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摘要：数学是一门应用广泛的学科，加强学生应用能力的培养是高等数学课程教学的重点之一。数学模型是沟通实际问题与数学工具之间的桥梁。利用数学建模可提高学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的能力。
关键词：高职；数学模型；应用能力
数学最显著的特点之一就是其应用极其广泛。在我们日常生活中随处都能找到数学的影子。在社会生活的各个领域，都在运用着数学的概念、法则和结论。很多看似和数学无关的问题都可以运用数学工具加以解决。但很多高职学生由于基础薄弱，学习数学的兴趣不高，不知道数学有什么用途，他们认为数学是枯燥无味的，学习数学就是为了应付考试。而现在数学素养已成为公民文化素养的重要内容，更是大学生不可或缺的基本素质。高等数学教学一个很突出的方面就是培养学生的应用能力。数学模型是沟通实际问题与数学工具之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，实际上就是将数学理论知识应用于实际的过程。本文拟就数学模型在教学中的应用作粗浅探讨。
重视知识应用过程，提高学生学习数学的兴趣
学生能否对数学产生兴趣，主要依赖于教学过程，与教学内容和教学方法的选择和应用密切相关。因此，教师必须在教法和学法指导上多下工夫，狠下工夫，从数学应用的角度处理数学、阐释数学、呈现数学，以提高学生的数学理论知识和操作水平；必须加强数学应用环节的实践，注重用数学解决学生身边的问题，用学生容易接受的方式展开数学教学，注重学生的亲身实践；必须重视在应用数学中传授数学思想和方法，把培养学生解决实际问题的能力作为教学内容的主线，运用“问题情境—建立模型—解释与应用”的教学模式，多角度、多层次地编排数学应用的内容，有效地激发学生的学习兴趣。
例1：7只茶杯，杯口全部向上，每次翻转其中的4只(杯口向上的变为杯口向下，杯口向下的变为杯口向上)。能否经过有限次的翻转，使得7只茶杯的杯口全部向下？
分析：将7只茶杯用字母分别表示为Ａ1、Ａ2、…Ａ7，茶杯的杯口朝上记为Ａi= 1，杯口朝下记为Ａi=－1（ｉ=0，1，2，…7），每次翻转改变其中的4只杯子的杯口方向，相当于7个字母中的4个字母取值改变符号，即相当于将其中4个字母各乘以－1。
问题归结为：已知7个字母Ａ1、Ａ2、…Ａ7，在开始时全部取值为 1，每次改变其中4个字母的符号，经过有限次后能否将7个 1变为7个－1？
解析：考察经过第ｉ次翻转的7个字母的乘积Ｍi=Ａ1Ａ2…Ａ7，开始的时候相当于7个字母取值全为 1，它们的积Ｍ0=Ａ1Ａ2…Ａ7=（ 1）7= 1；经过一次翻转后，Ｍ1=Ａ1Ａ2…Ａ7=Ｍ0（－1）4= 1；经过两次翻转后，Ｍ2=Ａ1Ａ2…Ａ7=Ｍ1（－1）4= 1；……所以不论经过多少次翻转，7个字母的乘积保持不变，仍为 1。另一方面，杯口全部朝下，相当于7个字母全部取值为－1，它们的乘积是－1。这就表明，经过有限次的翻转，7个 1绝不会变为7个－1。因此，经过有限次的翻转，不能使7只茶杯的杯口全部朝下。
例2：某人第一天上午8点由山下出发，下午15点抵达山顶；第二天上午8点由山顶出发按原路返回，并于下午15点回到山下原出发点。问在两天的行程中是否存在这样一个点，该人经过这个点时，两天的手表指向同一时刻？
分析：这个问题初看起来不容易得到答案。我们可以换一个角度思考，把该人在两天中做的事改到同一天中来做，设想将这个人再“克隆”出一个人来，上午8点该人由山下出发，而“克隆人”同时由山上出发，由于走的是同一条路线，因此该人与其克隆人必定在中途相遇，在相遇点处，则手表指向同一时刻。
下面用数学工具证明。该问题与行走的路线长度、形状无关，不失一般性，不妨设行走的路线是线段ＡＢ，设行走的时间ｔ是位置ｘ的连续函数。
