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摘要：以变形观测时间序列数据为对象，针对变形时间序列数据中存在的随机误差的干扰问题，从小波包软、硬阈值消噪算法的理论出发，对变形时序数据的小波包阈值消噪进行研究。以某高层建筑物实际沉降变形监测数据为依据，应用小波包软、硬阈值消噪算法对数据进行消噪预处理，实验结果对比证明：利用软阈值算法消噪预处理的效果比硬阈值算法更好，曲线更光滑，可以提取出数据信号的有效信息，消除干扰，提高变形分析的精度。
关键词：软阈值算法；硬阈值算法；小波包变换；分析方法；高层建筑物沉降
中图分类号：P228.4文献标识码： A
1 引言
在建筑物工程施工和运营期间，由于受多种主观和客观因素的影响，引发其地基产生一定程度的变形，甚至到竣工后的一定时期内，变形仍继续发展。在长期的安全监测过程中，人们认识到变形监测是手段,如何有效地处理和利用变形监测所得的数据对变形体的未来沉降趋势进行有效地预测越来越受到专家、学者们的关注。由于变形量变化的随机性和复杂性很强,各种方法均有其适用性,尚需不断完善和改进。
变形体变形是一种随时间或空间变化的信号，所以变形分析是一种信号分析。高层建筑物地基变形可以被描述为随时间与空间变化信号。变形监测所获取的信号，即变形监测数据，包含了信号和误差噪声两部分。对变形数据进行预处理，从而有效消除误差，并提取变形特征、分析变形规律，从而为形变的预测提供有力的证据。小波分析是20世纪80年代发展起来的一种新兴的数学理论和方法,被认为是数学领域工具和方法上的重大突破。它在时域和频域同时具有良好的局部化性能。本文利用小波包变换能够将信号投影到不同的频带的能力，提取出信号的有效信息，消除干扰，在提高变形分析的精度方面取得了良好的效果。
2 小波包阈值消噪：
小波包变换是小波变换的进一步完善和发展,它能提供比小波分析更高的分辨率。它不仅对信号的低频部分进行分解，而且还对信号的高频部分进行分解。短时傅里叶变换对信号的频带划分是线性等间隔的。多分辨率分析可以对信号进行有效的时频分解，但由于其尺度是按二进制变换的，所以在高频频段其频率分辨率较差，而在低频频段其时间分辨率较差，即对信号的频带进行指数等间隔划分。小波包能够为信号进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时频分辨率。
在小波包分析中，其信号降噪的算法思想和在小波分析中的基本相同，所不同的就是小波包提供了一种更为复杂、更为灵活的分析手段。因为小波包分析对上一层的低频部分和高频部分同时进行分解，具有更加精确的局部分析能力。对信号进行小波包分解时，可以采用多种小波包基。
小波包阈值降噪的步骤：
①信号的小波包分解，选择一个小波并确定所需分解的层次，然后对信号进行小波包分解。
②确定最优小波包基，对于一个给定的熵标准，计算最优树。
③小波包分解系数的阈值量化，对于每一个小波包分解系数，选择一个恰当的阈值并对系数进行阈值量化。
④信号的小波包重构，根据最低层的小波包分解系数和经过量化处理系数，进行小波重构。
小波包阈值消噪有两个关键点：①如何估计阈值；②如何利用阈值量化小波包系数。在一定程度上，它们直接关系到消噪的质量。
阈值估计是小波包阈值消噪的关键之一，如果阈值太小，消噪后的信号仍然存在噪声；而阈值太大，重要的信号特征又将被滤掉，引起偏差。本文采取的是Birge-massart阈值估计准则和软阈值法进行阈值量化，定义如下：
Birge-massart准则：
crit(t) = -sum( c(k)^2, kt ) + 2 *^2 * t*( alpha + log(n/t) ) (2-1)
式中c(k)是小波包系数，它是按绝对值递减的顺序排列的，n是系数个数；alpha是调整参数，必须是大于1的实数，其值越大，降噪信号的小波包表示越稀疏，alpha典型值是2。设t*为极小值，则thr5=｜c(t*)｜。
软阈值法：当小波包系数大于该阈值时，向着减小系数幅值的方向作一个收缩thr，否则置零，其公式表示为：
（2-2）
3．实例计算：
本文以某高层建筑物实际沉降变形监测数据为依据。为了监测其地基沉降变形情况，设立沉降观测点，采用TOPCOM全站仪以小角度法进行。其中的布设的6号监控点用于监测建筑物沿垂直于基坑轴线方向的沉降。6号点的沉降观测数据见表1。显然这些数据可以视为离散信号序列，从而作为原始信号。采用MATLAB语言编程实现了小波包阈值去噪算法，以含有噪声的沉降观测数据作为信号对数据进行去噪仿真实验。
表1 沉降观测数据
观测时间/d 累积沉
降值/‰ 观测时间/d 累积沉
降值/‰ 观测时间/d 累积沉
降值/‰ 观测时间/d
累积沉
