跃，教师要不失时机地引导。探究数学问题不仅仅是改变题目的已知条件和结论的问题，从中的方法还有“形式变式”、“方法变式”、“内容变式”等等，要能多思善变，举一反三。既会正向思维，又能逆向探求；既要发散思考，又会收敛思维。多向思考和研究问题，深化对知识的理解。
要通过概括、比较，在自主探究的基础上，形成新解法、新命题、新观点，积累数学学习活动经验。新的观点形成后，通过在班级或小组的交流、反思、评价，能够及时纠正错误、弥补错漏，以求新求异，强化创新意识，发展创新思维。
三、“变式学习”应掌握的基本原则
新课程数学教材的最大特点是体现素质教育的要求，着重培养学生的创新意识和动手能力，培养学生学数学、用数学的意识，使其养成良好的学习习惯。在课堂教学中实施变式学习，应该掌握以下原则：
（一）“变式学习”中的科学性原则
培养学生的创新思维是我们进行“变式学习”的根本目标，它并不一定强调要取得什么发明和创造（因为这与初中学生的要求太高了点），而更关注的是学习过程和思考问题的方法。对于初中学生而言，其创新思维的过程概括起来就是：面对现状会发现问题，面对问题会科学猜想，会收集各种有用的信息并进行组合加工，设计出求证的方案并作论证，还要在解释结论中学会反思评价，从而发现新的问题，变式学习要的就是这一点。
（二）“变式学习”中的渐进性原则
变式学习的目的是为了培养学生的创新意识和实践能力，这是新型人才的一种基本素质，它是在上述科学性原则的指导下的一个渐进的过程，是一个逐步体验和感悟的过程。教学中 采用铺垫方法让问题步步深入，用一连串小问题引领学生思维，并通过动手、动口、动脑来完成变式学习的过程，学生的创新意识、创新能力才能得到渐进持久地发展。如果教师不掌握变式学习中这个渐进性原则，脱离学生实际水平，培养学生的创新精神和实践能力，到头来只能是“竹篮子打水一场空”。
（三）“变式学习”中的反思性原则
面对众多的知识素材，如何组织教学内容，如何选择教学方法，如何确定最佳形式来实施变式教学，关键就是让学生学会反思。根据新课标理念和学生的实际水平，进行全方位、多角度的思考，积极主动地去重组问题。在设计中反思，在反思中修改，一边实践一边思索，不断修正自己的教学行为，提高教学水平，这是变式学习比较高的目标。
变式学习，第一步的“变”，就已经有“创新”的意义；第二步的“问题解决”，更是有“新发明、新突破”的实质体现。法国著名数学家阿达玛在其名著《数学领域中的发明心理学》中指出：“数学家们从事数学研究工作，固然已属发明的范畴，数学专业的学生在解决一个几何或代数的问题时，实质上也与数学家们的发明具有同样的性质，只是两者在程度深浅和水平高低上有着差距而已。”从此处我们可以领悟，通过变式学习，是可以培养学生的创新精神和实践能力的。