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众所周知，以下两个观点已经形成定论：1、数学概念和理论的拓宽和发展与日俱增，数学的实用性越来越广泛地受到重视；2、在科学技术的飞速发展，充满竞争的时代，数学素养已成为人类的基本素养。具体一点说，每个人都必须学习数学，但是客观上又不可能全面学习，这就给数学教育提出了一个紧迫的研究课题。
在我国，教育部门及时地推出了由“应试教育”向“素质教育”的转变，正是适应新的形势要求，现在人们已经清醒地认识到：学校所培养的人才应该不再是知识型的人才，而应该是智能型的人才。
为此，除了从数学思想、教育观念上转变之外，还需花大力气研究教育方法和手段，真正把素质教育落实到具体的教学过程中去。
在教育过程中，不管是采用何种具体的教育方法，都必须以启发式教学作为总的根本性的指导思想。启发式教学源于我国古代“不愤不启，不悱不发”的说法，意思是指在学生心求通而未得、口欲言而不能的状态下进行点拨，使其思而得之。现代启发式教学已经被赋予了新的涵义：不仅在学生处于“愤”、“悱”状态下进行启发，而且教师要创设情境诱导学生，使其进入“愤”、“悱”状态。实际上，我们现在把凡能引导学生自觉学习、积极思考和主动实践的一切教学方法和方式称为启发式教学：
一、两个失败的启发式教学案例
例1：等腰三角形性质定理的教学
教师出示小黑板，上面画有图形（如右图）。
师问：△ABC是等腰三角形吗?
生答：是。
师问：AB=AC，∠B与∠C相等吗？
生答：相等。
师问：要证明这个问题，作∠A的角平分线行吗？
生答：行。
这种一问一答的教学方法，虽然与“注入式”教学有所区别，但是并没有启动学生的思维活动，也没有调动学生的积极性。
例2：勾股定理的教学
教师在黑板上作出一个直角三角形（如右图）。
师问：直角三角形三条边之间有没有一个等式存在？
学生：（沉默）
这种问而不答的教学情景，显然也不是“注入式”教学模式，但是学生思考没有方向和结果，思维仍然没有得到锻炼。
事实上，前一例在启发时已把结果拿出来，聪明的学生当然不假思索了；而后一例在启发时，离题遥远。两种教学活动，一种是一经启动就得到了果实，一种是启而不动得到了果实，比起不曾被启动的“注入式”稍微进步了一点，但并不是真正的“启发式”。
二、逐步分层启发式教学
在启发式教学的过程中，我们先在有限的条件下提出一个具有探索性的问题，来引导学生的好奇和兴趣，让学生试着去探索，这样可以培养学生的直觉思维。然后或强调某条件的特殊性，或指出已有条件间的联系，或添加一两个条件，来引导学生深入思考，以培养学生的观察力、推理意识和化归意识。如果还有一些学生启而不动，就进一步指出条件间的联系，指出思考的方向，来帮助学生向问题解决逼近。这种启发方法，是先有一个总问题（辐射范围较大），再有一个子问题（范围缩小了），然后再有一个子问题（逼近结果）的思维模式的教学，我们不妨称之为逐步分层启发式教学。
一般地说，为了在有限的时间内完成教学任务，启发的步骤分三步较为合适，教师在备课时对学生的实际状况应有所估量，只有这样才能在教学过程中随机而动。第一步启发，能启动10%的学生即可；第二步启发，能启动40%的学生即可；第三步启发，要启动80%的学生才好。我们叫这种教学活动为三步启发式。
例3：“在△ABC中，已知AB=AC,求证∠B=∠C”的教学片断
[第一步启发]提出探索性、概括性较强的问题。
师问：在平面几何中，证明两个角相等的方法很多，你们学过哪些主要方法？
生答：平行线和全等形。
[第二步启发]增设条件，提出思维重点，引导思维方向。
生答：角平分线、中线、高。
[第三步启发]点明主题和目的，引导学生行动。
师问：你添加怎样的线段，可以由已知推证出∠B=∠C呢？请选一种简单的写出来。
生答：角平分线。
这就是“三步启发式”教学。根据学生的思维特点，课堂提问要由易到难、由简到繁、由浅入深、由形象到抽象，层层递进。这样才能使学生的思维由“未知区”向“最近发展区”最后向“已知区”转化，然后达到理想的教学效果。要巧设坡度分层次地进行，有时运用演译推理，有时运用逐步分析，来启发学生朝着目标深入思考。
1、化归启发式教学
数学中有许多结论和规律，都是靠观察、分析、综合才得到的，而许多结论得到的过程都是复杂而漫长的，这过程表现在我们的教科书上，就被淡化了。但是，要使学生深刻地理解那些精辟的数学规律，教师应引导学生弄清知识发生的过程，也就是说，先给学生提供一些特殊材料，让学生观察、分析、联想。为了防止学生走弯路，然后提出一些重要特征或联系，诱导学生集中思维，最后再指导学生总结出有用的规律和结论。这种方式我们称之为化归启发式教学。
例4：平方根的定义及性质的教学片断
[第一步启发]出示一些特殊的材料供学生分析、观察。