降值/‰ 观测时间/d
累积沉
降值/‰ 观测时间/d 累积沉
降值/‰
1 0 15 0.094 29 -0.028 43 -0.669 57 -0.875 71 -0.754
2 0.038 16 -0.008 30 -0.079 44 -0.623 58 -0.871 72 -0.777
3 0.009 17 -0.073 31 -0.002 45 -0.702 59 -0.903 73 -0.8
4 0.155 18 -0.084 32 -0.131 46 -0.693 60 -0.931 74 -0.693
5 0.074 19 -0.084 33 -0.032 47 -0.763 61 -1.058 75 -0.754
6 0.091 20 -0.008 34 -0.102 48 -0.637 62 -1.03 76 -0.894
7 0.085 21 -0.108 35 -0.173 49 -0.683 63 -1.016 77 -0.847
8 -0.085 22 -0.061 36 -0.183 50 -0.711 64 -1.114 78 -0.796
9 -0.085 23 -0.002 37 -0.178 51 -0.721 65 -0.894 79 -0.828
10 0.056 24 0.019 38 -0.468 52 -0.81 66 -0.894 80 -0.889
11 0.113 25 0.014 39 -0.356 53 -0.777 67 -0.988 81 -0.978
12 0.004 26 -0.053 40 -0.417 54 -0.871 68 -0.983 82 -0.819
13 -0.061 27 -0.019 41 -0.501 55 -0.908 69 -0.992 83 -0.88
14 0.033 28 -0.019 42 -0.468 56 -0.88 70 -0.81 84 -0.903
下圖（图1）为原始数据：
图1 原始数据
实验中采用的小波基是db4小波，分解层数为5层，将信号分解在不同的分辨率下显示（如图2），确定信号的重构函数（如图3）。
图2信号在不同分辨率下的显示
图3信号重构函数
进行信号重构，分析误差信号结构（如图4）。
图4信号重构
信噪比（SNR）和均方误差（MSE）常被用来作为去噪效果评价的指标。SNR值越大，则去噪效果越好，MSE越小则去噪效果越好。信噪比（SNR）定义如下：
（3-1）
均方差(MSE)定义如下：
（3-2）
式中，为去噪后的信号，为原始信号。
小波包软阈值算法和硬阈值算法的性能如表2。小波包消噪性能评价的准则是对同一组数据试验，若某种消噪方法获得的消噪结果均方误差较小、信噪比相对较高、信噪比增益较大、恢复信号光滑性好，则说明该消噪方法的性能相对较好(如图5所示，图中实线表示软阈值算法的去噪结果，虚线表示硬阈值去噪结果)。结果表明针对该组数据采用小波包软阈值消噪算法比较好。
图5 软、硬阈值算法去噪结果对比
表2 软、硬阈值法降噪性能比较
信噪比（SNR） 均方误差（MSE）
软阈值法 22.2086 0.0463
硬阈值法 22.0286 0.0472
运用小波包软阈值消噪算法对数据进行消噪处理（如图6显示），图中data1为原始信号，data2为经过消噪处理的信号。可以看出，经过处理后信号图像变得光滑，很好地将噪声信号去除。
图6 软阈值算法消噪后结果与原始信号的对比
4 结论：
变形监测是手段，如何有效地进行变形分析是最终的目的。本文以高层建筑物实际沉降变形监测数据为对象，对小波包软、硬阈值算法进行了讨论。结果表明针对该组数据采用小波包软阈值消噪算法比较好，均方误差较小、信噪比相对较高、信噪比增益较大、恢复信号光滑性好。
应用小波包变换能够提取信号的趋势信息、周期信息及平稳变化信息，从而能够将非平稳信号转化为平稳信号。考虑将小波包变换与其它的平稳信号分析方法，如神经网络模型、灰色理论模型、滤波等相结合，进一步的分析和预测变形情况。小波包变换能够进行全频域分析，为小波包消噪的阈值估计准则和量化函数提供多种选择。根据各层数据特点，采用独立阈值消噪，以期获得更好的消噪效果。
参考文献：
[1] 岳荣花．小波神经网络在沉降预测中的应用研究[D]．河海大学硕士学位论文，2007.4
[2] 苏晓庆．基于小波包变换的变形时间序列数据分析方法的研究[D]．山东理工大学硕士学位论文，2008.4
[3] 潘国荣，谷川．变形监测数据的小波神经网络预测方法[J]．大地测量与地球动力学，2007.8,27（4）
[4] 程忠良，贾振红，覃锡忠．基于改进阈值的低压电力线信道中的小波去噪方法[J].电视技术，2009,49(8)：18-21.
