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摘要：因数与倍数是两个既相互独立又密切联系的概念。为了使学生充分经历概念的形成过程并非发展数感，培养思维的概括性与推理性，教学中，应关注这样几个细节：引导体悟，理解依存关系；情境创设，引发操作需要；及时变式，深化概念理解。
关键词：因数与倍数体悟情境变式
自然数之间的因数与倍数关系，以及求一个数的因数与倍数，这些知识能丰富学生对自然数的认识，各种版本的数学教材一般把因数与倍数的知识安排在四、五年级。教材的编排多是在“整除性”的范围内，通过摆拼或者想象长方形的活动，认识和理解因数与倍数。因数与倍数是两个既相互独立又密切联系的概念，把因数与倍数的教学结合起来，有助于理解两个相关自然数之间的因数与倍数关系，并在理解概念的基础上，掌握求一个数的因数与倍数的方法。教学时，要重视知识间的内在联系，组织成“块”，帮助学生建立良好的认知结构。为了使学生充分经历概念的形成过程并发展数感，培养思维的概括性与逻辑性，以下教学细节应当引起注意。
细节一：引导体悟，理解依存关系
因数与倍数是在非零自然数的范围内，根据乘法算式来定义的两个数之间的关系。许多教师在教学前会渗透“关系”这个词语的意义，用父子关系、师徒关系、朋友关系等做比喻，帮助学生理解两个数之间相互依存的关系。比如，这样提问：“我们一般说孙悟空是唐僧的徒弟，能不能说孙悟空是徒弟呢？”由于汉语语境的关系，有時是可以省略的，直接说某一个人是徒弟。这就给学生带来一些困惑：“12是24的因数，我们为什么不能单独说12是因数呢？”12与24之间是互为因数与倍数的，不能脱离其中一个而单独说某一个数是因数或者倍数。因数与倍数是两个数之间的关系，不是指具体的数字，但这种互为因数与倍数的依存关系是靠体悟得到的，不能仅靠单纯的语言说教。
在揭示因数与倍数概念时，很多情况下是教师说一说，学生跟着模仿。每排摆4个，摆了3排，我们就说4是12的因数，3也是12的因数。但这样教学，其实是让学生“鹦鹉学舌”，他们只知模其音，而不知其所指。其实，这里可多一些引导，让学生把过去对“倍”的认识与现在要学习的“因数与倍数”联系起来，使知识贯通起来。不妨这样展开教学——
师（出示图1）观察方格的摆法，我们可以知道什么呢？
图1
生12是3的4倍，12是4的3倍。
师12是3的4倍，我们就说 12是3的倍数；12 是4的3倍，我们就说12是4的倍数。
生12是3的4倍，我们可以看出12既是3的倍数，也是4的倍数。
师12是3的倍数，12是4的倍数；反过来，我们就说3是12的因数，4是12的因数。为什么说4是12的因数呢？你能说一说其中的道理吗？
生因为12里有3个4，所以4是12的因数。
生12个小正方形，每4个摆一排，能摆3排。
师是的，如果我们知道了12是4的倍数，那么就可以得出4是12的因数。倍数与因数是相互依存的，不能离开其中一个数而单独认定另一个数是因数或者倍数。你也能说一说吗？
生12是2的倍数，2就是12的因数。12是1的倍数，1就是12的因数。
这样引导，让学生对于因数与倍数相互依存关系的认识逐渐深刻。
细节二：情境创设，引发操作需要
苏教版小学数学教材是借助操作12个小正方形，把其摆成长方形，让学生找出3种摆法，由此引出3道乘法算式以及两个数的因数与倍数关系。但是“操作12个小正方形使其摆成长方形”是在教师的指令下被动完成的，学生并没有感受到“摆”的需要。实际教学中，很多教师采用这种引入方式，使学生用操作、画图或想象的方式，得到三种不同的摆法。不过，在教学中还是可以设计一些简单的情境，引导学生产生操作的需要。