出示填空题：
（1）32 = （-3）2 =
（2）0.72 = （-0.7）2 =
（3)（3/4）2=
(4)02 =
师问：一个正数的平方是什么数？一个负数的平方呢？0的平方呢？
[第二步启发]点明观察的角度和分析的方向，启发学生发现新的特点。
师问：（1）一个数的平方等于9，这个数是什么数?有几个？（2）一个数的平方等于0.49，这个数是什么数?有几个？（3）一个数的平方等于9/16，这个数是什么数?有几个？（4）一个数的平方等于0，这个数是什么数?有几个？
这种问题是根据一个数的平方刨根问底，求平方下面那个底数，这个结果取个什么名字好呢？
[第三步启发]进一步点明材料和问题的特点，引导深入思考。
师问：（1）9的平方根是什么?有几个？（2）0.49的平方根是什么?有几个？（3）9/16的平方根是什么?有几个？（4）一个正数的平方根有什么特点？0的平方根呢？（5）一个负数有平方根吗？为什么？
这就是化归启发式，这种方法符合人的归纳推理思维。
2、类比启发式教学
利用类比思想来启发学生进行思维活动，就是启发学生先回顾一个已知的判断，或一个已知的论证，或一个已知的理论，然后再启发学生猜想到一个新的判断、新的论证或新的理论。下面举例说明：
例5：分式的基本性质教学片断
[第一步启发]提供已知的类比结构。
师问：（1）4/5=（4×3）/（5×3）；（2）6/9=（6÷3）/（9÷3）。这两个等式是怎样从左得到右的？应用了什么性质？
生答：应用了等式基本性质
[第二步启发]发现未知的知识结构。
师问：在分数的加减乘除运算中，我们用分数的基本性质来通分或约。那么，在分式的运算中也需要通分或约分，分式有什么性质呢？
生答：分式的基本性质。
[第三步启发]应用新的数学结构，进行思维同化。
师问：（1）；(2)。这两个等式是怎样从左得到右的？应用了什么性质？
这就是类比启发式教学，这里需要注意的是：拿来进行类比的结构，一定要具体、形象、有针对性。
既具有发现的思想，又运用了程序的原则，这就是启发式教学。启发式教学可看成是重视了教师主导作用、编制了一定认识程序的教学方法。
启发式教学应把握以下几个重点：
1、启发式教学必须在全堂课的结构上造成“启发态势”。这种态势要具有激发功能，在课堂上要能使学生产生在迫切的需要中进行学习的作用。
2、启发式教学还需要贯彻分步原则，逐步引人入胜（前面所讲述的三步启发式就是如此），通过实施分步原则，使学生的认识不断深入、不断精化，逐步达到由浅入深、去粗存精的境界。
3、启发式教学还必须强调老师的主导作用，从教学论的观点来看，主导作用的核心是启发、诱导，课堂上当学生一时不明白还要做怎样的研究、大多数学生感到难以统一时，老师的主导作用就要发挥。
三、启发过程中常用的语言
让我们站在学生的位置上来看，他们会提出什么样的问题呢？他们想提出的是这样一些问题：“这是为什么？那是一种怎样的情况？似乎还存在一些问题，下一步该怎么办呢？我想应该是这样的，怎么说呢？”……我们可以此为模型，来帮助深思而又迷惑不解的学生提出问题：“你发现什么？你联想到了什么？你是怎样想的？你认为怎样？你得到了什么结论？”……以此来鼓励、启发，促使学生深入思维。
这才是启发式教学，当然启发不一定单靠语言，有时候是无声胜有声，一个手势动作、一个符号、一个图像图片，或一件事物、一段演示等，都可以用来启迪学生的思维。
总之，学生智力的发展，不仅依赖于知识的性质、份量和结构，更重要的是依赖于教师传授知识的方法。在数学教学中，注意多启发学生动脑筋，引导学生有条有理地、有根有据地、一步一步地研究问题，必定会使学生的思维素质得到大幅度的提高。
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在我国，教育部门及时地推出了由“应试教育”向“素质教育”的转变，正是适应新的形势要求，现在人们已经清醒地认识到：学校所培养的人才应该不再是知识型的人才，而应该是智能型的人才。
为此，除了从数学思想、教育观念上转变之外，还需花大力气研究教育方法和手段，真正把素质教育落实到具体的教学过程中去。
在教育过程中，不管是采用何种具体的教育方法，都必须以启发式教学作为总的根本性的指导思想。启发式教学源于我国古代“不愤不启，不悱不发”的说法，意思是指在学生心求通而未得、口欲言而不能的状态下进行点拨，使其思而得之。现代启发式教学已经被赋予了新的涵义：不仅在学生处于“愤”、“悱”状态下进行启发，而且教师要创设情境诱导学生，使其进入“愤”、“悱”状态。实际上，我们现在把凡能引导学生自觉学习、积极思考和主动实践的一切教学方法和方式称为启发式教学：
一、两个失败的启发式教学案例
例1：等腰三角形性质定理的教学
教师出示小黑板，上面画有图形（如右图）。
师问：△ABC是等腰三角形吗?
