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摘 要： 本文对Box-Cox随机波动率（Box-Cox SV）模型，基于ASIS[1]给出一种改进的Metropolis-Hastings（M-H）算法，用于提高模型参数数估计问题的效率.选取上证500指数数据进行验证，取得良好效果.
关键词： 随机波动率模型；Box-Cox；ASIS；M-H算法
【中图分类号】 O212.8 【文献标识码】 A 【文章编号】 2236-1879（2018）14-0002-03
1 引言
关于金融时间序列波动率模型的研究可分为两类，一类是自回归条件异方差（ARCH）模型[2]和广义ARCH（GARCH）模型[3].另一类是SV模型.与GARCH模型相比，SV模型在时间序列波动性建模方面，表现更出色，在理论上与金融实际情况更吻合，对实际数据的拟合能力更好.基本离散型SV模型为[4][5]
在波动率问题的研究中，SV模型已得到扩展，主要体现随机波动率方程有多种表达形式，但这使得在建模中，选择合适的随机波动方程变得困难.针对此，Yu et al.[6]提出一类SV模型，具体做法对随机波动率方程中ht进行Box-Cox变换，该模型能涵盖目前文献中出现的大多数SV模型，包括使用非常广泛的广义对数正态（LN）SV模型.为提高抽样效率，常用做法是对参数重参数化.常用的参数化方法有两种：中心参数化（CP）和非中心参数化（NCP）. Yu&Meng[1]提出一种混合CP和NCP的参数化方法（ASIS）来提高MCMC效率，并证明CP和NCP链的混合满足几何收敛. Kastner&Frühwirth-Schnatter [10]在LNSV模型中运用该策略，所有参数的抽样效率得到改进.本文结合上述，建立Box-Cox SV模型，采用贝叶斯估计方法，给出M-H算法，使用MCMC求参数估计值.
本文的结构如下：第2节给出在中心参数化和非中心参数化下的Box-Cox SV模型，及其后验密度函数.第3节具体的M-H算法.上证500指数每日均值修正对数收益率的实验结果在第4节中给出，第5节结论.
4 实证分析
选取2017年1月2日至12月29日期间上证500指数收盘点数，观察值为244个，均值修正对数收益率，st为时刻t时的收盘点数.上证500指数均值修正对数收益率时间序列如图1所示.参数初始值为，.编写的MCMC程序在R软件中迭代190000次，前5000次舍掉，再隔5取1，可得37000个抽样点，计算结果列于表1.参数的抽样路径及其自相关系数和直方图如图2，可知参数的马尔科夫链收敛且自相关系数随滞后值增加趋于零.
5 结论
在金融时间序列分析關于SV模型的研究中，采用贝叶斯估计方法估计模型参数，计算得到参数的后验密度函数大多很复杂，很难直接给出各个参数的后验分布.若采取通常的gibbs抽样方法，由于参数的自相关性极高，使得抽样效率极低.针对此，本文，在更一般的SV模型上，使用提出的算法，并结合实证，验证该算法对Box-Cox SV模型的参数估计问题的效率有极大的改进.进一步可以考虑，由于在均方方程中的误差分布中常会出现厚尾现象（参见Jacquier et al.[13]，Zhang & Maxwell[11]提出了厚尾SV模型，可将该算法扩展到厚尾SV模型.
参考文献
[1] .Yu Y， Meng X. To center or not to center： That is not the question-an Ancillarity-Sufficiency Interweaving Strategy （ASIS） for boosting MCMC efficiency[J]. Journal of Computational & Graphical Statistics，2011， 20（3）：531-570.
[2] Engle R F. Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation[J]. Econometrica，1982， 50（4）.
[3] Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J]. Journal of Econometrics，1986， 31（3）：307-327.
[4] Jacquier E， Polson N G， Rossi P E. Bayesian analysis of stochastic volatility models[J]. Journal of Business & Economic Statistics，1994，20（1）：69-87.
[5] Kim S， Shephard N， Chib S. Stochastic volatility： likelihood inference and comparison with arch models[J]. Review of Economic Studies，1998， 65（3）：361-393.
[6] Yu J， Yang Z， Zhang X. A class of nonlinear stochastic volatility models and its implications for pricing currency options[J]. Computational Statistics & Data Analysis，2006，51（4）：2218-2231 [7] Hanfelt J J， Liang K Y. Efficient parameterisations for normal linear mixed models[J]. Biometrika，1995， 82（3）： 479-488.
[8] Pitt M K， Shephard N. Analytic convergence rates and parameterization issues for the Gibbs sampler applied to state space models[J]. Journal of Time Series Analysis，1999，20（1）：63-85.
[9] Frühwirth-Schnatter S. Efficient Bayesian parameter estimation. State Space and Unobserved Component Models： Theory and Applications[M]. Cambridge， Cambridge Univ. Press， 2004
[10] Kastner G， Frühwirth-Schnatter S. Ancillarity-Sufficiency Interweaving Strategy （ASIS） for boosting MCMC estimation of stochastic volatility models[J]. Computational Statistics & Data Analysis，2014，76：408-423.
[11] Zhang X， King M L. Box-Cox stochastic volatility models with heavy-tails and correlated errors[J]. Journal of Empirical Finance， 2008， 15（3）：549-566.
[12] Chib S， Greenberg E. Understanding the Metropolis-Hastings algorithm[J]. American Statistician， 1995， 49（4）：327-335.