如一位教师这样导入教学：“同学们，运动会要开始了，我们班要派12名同学参加球操比赛，现在如果你是总导演，想一想，你会怎样设计队形？要求：（1）每行的人数一样多。（2）用一个小正方形表示1名学生，用12个小正方形摆一摆、拼一拼，并用乘法算式表示你的摆法。”这样的情境创设使得摆长方形成为一种需要，但是12名学生参加球操比赛进行队形的变换，队形是有许多种形式的，包括各种花式队形，因此摆出的不一定是长方形。教学中如果在此处多生“枝叶”的话，会影响整节课的教学效率，应当说，这是一个不够严密的情境。
另一位教师则使用这样的情境展开教学——
师羊村绿化，喜羊羊要为他的小伙伴们设计一块长方形活动场地，村长提供了12块同样大小的正方形草皮，该怎么设计呢？请你用手中的学具摆一摆，说一说。
（学生尝试。）
师同学们真厉害，想到了6种摆法。仔细观察，有什么想说的吗？
生每排摆4个，摆了3排；每排摆3个，摆了4排。其实它们是同一种摆法。
（教师引导学生把6种摆法归并成一种摆法。）
这种用正方形草皮铺长方形活动场地的情境，符合学生的认知规律与年龄特点，也与学习内容相契合。
细节三：及时变式，深化概念理解
在认识因数与倍数时，学生是通过用具体实物抽象来概括其意义的，但是仅用整数乘法的算式来感受与体会是远远不够的，因此，应通过概念变式来加强学生对于因数与倍数的认识——
（出示变式题目：3×5=15，24÷3=8，12-5=7，3+5=8。）
师老师这儿有4道算式，从哪几道算式中可以找出因数与倍数？其中哪个数是哪个数的因数、哪个数是哪个数的倍数呢？
师3×5=15可以吗？
生可以。
师谁来说说这三个数之间的因数与倍数关系？
（学生说。）
师24÷3=8可以吗？
生可以。
师为什么呢？
生因为3×8=24。
师12-5=7呢？
生不可以。
师3+5=8呢？
生不行。
师为什么呢？
生因为从这些算式中看不出两数之间的相乘关系。
这里，通过及时变式，给学生提供了丰富的素材，让他们充分体会数学概念的内涵与外延，使得概念理解得以深化。
关键词：因数与倍数体悟情境变式
自然数之间的因数与倍数关系，以及求一个数的因数与倍数，这些知识能丰富学生对自然数的认识，各种版本的数学教材一般把因数与倍数的知识安排在四、五年级。教材的编排多是在“整除性”的范围内，通过摆拼或者想象长方形的活动，认识和理解因数与倍数。因数与倍数是两个既相互独立又密切联系的概念，把因数与倍数的教学结合起来，有助于理解两个相关自然数之间的因数与倍数关系，并在理解概念的基础上，掌握求一个数的因数与倍数的方法。教学时，要重视知识间的内在联系，组织成“块”，帮助学生建立良好的认知结构。为了使学生充分经历概念的形成过程并发展数感，培养思维的概括性与逻辑性，以下教学细节应当引起注意。
细节一：引导体悟，理解依存关系
因数与倍数是在非零自然数的范围内，根据乘法算式来定义的两个数之间的关系。许多教师在教学前会渗透“关系”这个词语的意义，用父子关系、师徒关系、朋友关系等做比喻，帮助学生理解两个数之间相互依存的关系。比如，这样提问：“我们一般说孙悟空是唐僧的徒弟，能不能说孙悟空是徒弟呢？”由于汉语语境的关系，有時是可以省略的，直接说某一个人是徒弟。这就给学生带来一些困惑：“12是24的因数，我们为什么不能单独说12是因数呢？”12与24之间是互为因数与倍数的，不能脱离其中一个而单独说某一个数是因数或者倍数。因数与倍数是两个数之间的关系，不是指具体的数字，但这种互为因数与倍数的依存关系是靠体悟得到的，不能仅靠单纯的语言说教。
