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【关键词】挖掘 思维 能力
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）07-0132-02
在众多繁杂的各种复习资料和试卷中，有时我们似乎显得无所适从。本人认为课本本身就是最好的学习和复习蓝本。那么怎么利用好教材、怎样发现例题、习题的在功能显得尤为重要。
例习题功能的挖掘是数学教师的一项重要任务，而这项任务又可以从不同的方面进行。可以是解题过程的分析，可以是题目的变式扩展，可以是方法的归纳总结，等等。这对提高多数学生的解题能力是有直接作用的。现以立体几何相关内容为例，从以下几方面加以说明：
（一）通过课本例题变式扩展，将立体几何模型进行归类概括。
立体几何里面最重要的模型是长方体 ，此自不必叙述。现交流以下大家容易忽略的几何模型，四面体问题。
人教版高中《数学》第二册（下B）9.5例6：
已知：空间四边形OABC中OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB。
这是本书第一次出现本质为四面体的问题，书中因为是讲向量的应用，从此目的来讲在很多模型中都能达到，但本人认为，它只是起到抛砖引玉的作用，后面出现四面体问题至少达到3处（9.5练习、9.8例题、练习）告知四面在高考中也直接、间接地出现在小题、大题中，特别是小题中要迅速地得到解答，需要师生共同去概括，拓展变化：
如上面的例6从两条对棱垂直，可得到第三条对棱也垂直，若能在教学时概括出这一结论对做小题大有裨益。再如：本节练习2题，本质是告诉一正四面体，求证对棱中点连线垂直对棱。其实据此体可稍作变式：求证正四体各边与三角形的中线垂直，让学生对正四面体有深刻的认识。甚至有很多四面体的题目我们联系六面体，通过补形让我们解题也变得解题很迅速，而且使得前后知识连贯，遇到题目能迎刃而解。以2003年江苏高考题为例：
一个四面体的所有棱长都为■，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）。
A. 3π B. 4π C. 5π D. 6π
将四面体补成一个棱长为1的正方体，球即为该正方体的外接球，它的直径是正方体的体对角线，其值为■：S=πD2=3π，选A。
（二）利用教材例习题，用简洁的“字眼”概括出一类题目的解题步骤。
如：人教版高中《数学》第二册（下B）“9.8距离”习题第4题：
已知：正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，求直线DA′与AC的距离。
方法一：分析：求两条异面直线的距离，也就是求这两条异面直线的公垂线段的长度。因此，我们需要先找到或作出AC与DA′的公垂线段。这是解决本题关键，也是最困难的一步。
注意到AC与DA′是正方体的两条面对角线，而它们都与体对角线BD′垂直（如图1），这样，只要将BD′平移或缩放到与AC和DA′都相交的位置，就可以找到这两条异面直线的公垂线了。
为此，先将BD′平移或缩放到与AC相交的位置，分别取AC的中点O和DD′的中点E，连接OE，则OE∥BD′。然后，将OE平移或缩放到与DA′相交的位置，连接AE交DA′于F，过F作FG∥OE交AC于G，则FG即为异面直线AC与DA′的公垂线段。因为正方体的棱长为1，所以BD′=■，OE=■，BD′=■，又因为AA′∥DE且AA′=2DE，所以AF=2EF，所以FG=■，OE=■。从而归纳出求公垂线长度的传统方法和步骤：一作、二证、三算。让学生在利用传统方法时思路和目标非常清晰 。
（三） 利用教材习题培养学生数学思想方法。
还以上面习题为例：
方法二：如图2，是异面直线上两点间距离公式l=■的图形，其中直线a∥平面α，异面直线a、b之间的距离d就是直线a到平面α距离，而直线a到平面α距离就是点E到平面α距离。因此，我们可以将“线线距离”转化为“线面距离”，再将“线面距离”转化为“点面距离”。
如图3，连接A′C′、DC′，则AC∥面A′C′D。根据对称性，取AC中点O，A′C′的中点O′，连接OO′、DO、O′D，则面A′C′D⊥面DOO′，过O作OE⊥DO′于E，则OE⊥面A′C′D，于是OE的长即为直线AC到面A′C′D的距离，也就是异面直线ACDA′的距离。在Rt△OO′D，OE×O′D=OD×OO′，所以OE=■。
在此解法过程中，无形中培养了学生转化的数学思想，只要我们在教学中不断的挖掘、不断的积累，相信学生对各种思想方法会如数家珍。
（四）通过习题还可以培养学生宏观把控几何图形的视觉能力。
方法三：体积法 如图4，连接A′C，设C到面A′C′D的距离为h，则h即为直线AC到面A′C′D的距离。因为则四面体C-A′C′D的体积VC-A′C′D=SA′C′D×h，同时，四面体A′-DCC′的体积VA′-DCC′=SDCC′×A′ （五）培养学生的自信心，做到心中有数。