生答：是。
师问：AB=AC，∠B与∠C相等吗？
生答：相等。
师问：要证明这个问题，作∠A的角平分线行吗？
生答：行。
这种一问一答的教学方法，虽然与“注入式”教学有所区别，但是并没有启动学生的思维活动，也没有调动学生的积极性。
例2：勾股定理的教学
教师在黑板上作出一个直角三角形（如右图）。
师问：直角三角形三条边之间有没有一个等式存在？
学生：（沉默）
这种问而不答的教学情景，显然也不是“注入式”教学模式，但是学生思考没有方向和结果，思维仍然没有得到锻炼。
事实上，前一例在启发时已把结果拿出来，聪明的学生当然不假思索了；而后一例在启发时，离题遥远。两种教学活动，一种是一经启动就得到了果实，一种是启而不动得到了果实，比起不曾被启动的“注入式”稍微进步了一点，但并不是真正的“启发式”。
二、逐步分层启发式教学
在启发式教学的过程中，我们先在有限的条件下提出一个具有探索性的问题，来引导学生的好奇和兴趣，让学生试着去探索，这样可以培养学生的直觉思维。然后或强调某条件的特殊性，或指出已有条件间的联系，或添加一两个条件，来引导学生深入思考，以培养学生的观察力、推理意识和化归意识。如果还有一些学生启而不动，就进一步指出条件间的联系，指出思考的方向，来帮助学生向问题解决逼近。这种启发方法，是先有一个总问题（辐射范围较大），再有一个子问题（范围缩小了），然后再有一个子问题（逼近结果）的思维模式的教学，我们不妨称之为逐步分层启发式教学。
一般地说，为了在有限的时间内完成教学任务，启发的步骤分三步较为合适，教师在备课时对学生的实际状况应有所估量，只有这样才能在教学过程中随机而动。第一步启发，能启动10%的学生即可；第二步启发，能启动40%的学生即可；第三步启发，要启动80%的学生才好。我们叫这种教学活动为三步启发式。
例3：“在△ABC中，已知AB=AC,求证∠B=∠C”的教学片断
[第一步启发]提出探索性、概括性较强的问题。
师问：在平面几何中，证明两个角相等的方法很多，你们学过哪些主要方法？
生答：平行线和全等形。
[第二步启发]增设条件，提出思维重点，引导思维方向。
生答：角平分线、中线、高。
[第三步启发]点明主题和目的，引导学生行动。
师问：你添加怎样的线段，可以由已知推证出∠B=∠C呢？请选一种简单的写出来。
生答：角平分线。
这就是“三步启发式”教学。根据学生的思维特点，课堂提问要由易到难、由简到繁、由浅入深、由形象到抽象，层层递进。这样才能使学生的思维由“未知区”向“最近发展区”最后向“已知区”转化，然后达到理想的教学效果。要巧设坡度分层次地进行，有时运用演译推理，有时运用逐步分析，来启发学生朝着目标深入思考。
1、化归启发式教学
数学中有许多结论和规律，都是靠观察、分析、综合才得到的，而许多结论得到的过程都是复杂而漫长的，这过程表现在我们的教科书上，就被淡化了。但是，要使学生深刻地理解那些精辟的数学规律，教师应引导学生弄清知识发生的过程，也就是说，先给学生提供一些特殊材料，让学生观察、分析、联想。为了防止学生走弯路，然后提出一些重要特征或联系，诱导学生集中思维，最后再指导学生总结出有用的规律和结论。这种方式我们称之为化归启发式教学。
例4：平方根的定义及性质的教学片断
[第一步启发]出示一些特殊的材料供学生分析、观察。
出示填空题：
（1）32 = （-3）2 =
（2）0.72 = （-0.7）2 =
（3)（3/4）2=
(4)02 =
师问：一个正数的平方是什么数？一个负数的平方呢？0的平方呢？