第一天，Ａ→Ｂ，设ｔ=ｆ（ｘ），Ａ≤ｘ≤Ｂ，且ｆ（Ａ）=8，ｆ（Ｂ）=15；第二天，Ｂ→Ａ，ｔ=ｇ（ｘ），Ａ≤ｘ≤Ｂ，且ｇ（Ａ）=15，ｇ（Ｂ）=8。
问题归结为：已知连续函数ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ），Ａ≤ｘ≤Ｂ，且ｆ（Ａ）=8，ｆ（Ｂ）=15；ｇ（Ａ）=15，ｇ（Ｂ）=8。求证：存在点ｘ0∈[Ａ，Ｂ]，使得ｆ（ｘ0）=ｇ（ｘ0）。
证明：设Ｈ（ｘ）=ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）Ａ≤ｘ≤Ｂ，则Ｈ（ｘ）也是连续函数，且Ｈ（Ａ）=ｆ（Ａ）－ｇ（Ａ）=8－15<0，Ｈ（Ｂ）=ｆ（Ｂ）－ｇ（Ｂ）=15－8>0，因此存在ｘ0∈[Ａ，Ｂ]，使得Ｈ（ｘ0）=0，即ｆ（ｘ0）=ｇ（ｘ0）。
通过趣味数学应用的案例分析与数学建模，体现了数学应用的广泛性，在一定程度上帮助学生看到数学生动、有趣、甚至好玩的一面，以丰富数学学习的内容，提高学生学习数学的积极性、主动性、探索性。
另外，课堂教学中应充分发挥学生的主体作用和教师的主导功能。教师可根据教学内容的特点，精心组织、科学设计，把抽象的概念、深奥的原理，寓于生动、有趣的典故、发现史中，适当、合理地运用图片、模型、多媒体教学等手段，促进理论与实际的有机结合，使学生产生浓厚的学习兴趣。只有当学生有了学习兴趣，思维达到“兴奋点”，才能带着愉悦、激昂的心情去面对和克服一切困难，执着地去比较、分析、探索认识对象的发展规律，展现自己的智能和才干。这无疑是让学生体验成功的重要举措，更是提高学生数学兴趣的有效途径。当学生应用数学知识去解决了一个个实际问题，他们的学习兴趣必将被更进一步地激发起来，成为进一步学习的内驱力。
通过“数学建模”活动和教学，培养学生运用数学的能力
培养学生数学应用能力是高职数学教育的根本任务，是数学教学目的中的重要内容。数学应用能力是一种综合能力，它离不开数学运算、数学推理、空间想象等基本的数学能力。应把应用问题的渗透和平时教学有机地结合起来，循序渐进。在数学应用意识和能力的培养中，应特别重视学生探索精神和创新能力的培养，把数学应用问题设计成探索和开放性试题，让学生积极参与，在解题过程中充分体现学生的主体地位。在运用数学知识去解决实际问题时，首先要建构实际问题的数学模型，然后用数学理论和方法找出结果并用于实际，这样既可解决实际问题，又能促进数学新思想、新理论的建立和发展。因此“数学建模”是沟通数学理论与实际的中介和桥梁，培养学生“数学建模”能力是培养学生数学思维和应用能力的重要手段，在教学过程中穿插建模能力训练对学生是十分必要的。培养学生建模能力是一个循序渐进的过程。开始应从简单问题入手，师生共同创建模型，引导学生初步掌握应用数学形式建构模型的方法，培养学生积极参与和勇于创造的意识。随着学生能力和经验的增加，可通过实习作业或小组活动的形式，由学生展开分析讨论，分析每种模型的有效性，提出修改意见，讨论是否有进一步扩展的意义。这样可以纠正学生理解上存在片面性的问题，在不断发展、不断创造中培养信心。虽然高职学生的数学基础知识对于某些数学模型的建立略显不够，但只要花很短的时间补一下，还是可以解决问题的，关键是培养学生如何将所学数学理论与实践相结合的能力。
例如，高等数学中一个非常简单的一阶微分方程ｄxｄt=ｒx（ｘ－ｋ）在商业上可解释为新产品的销售模型，在医学上可解释为传染病的传播模型，在生物学方面，它就是著名的Logestic模型，用以解释生物在一定约束条件下的数量增长模式。这样，简单的数学问题便得以广泛地应用。通过这样的教学过程能够使学生开阔眼界，将数学知识应用到实际生活之中。
结合专业，提高学生应用数学的能力
