集合语言是现代化数学的基本语言,它可以间接准确地表达数学内容,是学生学习掌握和使用数学语言的基础,也是高中数学的起点。正因为集合是用符号语言来表达,所以它具有一定的抽象性。在解题时,我们要深刻理解集合的符号语言,弄清楚集合有哪些元素构成,我们破解集合元素构成的关键是化抽象问题为具体化问题。也就是把描述法表示的集合用列举法来表示,或用图示法来表示,或用图形来表示,当集合的元素为有序实数对时,可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合。
　　
　　一、描述法转化为列举法
　　
　　例:设集合A={a|a=n2+1,n∈N*};B={b|b=k2-4k+5,k∈N*}
　　若a∈A,试判断a与集合B的关系
　　解法一:∵a∈A
　　∴a=n2+1=(n2+4n+4)-4(n+2)+5=(n+2)2-4(n+2)+5
　　∵n∈N*
　　∴n+2∈N*
　　∴a∈B
　　解法二:A={2、5、10、17…};B={2、1、5、10、17…}
　　若a∈A则a∈B
　　评注:解法一从一般入手,逻辑性强,即要证明一个元素是否属于某个集合,只需看这个元素是否具备该集合元素所具有的属性,但难度稍高。而解法二则把问题具体化了,难度降低,答案一目了然。
　　练习:判断集合A={x|x=4k±1,k∈Z}与集合B={y|y=2n-1,n∈Z}是否为同一集合。
　　简析A={…-1、1、3、5…},B={…-1、1、3、5…}
　　∴A=B
　　
　　二、运用venn图解题
　　
　　例:调查100名学生业余爱好情况,喜欢足球运动的80人,喜欢排球运动的75人,那么既喜欢足球又喜欢排球运动的人数统计中,下列说法正确的是()
　　A.最多人数55 B.最少人数55
　　C.最少人数是75D.最多人数是80
　　解析:设100名学生组成全集I,其中喜欢足球的人组成集合A,其中喜欢排球的人组成集合B,又设既喜欢足球又喜欢排球的人数为x,两种运动都不喜欢的y人,则y∈[0,20],由图可知:
　　
　　y+Card(A)+Card(B)-x=100
　　即y+80+75-x=100
　　∴x=55+y
　　∵0≤y≤20
　　∴55≤x≤75
　　故最少人数是55,答案为B
　　练习:设全集U={x|0　　简析:由U={1、2、3、4、5、6、7、8、9},根据题意画出venn图,易知A={1、3、5、7},B={2、4、6、8}
　　评注:本题关系较为复杂,如用推理则较难,而用venn图简捷直观。
　　
　　三、运用数轴解题
　　
　　例:设集合A={x||x-a|<1}
　　B={2x-1x-2<1}
　　若AB,求a的取值范围。
　　分析:先化简集合,根据题设条件,利用数轴作图,比较得解,要看端点是否取到。
　　解:由题设得A={x|a-1　　B={x|-2　　画出数轴如图
　　
　　∵AB ∴a-1≥-2a+1≤3
　　∴-1≤a≤2
　　评注:注意集合语言的相互转化,准确地将集合语言转化为图形语言,借助图形使问题具体、准确地获得解,这也体现着数学的重要思想——数形结合的思想。
　　练习:设集合A={x||x|<4},B={x|x2-4X+3>0},则集合C={x|x∈A,且xA∩B}
　　
　　简析:由A={x|-43}画出数轴如图所示,即知应填{x|1≤x≤3}
　　四、化一般为特殊
　　例:设I为全集,S1、S2、S3是I的三个非空子集,且S1∪S2∪S3=I,则下列论断正确的是()
　　A.CIS1∩(S2∪S3)﹦φ
　　B.S1(CIS2∩CIS3)
　　C.CIS1∩CIS2∩CIS3﹦φ
　　D.S1(CIS2∪CIS3)
　　解:特取S1={3},S2={2.3},S3={1.3},则I={1.2.3}易知应选(C)
　　评注:一般集合特殊化处理一目了然
　　练习:设集合A、B、I均非空,且满足ABI,则下列各式错误的是()
　　A.(CIA)∪B﹦I
　　B.(CIA)∪(CIB)﹦I
　　C.A∩(CIB)﹦φ
　　D.(CIA)∩(CIB)﹦CIB
　　分析:特取A={1},B={1.2},I={1.2.3},显然选B