[第二步启发]点明观察的角度和分析的方向，启发学生发现新的特点。
师问：（1）一个数的平方等于9，这个数是什么数?有几个？（2）一个数的平方等于0.49，这个数是什么数?有几个？（3）一个数的平方等于9/16，这个数是什么数?有几个？（4）一个数的平方等于0，这个数是什么数?有几个？
这种问题是根据一个数的平方刨根问底，求平方下面那个底数，这个结果取个什么名字好呢？
[第三步启发]进一步点明材料和问题的特点，引导深入思考。
师问：（1）9的平方根是什么?有几个？（2）0.49的平方根是什么?有几个？（3）9/16的平方根是什么?有几个？（4）一个正数的平方根有什么特点？0的平方根呢？（5）一个负数有平方根吗？为什么？
这就是化归启发式，这种方法符合人的归纳推理思维。
2、类比启发式教学
利用类比思想来启发学生进行思维活动，就是启发学生先回顾一个已知的判断，或一个已知的论证，或一个已知的理论，然后再启发学生猜想到一个新的判断、新的论证或新的理论。下面举例说明：
例5：分式的基本性质教学片断
[第一步启发]提供已知的类比结构。
师问：（1）4/5=（4×3）/（5×3）；（2）6/9=（6÷3）/（9÷3）。这两个等式是怎样从左得到右的？应用了什么性质？
生答：应用了等式基本性质
[第二步启发]发现未知的知识结构。
师问：在分数的加减乘除运算中，我们用分数的基本性质来通分或约。那么，在分式的运算中也需要通分或约分，分式有什么性质呢？
生答：分式的基本性质。
[第三步启发]应用新的数学结构，进行思维同化。
师问：（1）；(2)。这两个等式是怎样从左得到右的？应用了什么性质？
这就是类比启发式教学，这里需要注意的是：拿来进行类比的结构，一定要具体、形象、有针对性。
既具有发现的思想，又运用了程序的原则，这就是启发式教学。启发式教学可看成是重视了教师主导作用、编制了一定认识程序的教学方法。
启发式教学应把握以下几个重点：
1、启发式教学必须在全堂课的结构上造成“启发态势”。这种态势要具有激发功能，在课堂上要能使学生产生在迫切的需要中进行学习的作用。
2、启发式教学还需要贯彻分步原则，逐步引人入胜（前面所讲述的三步启发式就是如此），通过实施分步原则，使学生的认识不断深入、不断精化，逐步达到由浅入深、去粗存精的境界。
3、启发式教学还必须强调老师的主导作用，从教学论的观点来看，主导作用的核心是启发、诱导，课堂上当学生一时不明白还要做怎样的研究、大多数学生感到难以统一时，老师的主导作用就要发挥。
三、启发过程中常用的语言
让我们站在学生的位置上来看，他们会提出什么样的问题呢？他们想提出的是这样一些问题：“这是为什么？那是一种怎样的情况？似乎还存在一些问题，下一步该怎么办呢？我想应该是这样的，怎么说呢？”……我们可以此为模型，来帮助深思而又迷惑不解的学生提出问题：“你发现什么？你联想到了什么？你是怎样想的？你认为怎样？你得到了什么结论？”……以此来鼓励、启发，促使学生深入思维。
这才是启发式教学，当然启发不一定单靠语言，有时候是无声胜有声，一个手势动作、一个符号、一个图像图片，或一件事物、一段演示等，都可以用来启迪学生的思维。
总之，学生智力的发展，不仅依赖于知识的性质、份量和结构，更重要的是依赖于教师传授知识的方法。在数学教学中，注意多启发学生动脑筋，引导学生有条有理地、有根有据地、一步一步地研究问题，必定会使学生的思维素质得到大幅度的提高。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”