[5] 程文波,王华军．基于改进阈值的小波包图像去噪方法研究[D]．湖南科技大學学报（自然科学版），2009.01
[6] 牟洪洲．.建筑沉降监测数据处理组合模型研究 [D]．长安大学硕士学位论文，2008.
[7] 郭晓霞，杨慧中．小波去噪中软硬阈值的一种改良折衷法 [J]．智能系统学报，2008,3(3)：222-225.
[8] 杨建国．小波分析及其工程应用[M]．北京：机械工业出版社，2005.79-97.
[9] 郑建国，石智，权豫西．非平稳信号的小波阈值去噪方法[J]．信息技术，2007（3）
[10] 杜立志，殷琨，张晓培等．基于最优小波包基的降噪方法及其应用[J]．工程地理物理学报，2008.2, Vol5, No.1
[11] 王新，黄建．基于小波包的故障 信号特征提取的研究[J]．电子器件，2007（3）
[12] 刘齐芬．小波包去噪方法研究及其在GPS数据处理中的应用[D]．河北师范大学硕士学位论文，2009
[13] 谭孝贤．支持向量机在小波包去噪方法中的应用[D]．上海交通大学硕士学位论文，2009
[14] 朱江梅，吴兴方．小波包变换压缩与地震数据处理[J]．中国海上油气，2006.6, Vol.18, No.3
[15] 吴江淮．建筑物静态变形监测数据分析与处理[D]．同济大学工学硕士学位论文，2007
作者：杨文拓，男，1982年2月22日，吉林省，中国石油集团东北炼化工程有限公司吉林设计院
关键词：软阈值算法；硬阈值算法；小波包变换；分析方法；高层建筑物沉降
中图分类号：P228.4文献标识码： A
1 引言
在建筑物工程施工和运营期间，由于受多种主观和客观因素的影响，引发其地基产生一定程度的变形，甚至到竣工后的一定时期内，变形仍继续发展。在长期的安全监测过程中，人们认识到变形监测是手段,如何有效地处理和利用变形监测所得的数据对变形体的未来沉降趋势进行有效地预测越来越受到专家、学者们的关注。由于变形量变化的随机性和复杂性很强,各种方法均有其适用性,尚需不断完善和改进。
变形体变形是一种随时间或空间变化的信号，所以变形分析是一种信号分析。高层建筑物地基变形可以被描述为随时间与空间变化信号。变形监测所获取的信号，即变形监测数据，包含了信号和误差噪声两部分。对变形数据进行预处理，从而有效消除误差，并提取变形特征、分析变形规律，从而为形变的预测提供有力的证据。小波分析是20世纪80年代发展起来的一种新兴的数学理论和方法,被认为是数学领域工具和方法上的重大突破。它在时域和频域同时具有良好的局部化性能。本文利用小波包变换能够将信号投影到不同的频带的能力，提取出信号的有效信息，消除干扰，在提高变形分析的精度方面取得了良好的效果。
2 小波包阈值消噪：
小波包变换是小波变换的进一步完善和发展,它能提供比小波分析更高的分辨率。它不仅对信号的低频部分进行分解，而且还对信号的高频部分进行分解。短时傅里叶变换对信号的频带划分是线性等间隔的。多分辨率分析可以对信号进行有效的时频分解，但由于其尺度是按二进制变换的，所以在高频频段其频率分辨率较差，而在低频频段其时间分辨率较差，即对信号的频带进行指数等间隔划分。小波包能够为信号进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时频分辨率。
在小波包分析中，其信号降噪的算法思想和在小波分析中的基本相同，所不同的就是小波包提供了一种更为复杂、更为灵活的分析手段。因为小波包分析对上一层的低频部分和高频部分同时进行分解，具有更加精确的局部分析能力。对信号进行小波包分解时，可以采用多种小波包基。
小波包阈值降噪的步骤：
①信号的小波包分解，选择一个小波并确定所需分解的层次，然后对信号进行小波包分解。
②确定最优小波包基，对于一个给定的熵标准，计算最优树。
③小波包分解系数的阈值量化，对于每一个小波包分解系数，选择一个恰当的阈值并对系数进行阈值量化。