求点面距离的时候，在“穷途末路”时可想到向量法，如图5，设点A？奂平面α，点P在平面α外，向量n⊥平面向量a=■，点P到平面α的距离d=■。在图2中，平面α的法向量n就是与异面直线a、b都垂直的向量，我们分别取异面直线a、b上两点E、F，则点E到平面α的距离就是所求的异面直线间的距离d，于是d=■进而产生。
方法四：向量法 如图6，建立空间直角坐标系，则AC=（0，1，0）-（1，0，0）=（-1，1，0），■′=（1，0，1）-（0，0，0）=（1，0，1），设与AC、DA′都垂直的向n=（x，y，z），则
实际上，求两条异面直线的距离，还可以利用异面直线上两点间距离公式l=■，其中d就是公垂线段的长度。但这个公式的使用仍然需要公垂线段，这又归结为解法1。同时，解法1中所使用的作公垂线段的方法，非常值得学习。
通过本题，我们可以将求两条异面直线距离的方法归纳如下：
（1）传统方法：一作、二证、三算公垂线段及其长度；
（2）将“线线距离”转化为“线面距离”，再将“线面距离”转化为“点面距离”。而求点面距离，可以求垂线段的长度，也可以用体积法求高；
（3）利用异面直线上两点间距离公式l=■；
（4）向量法。
另外，本题是在正方体内求两条“面对角线”的距离，由此我们可以将这类异面直线问题归纳为：在正方体内，
（1）求两条棱之间的距离；
（2）求一条棱与一条面对角线的距离；
（3）求一条棱与一条体对角线的距离；
（4）求两条面对角线的距离；
（5）求一条面对角线与一条体对角线的距离。
其实，数学教材的使用目前主要是以下几个方面：1.学生作业的一部份来源；2.数学概念、公式、定理的全部来源；3.教学内容的来源。
但存在的主要问题是：1.除了老师在课堂上带领学生一起看书外，学生基本不看教材；2.学生基本不主动阅读教材，除了需要查阅公式、定理的内容；3.学生基本不会主动思考教材中例题、习题的作用；4.复习时学生不会认真阅读教材，而只是一味地做题，尤其是到了高三，学生基本把教材抛弃了。因此老师在平时的教学和高三的复习中，培养学生看课本、研究课本的习惯很有必要而老师对教材例题、习题的挖掘是让学生重视教材、研究教材最好的方式。
由上面的例子可以看出，挖掘教材习题的潜在功能，精心研究习题的解答重视课本习题的辐射作用，往往会起到事半功倍的效果。
参考文献：
[1]全日制普通高级中学教科书（试行修订本·必修 第二册（上），2004.2。
[2]日制普通高级中学教科书（试行修订本·必修 第二册（下），2004.6。
[3]全日制普通高级中学教案系列丛书（人教版 第二册（上），2007.7。
[4]《充分发挥数学教材的作用》.刘伟。
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）07-0132-02
在众多繁杂的各种复习资料和试卷中，有时我们似乎显得无所适从。本人认为课本本身就是最好的学习和复习蓝本。那么怎么利用好教材、怎样发现例题、习题的在功能显得尤为重要。
例习题功能的挖掘是数学教师的一项重要任务，而这项任务又可以从不同的方面进行。可以是解题过程的分析，可以是题目的变式扩展，可以是方法的归纳总结，等等。这对提高多数学生的解题能力是有直接作用的。现以立体几何相关内容为例，从以下几方面加以说明：
（一）通过课本例题变式扩展，将立体几何模型进行归类概括。
立体几何里面最重要的模型是长方体 ，此自不必叙述。现交流以下大家容易忽略的几何模型，四面体问题。
人教版高中《数学》第二册（下B）9.5例6：
已知：空间四边形OABC中OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB。
这是本书第一次出现本质为四面体的问题，书中因为是讲向量的应用，从此目的来讲在很多模型中都能达到，但本人认为，它只是起到抛砖引玉的作用，后面出现四面体问题至少达到3处（9.5练习、9.8例题、练习）告知四面在高考中也直接、间接地出现在小题、大题中，特别是小题中要迅速地得到解答，需要师生共同去概括，拓展变化：
如上面的例6从两条对棱垂直，可得到第三条对棱也垂直，若能在教学时概括出这一结论对做小题大有裨益。再如：本节练习2题，本质是告诉一正四面体，求证对棱中点连线垂直对棱。其实据此体可稍作变式：求证正四体各边与三角形的中线垂直，让学生对正四面体有深刻的认识。甚至有很多四面体的题目我们联系六面体，通过补形让我们解题也变得解题很迅速，而且使得前后知识连贯，遇到题目能迎刃而解。以2003年江苏高考题为例：
一个四面体的所有棱长都为■，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）。
A. 3π B. 4π C. 5π D. 6π
将四面体补成一个棱长为1的正方体，球即为该正方体的外接球，它的直径是正方体的体对角线，其值为■：S=πD2=3π，选A。
（二）利用教材例习题，用简洁的“字眼”概括出一类题目的解题步骤。
如：人教版高中《数学》第二册（下B）“9.8距离”习题第4题：