在“数学建模”课程中，除介绍一些社会或经济中的数学应用问题外，还要根据不同专业对数学的应用水平及方法的不同要求，总结数学应用的内容、方法的差异性，找到各专业与数学的结合点，用具体的专业例子，归纳应用数学的各种模型，并以此为例，培养各专业学生应用数学的兴趣。一般来讲，对一个专业问题，要建立一个数学模型，就必须了解专业上的一些规律和经验，提出许多与量有关的合理假设。根据专业知识，利用规律，通过一些数学方法，如微元法等，列出等式，即可建立一个数学模型。建立了数学模型，就找到了实际问题的规律及解释方法。数学模型可以表现为专业公式或定性结果等。有了这样的初步认识，学生就可以知道，要想建立模型，首先，要进行专业性的实验、调查、分析，得到反映问题本质的量的概念、量之间的关系以及影响结果的一些因素；其次，需分析这些因素之间以何种形式相互影响，是否要利用其他的基础学科，如物理学、力学等的规律，绕开次要因素，简化因素间的影响关系，作出合理简化假设；最后，根据问题的性质如连续型、离散型、随机型、模糊型等，列出数学方程或函数、限制条件等，将专业问题完全转化为一个数学问题，用我们学过的数学方法解决它。例如，在机械专业的《机械设计》中二级圆柱齿轮减速器的传动比最优分配模型为minｆ（Ａ）=2Ａ（ｉ ｉ－1 2）/d，其中，Ａ为中心距，d为齿轮分度圆直径，ｉ为等级减速比。该模型根据几何原理即可得出，它是一个一维无约束最小化问题d。在实际教学中，有许多专业问题学生都能够利用所学的专业知识和数学知识建立数学模型，这样既复习了所学数学知识，又提高了解决专业实际问题的能力。
总之，数学建模解决问题的实质是学生运用数学的思想、观点、方法等与客观世界相互作用，最终达到解决实际问题为目的的创造性活动。建模的整个过程是数学应用能力的综合体现，也为培养学生这方面的能力提供了一个有益的途径。
参考文献：
[1]唐焕文，贺明峰.数学模型引论（第2版）[M].北京：高等教育出版社.2001.
[2]徐全智，杨晋浩.数学建模[M].北京：高等教育出版社，2003.
作者简介：
李宏平（1962—），湖南科技职业学院公共课部主任，副教授。
（本文责任编辑：周秀峰）
关键词：高职；数学模型；应用能力
数学最显著的特点之一就是其应用极其广泛。在我们日常生活中随处都能找到数学的影子。在社会生活的各个领域，都在运用着数学的概念、法则和结论。很多看似和数学无关的问题都可以运用数学工具加以解决。但很多高职学生由于基础薄弱，学习数学的兴趣不高，不知道数学有什么用途，他们认为数学是枯燥无味的，学习数学就是为了应付考试。而现在数学素养已成为公民文化素养的重要内容，更是大学生不可或缺的基本素质。高等数学教学一个很突出的方面就是培养学生的应用能力。数学模型是沟通实际问题与数学工具之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，实际上就是将数学理论知识应用于实际的过程。本文拟就数学模型在教学中的应用作粗浅探讨。
重视知识应用过程，提高学生学习数学的兴趣
学生能否对数学产生兴趣，主要依赖于教学过程，与教学内容和教学方法的选择和应用密切相关。因此，教师必须在教法和学法指导上多下工夫，狠下工夫，从数学应用的角度处理数学、阐释数学、呈现数学，以提高学生的数学理论知识和操作水平；必须加强数学应用环节的实践，注重用数学解决学生身边的问题，用学生容易接受的方式展开数学教学，注重学生的亲身实践；必须重视在应用数学中传授数学思想和方法，把培养学生解决实际问题的能力作为教学内容的主线，运用“问题情境—建立模型—解释与应用”的教学模式，多角度、多层次地编排数学应用的内容，有效地激发学生的学习兴趣。
例1：7只茶杯，杯口全部向上，每次翻转其中的4只(杯口向上的变为杯口向下，杯口向下的变为杯口向上)。能否经过有限次的翻转，使得7只茶杯的杯口全部向下？