④信号的小波包重构，根据最低层的小波包分解系数和经过量化处理系数，进行小波重构。
小波包阈值消噪有两个关键点：①如何估计阈值；②如何利用阈值量化小波包系数。在一定程度上，它们直接关系到消噪的质量。
阈值估计是小波包阈值消噪的关键之一，如果阈值太小，消噪后的信号仍然存在噪声；而阈值太大，重要的信号特征又将被滤掉，引起偏差。本文采取的是Birge-massart阈值估计准则和软阈值法进行阈值量化，定义如下：
Birge-massart准则：
crit(t) = -sum( c(k)^2, kt ) + 2 *^2 * t*( alpha + log(n/t) ) (2-1)
式中c(k)是小波包系数，它是按绝对值递减的顺序排列的，n是系数个数；alpha是调整参数，必须是大于1的实数，其值越大，降噪信号的小波包表示越稀疏，alpha典型值是2。设t*为极小值，则thr5=｜c(t*)｜。
软阈值法：当小波包系数大于该阈值时，向着减小系数幅值的方向作一个收缩thr，否则置零，其公式表示为：
（2-2）
3．实例计算：
本文以某高层建筑物实际沉降变形监测数据为依据。为了监测其地基沉降变形情况，设立沉降观测点，采用TOPCOM全站仪以小角度法进行。其中的布设的6号监控点用于监测建筑物沿垂直于基坑轴线方向的沉降。6号点的沉降观测数据见表1。显然这些数据可以视为离散信号序列，从而作为原始信号。采用MATLAB语言编程实现了小波包阈值去噪算法，以含有噪声的沉降观测数据作为信号对数据进行去噪仿真实验。
表1 沉降观测数据
观测时间/d 累积沉
降值/‰ 观测时间/d 累积沉
降值/‰ 观测时间/d 累积沉
降值/‰ 观测时间/d
累积沉
降值/‰ 观测时间/d
累积沉
降值/‰ 观测时间/d 累积沉
降值/‰
1 0 15 0.094 29 -0.028 43 -0.669 57 -0.875 71 -0.754
2 0.038 16 -0.008 30 -0.079 44 -0.623 58 -0.871 72 -0.777
3 0.009 17 -0.073 31 -0.002 45 -0.702 59 -0.903 73 -0.8
4 0.155 18 -0.084 32 -0.131 46 -0.693 60 -0.931 74 -0.693
5 0.074 19 -0.084 33 -0.032 47 -0.763 61 -1.058 75 -0.754
6 0.091 20 -0.008 34 -0.102 48 -0.637 62 -1.03 76 -0.894
7 0.085 21 -0.108 35 -0.173 49 -0.683 63 -1.016 77 -0.847
8 -0.085 22 -0.061 36 -0.183 50 -0.711 64 -1.114 78 -0.796
9 -0.085 23 -0.002 37 -0.178 51 -0.721 65 -0.894 79 -0.828
10 0.056 24 0.019 38 -0.468 52 -0.81 66 -0.894 80 -0.889
11 0.113 25 0.014 39 -0.356 53 -0.777 67 -0.988 81 -0.978
12 0.004 26 -0.053 40 -0.417 54 -0.871 68 -0.983 82 -0.819
13 -0.061 27 -0.019 41 -0.501 55 -0.908 69 -0.992 83 -0.88
14 0.033 28 -0.019 42 -0.468 56 -0.88 70 -0.81 84 -0.903
下圖（图1）为原始数据：
图1 原始数据
实验中采用的小波基是db4小波，分解层数为5层，将信号分解在不同的分辨率下显示（如图2），确定信号的重构函数（如图3）。
图2信号在不同分辨率下的显示
图3信号重构函数