已知：正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，求直线DA′与AC的距离。
方法一：分析：求两条异面直线的距离，也就是求这两条异面直线的公垂线段的长度。因此，我们需要先找到或作出AC与DA′的公垂线段。这是解决本题关键，也是最困难的一步。
注意到AC与DA′是正方体的两条面对角线，而它们都与体对角线BD′垂直（如图1），这样，只要将BD′平移或缩放到与AC和DA′都相交的位置，就可以找到这两条异面直线的公垂线了。
为此，先将BD′平移或缩放到与AC相交的位置，分别取AC的中点O和DD′的中点E，连接OE，则OE∥BD′。然后，将OE平移或缩放到与DA′相交的位置，连接AE交DA′于F，过F作FG∥OE交AC于G，则FG即为异面直线AC与DA′的公垂线段。因为正方体的棱长为1，所以BD′=■，OE=■，BD′=■，又因为AA′∥DE且AA′=2DE，所以AF=2EF，所以FG=■，OE=■。从而归纳出求公垂线长度的传统方法和步骤：一作、二证、三算。让学生在利用传统方法时思路和目标非常清晰 。
（三） 利用教材习题培养学生数学思想方法。
还以上面习题为例：
方法二：如图2，是异面直线上两点间距离公式l=■的图形，其中直线a∥平面α，异面直线a、b之间的距离d就是直线a到平面α距离，而直线a到平面α距离就是点E到平面α距离。因此，我们可以将“线线距离”转化为“线面距离”，再将“线面距离”转化为“点面距离”。
如图3，连接A′C′、DC′，则AC∥面A′C′D。根据对称性，取AC中点O，A′C′的中点O′，连接OO′、DO、O′D，则面A′C′D⊥面DOO′，过O作OE⊥DO′于E，则OE⊥面A′C′D，于是OE的长即为直线AC到面A′C′D的距离，也就是异面直线ACDA′的距离。在Rt△OO′D，OE×O′D=OD×OO′，所以OE=■。
在此解法过程中，无形中培养了学生转化的数学思想，只要我们在教学中不断的挖掘、不断的积累，相信学生对各种思想方法会如数家珍。
（四）通过习题还可以培养学生宏观把控几何图形的视觉能力。
方法三：体积法 如图4，连接A′C，设C到面A′C′D的距离为h，则h即为直线AC到面A′C′D的距离。因为则四面体C-A′C′D的体积VC-A′C′D=SA′C′D×h，同时，四面体A′-DCC′的体积VA′-DCC′=SDCC′×A′ （五）培养学生的自信心，做到心中有数。
求点面距离的时候，在“穷途末路”时可想到向量法，如图5，设点A？奂平面α，点P在平面α外，向量n⊥平面向量a=■，点P到平面α的距离d=■。在图2中，平面α的法向量n就是与异面直线a、b都垂直的向量，我们分别取异面直线a、b上两点E、F，则点E到平面α的距离就是所求的异面直线间的距离d，于是d=■进而产生。
方法四：向量法 如图6，建立空间直角坐标系，则AC=（0，1，0）-（1，0，0）=（-1，1，0），■′=（1，0，1）-（0，0，0）=（1，0，1），设与AC、DA′都垂直的向n=（x，y，z），则
实际上，求两条异面直线的距离，还可以利用异面直线上两点间距离公式l=■，其中d就是公垂线段的长度。但这个公式的使用仍然需要公垂线段，这又归结为解法1。同时，解法1中所使用的作公垂线段的方法，非常值得学习。
通过本题，我们可以将求两条异面直线距离的方法归纳如下：
（1）传统方法：一作、二证、三算公垂线段及其长度；
（2）将“线线距离”转化为“线面距离”，再将“线面距离”转化为“点面距离”。而求点面距离，可以求垂线段的长度，也可以用体积法求高；
（3）利用异面直线上两点间距离公式l=■；
（4）向量法。
另外，本题是在正方体内求两条“面对角线”的距离，由此我们可以将这类异面直线问题归纳为：在正方体内，
（1）求两条棱之间的距离；
（2）求一条棱与一条面对角线的距离；
（3）求一条棱与一条体对角线的距离；
（4）求两条面对角线的距离；
（5）求一条面对角线与一条体对角线的距离。
其实，数学教材的使用目前主要是以下几个方面：1.学生作业的一部份来源；2.数学概念、公式、定理的全部来源；3.教学内容的来源。
但存在的主要问题是：1.除了老师在课堂上带领学生一起看书外，学生基本不看教材；2.学生基本不主动阅读教材，除了需要查阅公式、定理的内容；3.学生基本不会主动思考教材中例题、习题的作用；4.复习时学生不会认真阅读教材，而只是一味地做题，尤其是到了高三，学生基本把教材抛弃了。因此老师在平时的教学和高三的复习中，培养学生看课本、研究课本的习惯很有必要而老师对教材例题、习题的挖掘是让学生重视教材、研究教材最好的方式。
由上面的例子可以看出，挖掘教材习题的潜在功能，精心研究习题的解答重视课本习题的辐射作用，往往会起到事半功倍的效果。
参考文献：
[1]全日制普通高级中学教科书（试行修订本·必修 第二册（上），2004.2。
[2]日制普通高级中学教科书（试行修订本·必修 第二册（下），2004.6。
[3]全日制普通高级中学教案系列丛书（人教版 第二册（上），2007.7。
[4]《充分发挥数学教材的作用》.刘伟。