分析：将7只茶杯用字母分别表示为Ａ1、Ａ2、…Ａ7，茶杯的杯口朝上记为Ａi= 1，杯口朝下记为Ａi=－1（ｉ=0，1，2，…7），每次翻转改变其中的4只杯子的杯口方向，相当于7个字母中的4个字母取值改变符号，即相当于将其中4个字母各乘以－1。
问题归结为：已知7个字母Ａ1、Ａ2、…Ａ7，在开始时全部取值为 1，每次改变其中4个字母的符号，经过有限次后能否将7个 1变为7个－1？
解析：考察经过第ｉ次翻转的7个字母的乘积Ｍi=Ａ1Ａ2…Ａ7，开始的时候相当于7个字母取值全为 1，它们的积Ｍ0=Ａ1Ａ2…Ａ7=（ 1）7= 1；经过一次翻转后，Ｍ1=Ａ1Ａ2…Ａ7=Ｍ0（－1）4= 1；经过两次翻转后，Ｍ2=Ａ1Ａ2…Ａ7=Ｍ1（－1）4= 1；……所以不论经过多少次翻转，7个字母的乘积保持不变，仍为 1。另一方面，杯口全部朝下，相当于7个字母全部取值为－1，它们的乘积是－1。这就表明，经过有限次的翻转，7个 1绝不会变为7个－1。因此，经过有限次的翻转，不能使7只茶杯的杯口全部朝下。
例2：某人第一天上午8点由山下出发，下午15点抵达山顶；第二天上午8点由山顶出发按原路返回，并于下午15点回到山下原出发点。问在两天的行程中是否存在这样一个点，该人经过这个点时，两天的手表指向同一时刻？
分析：这个问题初看起来不容易得到答案。我们可以换一个角度思考，把该人在两天中做的事改到同一天中来做，设想将这个人再“克隆”出一个人来，上午8点该人由山下出发，而“克隆人”同时由山上出发，由于走的是同一条路线，因此该人与其克隆人必定在中途相遇，在相遇点处，则手表指向同一时刻。
下面用数学工具证明。该问题与行走的路线长度、形状无关，不失一般性，不妨设行走的路线是线段ＡＢ，设行走的时间ｔ是位置ｘ的连续函数。
第一天，Ａ→Ｂ，设ｔ=ｆ（ｘ），Ａ≤ｘ≤Ｂ，且ｆ（Ａ）=8，ｆ（Ｂ）=15；第二天，Ｂ→Ａ，ｔ=ｇ（ｘ），Ａ≤ｘ≤Ｂ，且ｇ（Ａ）=15，ｇ（Ｂ）=8。
问题归结为：已知连续函数ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ），Ａ≤ｘ≤Ｂ，且ｆ（Ａ）=8，ｆ（Ｂ）=15；ｇ（Ａ）=15，ｇ（Ｂ）=8。求证：存在点ｘ0∈[Ａ，Ｂ]，使得ｆ（ｘ0）=ｇ（ｘ0）。
证明：设Ｈ（ｘ）=ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）Ａ≤ｘ≤Ｂ，则Ｈ（ｘ）也是连续函数，且Ｈ（Ａ）=ｆ（Ａ）－ｇ（Ａ）=8－15<0，Ｈ（Ｂ）=ｆ（Ｂ）－ｇ（Ｂ）=15－8>0，因此存在ｘ0∈[Ａ，Ｂ]，使得Ｈ（ｘ0）=0，即ｆ（ｘ0）=ｇ（ｘ0）。
通过趣味数学应用的案例分析与数学建模，体现了数学应用的广泛性，在一定程度上帮助学生看到数学生动、有趣、甚至好玩的一面，以丰富数学学习的内容，提高学生学习数学的积极性、主动性、探索性。
另外，课堂教学中应充分发挥学生的主体作用和教师的主导功能。教师可根据教学内容的特点，精心组织、科学设计，把抽象的概念、深奥的原理，寓于生动、有趣的典故、发现史中，适当、合理地运用图片、模型、多媒体教学等手段，促进理论与实际的有机结合，使学生产生浓厚的学习兴趣。只有当学生有了学习兴趣，思维达到“兴奋点”，才能带着愉悦、激昂的心情去面对和克服一切困难，执着地去比较、分析、探索认识对象的发展规律，展现自己的智能和才干。这无疑是让学生体验成功的重要举措，更是提高学生数学兴趣的有效途径。当学生应用数学知识去解决了一个个实际问题，他们的学习兴趣必将被更进一步地激发起来，成为进一步学习的内驱力。
通过“数学建模”活动和教学，培养学生运用数学的能力