进行信号重构，分析误差信号结构（如图4）。
图4信号重构
信噪比（SNR）和均方误差（MSE）常被用来作为去噪效果评价的指标。SNR值越大，则去噪效果越好，MSE越小则去噪效果越好。信噪比（SNR）定义如下：
（3-1）
均方差(MSE)定义如下：
（3-2）
式中，为去噪后的信号，为原始信号。
小波包软阈值算法和硬阈值算法的性能如表2。小波包消噪性能评价的准则是对同一组数据试验，若某种消噪方法获得的消噪结果均方误差较小、信噪比相对较高、信噪比增益较大、恢复信号光滑性好，则说明该消噪方法的性能相对较好(如图5所示，图中实线表示软阈值算法的去噪结果，虚线表示硬阈值去噪结果)。结果表明针对该组数据采用小波包软阈值消噪算法比较好。
图5 软、硬阈值算法去噪结果对比
表2 软、硬阈值法降噪性能比较
信噪比（SNR） 均方误差（MSE）
软阈值法 22.2086 0.0463
硬阈值法 22.0286 0.0472
运用小波包软阈值消噪算法对数据进行消噪处理（如图6显示），图中data1为原始信号，data2为经过消噪处理的信号。可以看出，经过处理后信号图像变得光滑，很好地将噪声信号去除。
图6 软阈值算法消噪后结果与原始信号的对比
4 结论：
变形监测是手段，如何有效地进行变形分析是最终的目的。本文以高层建筑物实际沉降变形监测数据为对象，对小波包软、硬阈值算法进行了讨论。结果表明针对该组数据采用小波包软阈值消噪算法比较好，均方误差较小、信噪比相对较高、信噪比增益较大、恢复信号光滑性好。
应用小波包变换能够提取信号的趋势信息、周期信息及平稳变化信息，从而能够将非平稳信号转化为平稳信号。考虑将小波包变换与其它的平稳信号分析方法，如神经网络模型、灰色理论模型、滤波等相结合，进一步的分析和预测变形情况。小波包变换能够进行全频域分析，为小波包消噪的阈值估计准则和量化函数提供多种选择。根据各层数据特点，采用独立阈值消噪，以期获得更好的消噪效果。
参考文献：
[1] 岳荣花．小波神经网络在沉降预测中的应用研究[D]．河海大学硕士学位论文，2007.4
[2] 苏晓庆．基于小波包变换的变形时间序列数据分析方法的研究[D]．山东理工大学硕士学位论文，2008.4
[3] 潘国荣，谷川．变形监测数据的小波神经网络预测方法[J]．大地测量与地球动力学，2007.8,27（4）
[4] 程忠良，贾振红，覃锡忠．基于改进阈值的低压电力线信道中的小波去噪方法[J].电视技术，2009,49(8)：18-21.
[5] 程文波,王华军．基于改进阈值的小波包图像去噪方法研究[D]．湖南科技大學学报（自然科学版），2009.01
[6] 牟洪洲．.建筑沉降监测数据处理组合模型研究 [D]．长安大学硕士学位论文，2008.
[7] 郭晓霞，杨慧中．小波去噪中软硬阈值的一种改良折衷法 [J]．智能系统学报，2008,3(3)：222-225.
[8] 杨建国．小波分析及其工程应用[M]．北京：机械工业出版社，2005.79-97.
[9] 郑建国，石智，权豫西．非平稳信号的小波阈值去噪方法[J]．信息技术，2007（3）
[10] 杜立志，殷琨，张晓培等．基于最优小波包基的降噪方法及其应用[J]．工程地理物理学报，2008.2, Vol5, No.1
[11] 王新，黄建．基于小波包的故障 信号特征提取的研究[J]．电子器件，2007（3）
[12] 刘齐芬．小波包去噪方法研究及其在GPS数据处理中的应用[D]．河北师范大学硕士学位论文，2009
[13] 谭孝贤．支持向量机在小波包去噪方法中的应用[D]．上海交通大学硕士学位论文，2009
[14] 朱江梅，吴兴方．小波包变换压缩与地震数据处理[J]．中国海上油气，2006.6, Vol.18, No.3
[15] 吴江淮．建筑物静态变形监测数据分析与处理[D]．同济大学工学硕士学位论文，2007
作者：杨文拓，男，1982年2月22日，吉林省，中国石油集团东北炼化工程有限公司吉林设计院