[13] Jacquier E， Polson N G， Rossi P E. Bayesian analysis of stochastic volatility models with fat-tails and correlated errors. Journal of Econometrics.2004，121（1）：185-212.
关键词： 随机波动率模型；Box-Cox；ASIS；M-H算法
【中图分类号】 O212.8 【文献标识码】 A 【文章编号】 2236-1879（2018）14-0002-03
1 引言
关于金融时间序列波动率模型的研究可分为两类，一类是自回归条件异方差（ARCH）模型[2]和广义ARCH（GARCH）模型[3].另一类是SV模型.与GARCH模型相比，SV模型在时间序列波动性建模方面，表现更出色，在理论上与金融实际情况更吻合，对实际数据的拟合能力更好.基本离散型SV模型为[4][5]
在波动率问题的研究中，SV模型已得到扩展，主要体现随机波动率方程有多种表达形式，但这使得在建模中，选择合适的随机波动方程变得困难.针对此，Yu et al.[6]提出一类SV模型，具体做法对随机波动率方程中ht进行Box-Cox变换，该模型能涵盖目前文献中出现的大多数SV模型，包括使用非常广泛的广义对数正态（LN）SV模型.为提高抽样效率，常用做法是对参数重参数化.常用的参数化方法有两种：中心参数化（CP）和非中心参数化（NCP）. Yu&Meng[1]提出一种混合CP和NCP的参数化方法（ASIS）来提高MCMC效率，并证明CP和NCP链的混合满足几何收敛. Kastner&Frühwirth-Schnatter [10]在LNSV模型中运用该策略，所有参数的抽样效率得到改进.本文结合上述，建立Box-Cox SV模型，采用贝叶斯估计方法，给出M-H算法，使用MCMC求参数估计值.
本文的结构如下：第2节给出在中心参数化和非中心参数化下的Box-Cox SV模型，及其后验密度函数.第3节具体的M-H算法.上证500指数每日均值修正对数收益率的实验结果在第4节中给出，第5节结论.
4 实证分析
选取2017年1月2日至12月29日期间上证500指数收盘点数，观察值为244个，均值修正对数收益率，st为时刻t时的收盘点数.上证500指数均值修正对数收益率时间序列如图1所示.参数初始值为，.编写的MCMC程序在R软件中迭代190000次，前5000次舍掉，再隔5取1，可得37000个抽样点，计算结果列于表1.参数的抽样路径及其自相关系数和直方图如图2，可知参数的马尔科夫链收敛且自相关系数随滞后值增加趋于零.
5 结论
在金融时间序列分析關于SV模型的研究中，采用贝叶斯估计方法估计模型参数，计算得到参数的后验密度函数大多很复杂，很难直接给出各个参数的后验分布.若采取通常的gibbs抽样方法，由于参数的自相关性极高，使得抽样效率极低.针对此，本文，在更一般的SV模型上，使用提出的算法，并结合实证，验证该算法对Box-Cox SV模型的参数估计问题的效率有极大的改进.进一步可以考虑，由于在均方方程中的误差分布中常会出现厚尾现象（参见Jacquier et al.[13]，Zhang & Maxwell[11]提出了厚尾SV模型，可将该算法扩展到厚尾SV模型.
参考文献
[1] .Yu Y， Meng X. To center or not to center： That is not the question-an Ancillarity-Sufficiency Interweaving Strategy （ASIS） for boosting MCMC efficiency[J]. Journal of Computational & Graphical Statistics，2011， 20（3）：531-570.
[2] Engle R F. Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation[J]. Econometrica，1982， 50（4）.
[3] Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J]. Journal of Econometrics，1986， 31（3）：307-327.
[4] Jacquier E， Polson N G， Rossi P E. Bayesian analysis of stochastic volatility models[J]. Journal of Business & Economic Statistics，1994，20（1）：69-87.
[5] Kim S， Shephard N， Chib S. Stochastic volatility： likelihood inference and comparison with arch models[J]. Review of Economic Studies，1998， 65（3）：361-393.
[6] Yu J， Yang Z， Zhang X. A class of nonlinear stochastic volatility models and its implications for pricing currency options[J]. Computational Statistics & Data Analysis，2006，51（4）：2218-2231 [7] Hanfelt J J， Liang K Y. Efficient parameterisations for normal linear mixed models[J]. Biometrika，1995， 82（3）： 479-488.
[8] Pitt M K， Shephard N. Analytic convergence rates and parameterization issues for the Gibbs sampler applied to state space models[J]. Journal of Time Series Analysis，1999，20（1）：63-85.
[9] Frühwirth-Schnatter S. Efficient Bayesian parameter estimation. State Space and Unobserved Component Models： Theory and Applications[M]. Cambridge， Cambridge Univ. Press， 2004
[10] Kastner G， Frühwirth-Schnatter S. Ancillarity-Sufficiency Interweaving Strategy （ASIS） for boosting MCMC estimation of stochastic volatility models[J]. Computational Statistics & Data Analysis，2014，76：408-423.
[11] Zhang X， King M L. Box-Cox stochastic volatility models with heavy-tails and correlated errors[J]. Journal of Empirical Finance， 2008， 15（3）：549-566.
[12] Chib S， Greenberg E. Understanding the Metropolis-Hastings algorithm[J]. American Statistician， 1995， 49（4）：327-335.
[13] Jacquier E， Polson N G， Rossi P E. Bayesian analysis of stochastic volatility models with fat-tails and correlated errors. Journal of Econometrics.2004，121（1）：185-212.