培养学生数学应用能力是高职数学教育的根本任务，是数学教学目的中的重要内容。数学应用能力是一种综合能力，它离不开数学运算、数学推理、空间想象等基本的数学能力。应把应用问题的渗透和平时教学有机地结合起来，循序渐进。在数学应用意识和能力的培养中，应特别重视学生探索精神和创新能力的培养，把数学应用问题设计成探索和开放性试题，让学生积极参与，在解题过程中充分体现学生的主体地位。在运用数学知识去解决实际问题时，首先要建构实际问题的数学模型，然后用数学理论和方法找出结果并用于实际，这样既可解决实际问题，又能促进数学新思想、新理论的建立和发展。因此“数学建模”是沟通数学理论与实际的中介和桥梁，培养学生“数学建模”能力是培养学生数学思维和应用能力的重要手段，在教学过程中穿插建模能力训练对学生是十分必要的。培养学生建模能力是一个循序渐进的过程。开始应从简单问题入手，师生共同创建模型，引导学生初步掌握应用数学形式建构模型的方法，培养学生积极参与和勇于创造的意识。随着学生能力和经验的增加，可通过实习作业或小组活动的形式，由学生展开分析讨论，分析每种模型的有效性，提出修改意见，讨论是否有进一步扩展的意义。这样可以纠正学生理解上存在片面性的问题，在不断发展、不断创造中培养信心。虽然高职学生的数学基础知识对于某些数学模型的建立略显不够，但只要花很短的时间补一下，还是可以解决问题的，关键是培养学生如何将所学数学理论与实践相结合的能力。
例如，高等数学中一个非常简单的一阶微分方程ｄxｄt=ｒx（ｘ－ｋ）在商业上可解释为新产品的销售模型，在医学上可解释为传染病的传播模型，在生物学方面，它就是著名的Logestic模型，用以解释生物在一定约束条件下的数量增长模式。这样，简单的数学问题便得以广泛地应用。通过这样的教学过程能够使学生开阔眼界，将数学知识应用到实际生活之中。
结合专业，提高学生应用数学的能力
在“数学建模”课程中，除介绍一些社会或经济中的数学应用问题外，还要根据不同专业对数学的应用水平及方法的不同要求，总结数学应用的内容、方法的差异性，找到各专业与数学的结合点，用具体的专业例子，归纳应用数学的各种模型，并以此为例，培养各专业学生应用数学的兴趣。一般来讲，对一个专业问题，要建立一个数学模型，就必须了解专业上的一些规律和经验，提出许多与量有关的合理假设。根据专业知识，利用规律，通过一些数学方法，如微元法等，列出等式，即可建立一个数学模型。建立了数学模型，就找到了实际问题的规律及解释方法。数学模型可以表现为专业公式或定性结果等。有了这样的初步认识，学生就可以知道，要想建立模型，首先，要进行专业性的实验、调查、分析，得到反映问题本质的量的概念、量之间的关系以及影响结果的一些因素；其次，需分析这些因素之间以何种形式相互影响，是否要利用其他的基础学科，如物理学、力学等的规律，绕开次要因素，简化因素间的影响关系，作出合理简化假设；最后，根据问题的性质如连续型、离散型、随机型、模糊型等，列出数学方程或函数、限制条件等，将专业问题完全转化为一个数学问题，用我们学过的数学方法解决它。例如，在机械专业的《机械设计》中二级圆柱齿轮减速器的传动比最优分配模型为minｆ（Ａ）=2Ａ（ｉ ｉ－1 2）/d，其中，Ａ为中心距，d为齿轮分度圆直径，ｉ为等级减速比。该模型根据几何原理即可得出，它是一个一维无约束最小化问题d。在实际教学中，有许多专业问题学生都能够利用所学的专业知识和数学知识建立数学模型，这样既复习了所学数学知识，又提高了解决专业实际问题的能力。
总之，数学建模解决问题的实质是学生运用数学的思想、观点、方法等与客观世界相互作用，最终达到解决实际问题为目的的创造性活动。建模的整个过程是数学应用能力的综合体现，也为培养学生这方面的能力提供了一个有益的途径。
参考文献：
[1]唐焕文，贺明峰.数学模型引论（第2版）[M].北京：高等教育出版社.2001.
[2]徐全智，杨晋浩.数学建模[M].北京：高等教育出版社，2003.
作者简介：
李宏平（1962—），湖南科技职业学院公共课部主任，副教授。
（本文责任编辑：周秀峰）