在揭示因数与倍数概念时，很多情况下是教师说一说，学生跟着模仿。每排摆4个，摆了3排，我们就说4是12的因数，3也是12的因数。但这样教学，其实是让学生“鹦鹉学舌”，他们只知模其音，而不知其所指。其实，这里可多一些引导，让学生把过去对“倍”的认识与现在要学习的“因数与倍数”联系起来，使知识贯通起来。不妨这样展开教学——
师（出示图1）观察方格的摆法，我们可以知道什么呢？
图1
生12是3的4倍，12是4的3倍。
师12是3的4倍，我们就说 12是3的倍数；12 是4的3倍，我们就说12是4的倍数。
生12是3的4倍，我们可以看出12既是3的倍数，也是4的倍数。
师12是3的倍数，12是4的倍数；反过来，我们就说3是12的因数，4是12的因数。为什么说4是12的因数呢？你能说一说其中的道理吗？
生因为12里有3个4，所以4是12的因数。
生12个小正方形，每4个摆一排，能摆3排。
师是的，如果我们知道了12是4的倍数，那么就可以得出4是12的因数。倍数与因数是相互依存的，不能离开其中一个数而单独认定另一个数是因数或者倍数。你也能说一说吗？
生12是2的倍数，2就是12的因数。12是1的倍数，1就是12的因数。
这样引导，让学生对于因数与倍数相互依存关系的认识逐渐深刻。
细节二：情境创设，引发操作需要
苏教版小学数学教材是借助操作12个小正方形，把其摆成长方形，让学生找出3种摆法，由此引出3道乘法算式以及两个数的因数与倍数关系。但是“操作12个小正方形使其摆成长方形”是在教师的指令下被动完成的，学生并没有感受到“摆”的需要。实际教学中，很多教师采用这种引入方式，使学生用操作、画图或想象的方式，得到三种不同的摆法。不过，在教学中还是可以设计一些简单的情境，引导学生产生操作的需要。
如一位教师这样导入教学：“同学们，运动会要开始了，我们班要派12名同学参加球操比赛，现在如果你是总导演，想一想，你会怎样设计队形？要求：（1）每行的人数一样多。（2）用一个小正方形表示1名学生，用12个小正方形摆一摆、拼一拼，并用乘法算式表示你的摆法。”这样的情境创设使得摆长方形成为一种需要，但是12名学生参加球操比赛进行队形的变换，队形是有许多种形式的，包括各种花式队形，因此摆出的不一定是长方形。教学中如果在此处多生“枝叶”的话，会影响整节课的教学效率，应当说，这是一个不够严密的情境。
另一位教师则使用这样的情境展开教学——
师羊村绿化，喜羊羊要为他的小伙伴们设计一块长方形活动场地，村长提供了12块同样大小的正方形草皮，该怎么设计呢？请你用手中的学具摆一摆，说一说。
（学生尝试。）
师同学们真厉害，想到了6种摆法。仔细观察，有什么想说的吗？
生每排摆4个，摆了3排；每排摆3个，摆了4排。其实它们是同一种摆法。
（教师引导学生把6种摆法归并成一种摆法。）
这种用正方形草皮铺长方形活动场地的情境，符合学生的认知规律与年龄特点，也与学习内容相契合。
细节三：及时变式，深化概念理解
在认识因数与倍数时，学生是通过用具体实物抽象来概括其意义的，但是仅用整数乘法的算式来感受与体会是远远不够的，因此，应通过概念变式来加强学生对于因数与倍数的认识——
（出示变式题目：3×5=15，24÷3=8，12-5=7，3+5=8。）
师老师这儿有4道算式，从哪几道算式中可以找出因数与倍数？其中哪个数是哪个数的因数、哪个数是哪个数的倍数呢？
师3×5=15可以吗？
生可以。
师谁来说说这三个数之间的因数与倍数关系？
（学生说。）
师24÷3=8可以吗？
生可以。
师为什么呢？
生因为3×8=24。
师12-5=7呢？
生不可以。
师3+5=8呢？
生不行。
师为什么呢？
生因为从这些算式中看不出两数之间的相乘关系。
这里，通过及时变式，给学生提供了丰富的素材，让他们充分体会数学概念的内涵与外延，使得概念理解得以深化。